人教B版 (2019)必修 第一册2.2.2 不等式的解集导学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册2.2.2 不等式的解集导学案，共11页。

2.2.2　不等式的解集
学习目标　1.了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集.2.了解含绝对值不等式的几何意义，能借助于数轴解含有绝对值的不等式.3.掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式．

知识点一　不等式的解集与不等式组的解集
1．不等式的解集：不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．
2．不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
知识点二　绝对值不等式
1．定义：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
2．含绝对值不等式的解法
(1)|x|＝
(2)当m＞0时，
|x|＞m的解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)，
|x|≤m的解集为[－m，m]．
思考　若m<0，|x|≤m的解集是什么？
答案　 ∅
知识点三　数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式
1．两点之间的距离公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|.
2．中点坐标公式：如果线段AB的中点M对应的数为x，则x＝.

1．不等式2x－＞0的解集为________．
答案　
2．不等式组的解集为________．
答案　
3．若A，B两点在数轴上的坐标分别为A(2)，B(－4)，则AB＝________，线段AB的中点M的坐标为________．
答案　6　(－1)
4．不等式|1－2x|＜1的解集是________．
答案　(0,1)
解析　∵|1－2x|＜1，
∴－1＜1－2x＜1，
∴－2＜－2x＜0，
解得0＜x＜1，
故不等式的解集是(0,1)．

一、一元一次不等式(组)的解法
例1　解下列不等式组：
(1)
(2)
解　(1)不等式组
将①式移项、合并同类项，得x＞2.
将②式移项、合并同类项，得3x＞9.
系数化为1，得x>3.
所以不等式组的解集为(3，＋∞)．
(2)不等式组
①式两端同时乘以2，得2x＋2≥－7－x，
移项、合并同类项，得3x≥－9，
系数化为1，得 x≥－3，
同理，解不等式②得 x≥2，
所以不等式组的解集是[2，＋∞)．
反思感悟　不等式组的解集的求解步骤
(1)求出不等式组中每个不等式的解集．
(2)借助数轴求出各解集的公共部分(交集)．
(3)写出不等式组的解集．
跟踪训练1　解下列不等式组：
(1)
(2)
解　(1)解不等式①，得x＜－6，解不等式②，得x≥2.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为∅.
(2)解不等式①，得x＞－，解不等式②，得x≤，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

由图可知不等式组的解集为.
二 、含一个绝对值的不等式的解法
例2　解下列不等式：
(1)|2x＋5|＜7；
(2)2≤|x－2|≤4.
解　(1)原不等式等价于－7＜2x＋5＜7.
∴－12＜2x＜2，
∴－6＜x＜1，
∴原不等式的解集为(－6,1)．
(2)原不等式等价于
由①得x－2≤－2或x－2≥2，
∴x≤0或x≥4.
由②得－4≤x－2≤4，
∴－2≤x≤6.
∴原不等式的解集为[－2,0]∪[4,6]．
反思感悟　 |ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法
(1)当c＞0时，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.
(2)当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|＜c的解集为∅.
(3)当c＜0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为∅.
跟踪训练2　解下列不等式：
(1)|4－3x|＞5；
(2)4＜|3x－2|＜8.
解　(1) 由|4－3x|>5可得4－3x>5或4－3x<－5，
所以x<－或x>3，
即原不等式的解集为∪(3，＋∞)．
(2)由4＜|3x－2|＜8，得
⇒⇒
∴－2＜x＜－或2＜x＜.
∴原不等式的解集为∪.
三、含两个绝对值的不等式的解法
例3　解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.
解　 分段讨论法：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2.
①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，
∴－9≤3成立，
∴x＜－7.
②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，
即2x≤－2，∴x≤－1，
∴－7≤x≤－1.
③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，
即9≤3不成立，
∴x∈∅.
∴原不等式的解集为(－∞，－1].
延伸探究　你能用数轴上两点之间的距离(几何法)解答本题吗？
解　|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为(x))到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈(－∞，－1]．

反思感悟　|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的两种解法
(1)利用绝对值不等式的几何意义．
(2)利用x－a＝0，x－b＝0的解，将数轴分成三个区间，然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而求解．
跟踪训练3　不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是(　　)
A．[－5,7]
B．[－4,6]
C．(－∞，－5]∪[7，＋∞)
D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
答案　D
解析　方法一　当x＝0时，|x－5|＋|x＋3|＝8≥10不成立，可排除A，B，
当x＝－4时，|x－5|＋|x＋3|＝10≥10成立，可排除C，
故选D.
方法二　当x＜－3时，
不等式|x－5|＋|x＋3|≥10可化为－(x－5)－(x＋3)≥10，
解得x≤－4.
当－3≤x≤5时，
不等式|x－5|＋|x＋3|≥10可化为－(x－5)＋(x＋3)＝8≥10恒不成立，
当x＞5时，
不等式|x－5|＋|x＋3|≥10可化为(x－5)＋(x＋3)≥10，
解得x≥6.
故不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．
故选D.

1．不等式组的解集为(　　)
A．(－3,0] B．(－3,2]
C．∅ D.
答案　B
解析　解不等式组
将①式移项，得x＞－3.
将②式去括号，得3x－3≤2x－1.
移项、合并同类项，得x≤2.
所以不等式组的解集为(－3,2]．
2．不等式1≤|2x－1|＜2的解集为(　　)
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
答案　B
解析　由1≤|2x－1|＜2，
得
由①得2x－1≥1或2x－1≤－1，
∴x≥1或x≤0.
由②得－2<2x－1<2，
∴－ ∴原不等式的解集为∪.
3．关于x的不等式|x|＋|x－1|≥3的解集是(　　)
A．(－∞，－1]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
D．[－1,2]
答案　C
解析　当x≥1时，x＋x－1≥3，解得x≥2，
当0＜x＜1时，x＋1－x≥3，不成立，
当x≤0时，－x＋1－x≥3，解得x≤－1，
综上，不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．

4．如果|x|<和|x|＞同时成立，那么x的取值范围是________．
答案　∪
解析　由|x|<可得－ 再由|x|＞可得x＞，或x＜－.
所以x的取值范围是∪.
5．不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．
答案　[0,4]
解析　原不等式可转化为－1≤|x－2|－1≤1，
故0≤|x－2|≤2，解得0≤x≤4，
故所求不等式的解集为[0,4]．

1．知识清单：
(1)解一元一次不等式(组)．
(2)解含有一个或两个绝对值的不等式．
(3)数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式.
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：含两个绝对值的不等式时的讨论，忽略是不是带等号．


1．(多选)不等式<1的正整数解有(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　ABC
解析　由<1，得x<4，
又x∈N＋，∴x＝1,2,3.
2．不等式组的解集在数轴上表示为(　　)


答案　C
解析　解不等式2x－1≥5，得x≥3，
解不等式8－4x＜0，得x＞2，
故不等式组的解集为[3，＋∞)．
3．设不等式|x－a| A．1,3 B．－1,3
C．－1，－3 D.，
答案　D
解析　由|x－a| 由题意得(a－b，a＋b)＝(－1,2)，
∴
∴
4．(多选)不等式组的解集为(2，＋∞)，则m的值可以是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　ABC
解析　由>1，得x>2.
由题意的解集为(2，＋∞)，
即(2，＋∞)∩(m，＋∞)＝(2，＋∞)，
∴(2，＋∞)⊆(m，＋∞)，
∴m≤2，又m∈N，
故m＝0,1,2.
5．不等式|x－1|＋|x－2|≥5的解集为(　　)
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B．(－∞，1]∪[2，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[2，＋∞)
答案　A
解析　当x＝－1或x＝4时，有|x－1|＋|x－2|＝5.
由绝对值的几何意义，
画出数轴可得：

当x≤－1或x≥4时，|x－1|＋|x－2|≥5，故选A.
6．已知数轴上A(－1)，B(x)，C(6)，若线段AB的中点到C的距离小于5，则x的取值范围是________．
答案　{x|3＜x＜23}
解析　设AB的中点为D，
则D，
由D到C的距离小于5，
可得＜5，∴1＜＜11，∴3＜x＜23.
7．|2x－1|－2＞0的解集为__________________________．
答案　∪
解析　|2x－1|－2＞0，即|2x－1|＞2，
∴2x－1＞2或2x－1＜－2，
解得x＞或x＜－.
∴原不等式的解集为，
即∪.
8．不等式组的解集是________，所有正整数解的和为________．
答案　　6
解析　解原不等式组，得不等式组的解集是，
所以不等式组的正整数解是1,2,3，
故它们的和为1＋2＋3＝6.

9．解下列不等式：
(1)|x－1|＞|2x－3|；
(2)|x＋1|＋|x＋2|＞3＋x.
解　(1)|x－1|>|2x－3|可化为
|x－1|－|2x－3|>0，
当x<1时，－x＋1＋2x－3>0，
解得x>2，∴x∈∅；
当1≤x≤时，x－1＋2x－3>0，
解得x>，∴ 当x>时，x－1－2x＋3>0，
解得x<2，∴ 即原不等式的解集为.
(2)原不等式⇔
或或
⇔或或
⇔x＜－2或x＞0.
所以原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
10．已知数轴上，A(3)，B(x)，C(9)．
(1)若A，B关于点C对称，求x的值；
(2)若线段AB的中点到C的距离大于7，求x的取值范围．
解　(1)由数轴上中点坐标公式得9＝，
∴x＝15.
(2)AB的中点对应的数为，
由题意得>7，
即>7，|x－15|>14，
∴x<1或x>29，
即x的取值范围是(－∞，1)∪(29，＋∞)．

11．当|x－2|＜a时，不等式|x2－4|＜1成立，则正实数a的取值范围是(　　)
A．a＞－2 B．0＜a≤－2
C．a≥－2 D．以上都不正确
答案　B
解析　由|x－2|＜a，且a＞0，得－a＋2＜x＜a＋2，
由|x2－4|＜1，得＜x＜或－＜x＜－.
∴即0＜a≤－2，
或无解．
∴0＜a≤－2.
12．(多选)对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|>k恒成立，则k能取到的下列整数可以是(　　)
A．－8 B．－5 C．－4 D．－3
答案　ABC
解析　|x＋1|，|x－2|的几何意义分别为数轴上的点x到－1和2对应点的距离，
|x＋1|－|x－2|的几何意义为两距离之差，
由图可得其最小值为－3，故k<－3.

13．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是________．
答案　(2,3]
解析　不等式组有3个整数解，
则其整数解为0,1,2，所以2 14．已知关于x的不等式组的解集是(5,22)，则a＝________，b＝________.
答案　3　5
解析　记原不等式组为
解不等式①，得x＜.
解不等式②，得x＞.
因为原不等式组的解集为(5,22)，
所以
解这个关于a，b的二元一次方程组，得

15．已知集合A＝{x||x－4|＋|x－1|＜5}，B＝{x|a＜x＜6}，A∩B＝(2，b)，则a＋b＝________.
答案　7
解析　|x－4|＋|x－1|<5等价于或或
解得0 ∴A＝{x|0 且A∩B＝(2，b)，
∴a＝2，b＝5，
∴a＋b＝7.
16．已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m，求出满足下列条件的m的取值范围．
(1)不等式有解；
(2)不等式解集为R；
(3)不等式解集为∅.
解　因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．
即|x＋2|－|x＋3|＝PA－PB.
又(PA－PB)max＝1，
(PA－PB)min＝－1.
即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1，m的取值范围为(－∞，1)．
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的取值范围为(－∞，－1)．
(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞)．