高中数学2.1合情推理与演绎推理教案

这是一份高中数学2.1合情推理与演绎推理教案，共14页。

数学归纳法

1、数学归纳法的原理及应用.
2、数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系.

一、 数学归纳法：
数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。
    一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
    （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n 0时命题成立；
（2）（归纳递推）假设n=k（）时命题成立，证明当时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。

题型一、用数学归纳法证明恒等式
例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n3= n2（n＋1）2
证明：① 当n=1时，左边=13=1，右边=，
故等式成立．
② 假设n=k（，且k≥1）时等式成立。
即13＋23＋33＋…＋k 3＋=k2(k+1)2成立．
则当n=k＋1时，13＋23＋33＋…＋k 3＋(k+1)3
=
=．
即当n=k＋1 时等式也成立．
综合①，②，对一切，等式都成立．
题型二、用数学归纳法证明不等式
例2、归纳法证明…＞
（n＞1，且）．
证明：① n=2时，左边=＞=右边，不等式成立.
② 假设n=k（， k≥2）时不等式成立，
即…＞成立．
则当 n=k＋1时，
…
=（…）＋（－）＞＋（－）
＞＋（－）
=即当n=k＋1时不等式也成立．
综合①，②，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．
题型三、用数学归纳法证明几何问题
例4．平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成个部分.

题型四、用数学归纳法证明整除问题
例4、 用数学归纳法证明32n＋2－8 n－9能被64整除．
证明：① 当n=1时，32＋2－8×1－9=64 显然能被64整除，命题成立．
② 假设n=k（ k≥1，）时命题成立．
即32k＋2－8k－9能被64整除．则当n=k＋1时，
32（k＋1）＋2－8（k＋1）－9=9·32k＋2－8 k－8－9
=9（32k＋2－8 k－9）＋64 k＋64．
∵ 32k＋2－8 k－9与64均能被64整除，
∴ 32（k＋1）＋2－8（ k＋1）－9能被64整除．
即当n=k＋1时命题也成立．
综合①，②，对一切，32n＋2－8n－9能被64整除．
题型五 归纳、猜想、证明
例8：是否存在常数a，b，c使等式
对一切自然数n都成立，并证明你的结论。
分析：可先把条件式对分别列出方程，试求a，b，c值，再用数学归纳法证明。
解：假设存在a，b，c使题设等式成立，那么令得到下面方程组：

解得
下面用数学归纳法证明当时，题设等式成立，即有：
①
（1）当时，①式成立
（2）假设成立，即：

那么当时

故当时①式成立。
综上，可知当时，等式成立。



一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式(　　)
A．1＋<2
B．1＋＋＜2
C．1＋＋＜3
D．1＋＋＋＜3
[答案]　B
[解析]　∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故选B.
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为(　　)
A．1
B．1＋a＋a2
C．1＋a
D．1＋a＋a2＋a3
[答案]　B
[解析]　因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.
3．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A. B.
C.＋ D.－
[答案]　D
[解析]　f(n＋1)－f(n)
＝
－＝＋－
＝－.
4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　)
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
[答案]　C
[解析]　原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.
5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是(　　)
A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立
B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立
C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立
D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立
[答案]　C
[解析]　∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.
6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　)
A．f(n)＋n＋1
B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1
D．f(n)＋n－2
[答案]　C
[解析]　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.
7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证(　　)
A．n＝1时命题成立
B．n＝1，n＝2时命题成立
C．n＝3时命题成立
D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立
[答案]　D
[解析]　假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，
当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)
由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0
⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.
8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为(　　)
A．30
B．26
C．36
D．6
[答案]　C
[解析]　因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝(　　)
A.
B.
C.
D.
[答案]　B
[解析]　由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1
∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an
∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an
∴an＋1＝an　(n≥2)．
当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝＝
a3＝a2＝，a4＝a3＝.
由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝
猜想an＝，故选B.
10．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即 ∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法(　　)
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
[答案]　D
[解析]　n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.
二、填空题
11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．
[答案]　当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立
[解析]　当n＝1时，左≥右，不等式成立，
∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．
12．已知数列，，，…，，通过计算得S1＝，S2＝，S3＝，由此可猜测Sn＝________.
[答案]　
[解析]　解法1：通过计算易得答案．
解法2：Sn＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝1－＝.
13．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
[答案]　5
[解析]　当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.
(1)当n0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n＝k时，等式左边共有________________项，第(k－1)项是__________________．
(2)假设n＝k时命题成立，即_____________________________________成立．
(3)当n＝k＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．
[答案]　(1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k；
(k－1)[3(k－1)＋1]
(2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2
(3)1×4＋2×7＋…＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2；(k＋1)[3(k＋1)＋1]
[解析]　由数学归纳法的法则易知．
三、解答题
15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
[证明]　①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.
当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．
由①②得，等式对任何n∈N*都成立．
16．求证：＋＋＋…＋>(n≥2)．
[证明]　①当n＝2时，左＝>0＝右，
∴不等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立．
即＋＋…＋>成立．
那么n＝k＋1时，＋＋…＋
＋＋…＋
>＋＋…＋>＋＋＋…＋
＝＋＝，
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
据①②可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立．
17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．
求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域．
[证明]　(1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成块不同的区域，命题成立．
当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．
从而k＋1条直线将平面分成＋k＋1＝块区域．
所以n＝k＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，原命题成立．
18．(2010·衡水高二检测)试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．
[分析]　由题目可获取以下主要信息：
①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；
②利用数学归纳法证明猜想的结论．
解答本题的关键是先利用特殊值猜想．
[解析]　当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，
当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，
当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，
当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，
由此可以猜想，
2n＋2>n2(n∈N*)成立
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，
左边＝21＋2＝4，右边＝1，
所以左边>右边，
所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，
右边＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边>右边．
(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，
即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，
2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.
又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3
＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．
根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．



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基础巩固
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式(　　)
A．1＋<2 B．1＋＋＜2
C．1＋＋＜3 D．1＋＋＋＜3
[答案]　B
[解析]　∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故选B.
2．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为(　　)
A．1 B．1＋a＋a2
C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
[答案]　B
[解析]　因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.
3．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A． B．
C．＋ D．－
[答案]　D
[解析]　f(n＋1)－f(n)＝
－＝＋－
＝－.
4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　)
A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立
[答案]　C
[解析]　原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.
5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是(　　)
A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立
B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立
C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立
D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立
[答案]　C
[解析]　∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.
6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　)
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
[答案]　C
[解析]　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.
二、填空题
7．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为(　　)
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C． D．
[答案]　B
[解析]　n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，
n＝k＋1时，等式左边为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，右边为2k＋1·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选B.
8．已知数列，，，…，，通过计算得S1＝，S2＝，S3＝，由此可猜测Sn＝________.
[答案]　
[解析]　解法1：通过计算易得答案．
解法2：Sn＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝1－＝.
9．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，第一步应验证的等式是________．
[答案]　1－＝[解析]　当n＝1时，等式的左边为1－＝，右边＝，∴左边＝右边．
三、解答题
10．(2013·大庆实验中学高二期中)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
[证明]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；
当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.
由此猜想an＝(n∈N*)
(2)证明：①当n＝1时，a1＝1结论成立，
②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时结论成立，
即ak＝，
当n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak
∴ak＋1＝＝，
∴当n＝k＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N*，an＝成立．

一、选择题
11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)
A．k2＋1 B．(k＋1)2
C． D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
[答案]　D
[解析]　n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故选D.
12．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.(　　)
A．2π B．π
C． D．
[答案]　B
[解析]　将k＋1边形A1A2…AkAk＋1的顶点A1与Ak相连，则原多边形被分割为k边形A1A2…Ak与三角形A1AkAk＋1，其内角和f(k＋1)是k边形的内角和f(k)与△A1AkAk＋1的内角和π的和，故选B.
13．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
[答案]　A
[解析]　因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．
14．(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝(　　)
A．26 B．27
C．28 D．29[答案]　D
[解析]　观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.
二、填空题
15．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．
[答案]　当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立
[解析]　当n＝1时，左≥右，不等式成立，
∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．
16．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
[答案]　5
[解析]　当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
三、解答题
17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．
求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域．
[证明]　(1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成块不同的区域，命题成立．
当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．
从而k＋1条直线将平面分成＋k＋1＝块区域．
所以n＝k＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，原命题成立．
18．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．
[分析]　由题目可获取以下主要信息：
①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；
②利用数学归纳法证明猜想的结论．
解答本题的关键是先利用特殊值猜想．
[解析]　当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，
当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，
当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，
当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，
由此可以猜想，
2n＋2>n2(n∈N*)成立
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，
左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，
所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，
右边＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边>右边．
(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，
即2k＋2>k2.那么当n＝k＋1时，
2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.
又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3
＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．
根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．
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