高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.2 不等式的解集学案

不等式的解集

知识点一　不等式的解集与不等式组的解集

一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．

知识点二　绝对值不等式

含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．

知识点三　数轴上两点间的距离及中点坐标公式

(1)距离公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为________．

(2)中点坐标公式：A(a)，B(b)，线段AB的中点M对应的数为x，则x＝________．

基础自测

1.在数轴上从点A(－2)引一线段到B(1)，再同向延长同样的长度到C，则点C的坐标为(　　)

A．13B．0

C．4D．－2

2．不等式的解集是(　　)

A．{x|x＜－2}B．{x|x＜2}

C．{x|－2＜x≤3}D．{x|－2＜x＜3}

3．集合M＝{x|x＞0，x∈R}，N＝{x||x－1|≤2，x∈Z}，则M＝(　　)

A．{x|0＜x≤2，x∈R}B．{x|0＜x≤2，x∈Z}

C．{－1，－2，1，2}D．{1，2，3}

4．不等式|x＋1|＜5的解集为________．

　课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　不等式组的解集[经典例题]

例1　解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：

(1)

(2)

方法归纳

一元一次不等式组的求解策略

熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此类问题的关键．

跟踪训练1　不等式组的解集是(　　)

A．{x|x＜－2}　　B．{x|－2＜x≤1}

C．{x|x≤－2}D．{x|x≥－2}

题型2　解绝对值不等式[教材P66例题2]

例2　设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段AB的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围．

【解析】　因为AB的中点对应的数为，所以由题意可知≤5，即|3＋x|≤10，因此－10≤3＋x≤10，所以－13≤x≤7，因此x的取值范围是[－13，7].

【答案】　[－13，7]

方法归纳

含有绝对值的不等式的解题策略

解含有绝对值的不等式，总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式，但要根据所求不等式的结构，选用恰当的方法．此题中有两个绝对值符号，故可用绝对值的几何意义来求解，或用分区间讨论法求解，还可构造函数利用函数图象求解．

跟踪训练2　解不等式3≤|x－2|＜4.

题型3　数轴上的基本公式及应用[经典例题]

例3　已知数轴上的三点A、B、P的坐标分别为A(－1)，B(3)，P(x)．

(1)点P到A，B两点的距离都是2时，求P(x)，此时P与线段AB是什么关系？

(2)在线段AB上是否存在一点P(x)，使得P到A和B的距离都是3？若存在，求P(x)，若不存在，请说明理由．

方法归纳

数轴上基本公式的应用

(1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式求相应点的坐标；

(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标．

跟踪训练3　已知数轴上有点A(－2)，B(1)，D(3)，点C在射线BA上，且有＝，问在线段CD上是否存在点E使＝？如存在，求点E坐标，如不存在，请说明理由．

2．2.2　不等式的解集

新知初探·自主学习

知识点三

　|a－b|　

[基础自测]

1．解析：根据数轴标好相应的点易判断．

答案：C

2．解析：由可得则x<－2，故选A.

答案：A

3．解析：由题得N＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}＝{－1，0，1，2，3}，所以M＝{1，2，3}．故选D.

答案：D

4．解析：|x＋1|<5⇒－5<x＋1<5⇒－6<x<4.

答案：{x|－6<x<4}

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　分别求出各不等式的解集，再求出各个解集的交集，并在数轴上表示出来即可．

(1)解不等式2x＋3>1，得x>－1，

解不等式x－2<0，得x<2，

则不等式组的解集为{x|－1<x<2}．

将解集表示在数轴上如下：

(2)解不等式x－>，得x>2，

解不等式x＋8<4x－1，得x>3，

则不等式组的解集为{x|x>3}，

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

跟踪训练1　解析：解①，得x≤1，解②，得x<－2，

∴不等式组的解集为{x|x<－2}，故选A.

答案：A

跟踪训练2　解析：此题的不等式属于绝对值的连不等式，求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解．

原不等式等价于

由①，得x－2≤－3，或x－2≥3，∴x≤－1，或x≥5.

由②，得－4<x－2<4，∴－2<x<6.

如图所示，原不等式的解集为{x|－2<x≤－1或5≤x<6}．

例3　【解析】　根据数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式求解．

(1)由题意知可以化为或或或解得x＝1.

∴点P的坐标为P(1)，此时P为AB的中点．

(2)不存在这样的P(x)，理由如下：

∵AB＝|3－(－1)|＝4<6，

∴在线段AB上找一点P使|PA|＋|PB|＝3＋3＝6是不可能的．

跟踪训练3　解析：设C(x)，E(x′)，则＝＝，x＝－5，所以C(－5)，

∵E在线段CD上，所以＝＝，4x′＋20＝3－x′，x′＝－∈(－5，3)，

∴在线段CD上存在点E，使＝.