人教版高数选修1-2第4讲:数学归纳法(教师版)

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资料简介 展开

数学归纳法

1数学归纳法的原理及应用.

2数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系.

一、数学归纳法:

       数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法,在高等数学中有着重要的用途,因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题,不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论,而且加强了对于不完全归纳法应用的考查,既要求归纳发现结论,又要求能证明结论的正确性,因此,初步形成观察-归纳-猜想-证明的思维模式,就显得特别重要。

   一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:

   1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n = n0时命题成立;

2)(归纳递推)假设n=k)时命题成立,证明当时命题也成立。

只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。

数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为奠基步骤,是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点,这个基础必须真实可靠;它的第二步称为递推步骤,是命题具有后继传递性的保证,即只要命题对某个正整数成立,就能保证该命题对后继正整数都成立,两步合在一起为完全归纳步骤,称为数学归纳法,这两步各司其职,缺一不可,特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性,如果没有第一步,而仅有第二步成立,命题也可能是假命题。

题型一、用数学归纳法证明恒等式

1例1数学归纳法证明132333n3= n2n12

证明:n=1时,左边=13=1,右边=

故等式成立. 

假设n=k,且k1)时等式成立。

132333k 3=k2(k+1)2成立. 

则当n=k1时,132333k3(k+1)3

=

=

即当n=k1 时等式也成立. 

综合,对一切,等式都成立.

题型二、用数学归纳法证明不等式

2、归纳法证明

n1,且

证明:n=2时,左边==右边,不等式成立.

假设n=kk2)时不等式成立,

成立.

则当 n=k1时,

=)+(

=即当n=k1时不等式也成立.

综合,对一切大于1的自然数n,不等式都成立.

题型三、用数学归纳法证明几何问题

4.平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:n个圆把平面分成个部分.

 

题型四、用数学归纳法证明整除问题

4、 用数学归纳法证明32n28 n9能被64整除.

证明:n=1时,3228×19=64 显然能被64整除,命题成立.

假设n=kk1)时命题成立.

32k28k9能被64整除.则当n=k1时,

32k1)+28k1)-9=9·32k28 k89

=932k28 k9)+64 k64

32k28 k964均能被64整除,

32k1)+28k1)-9能被64整除.

即当n=k1时命题也成立.

综合,对一切32n28n9能被64整除.

题型五 归纳、猜想、证明

8是否存在常数abc使等式

对一切自然数n都成立,并证明你的结论。

 分析:可先把条件式对分别列出方程,试求abc值,再用数学归纳法证明。

 解:假设存在abc使题设等式成立,那么令得到下面方程组:

  

 解得

 下面用数学归纳法证明当时,题设等式成立,即有:

    

 1)当时,式成立

 2)假设成立,即:

  

  那么当

  

 故当式成立。

 综上,可知当时,等式成立。

 

 

一、选择题

1.用数学归纳法证明1<n(nN*n>1)时,第一步应验证不等式(  )

A1<2

B12

C13

D13

[答案] B

[解析] nN*n1n取第一个自然数为2,左端分母最大的项为,故选B.

2.用数学归纳法证明1aa2an1(nN*a1),在验证n1时,左边所得的项为(  )

A1

B1aa2

C1a 

D1aa2a3

[答案] B

[解析] 因为当n1时,an1a2,所以此时式子左边=1aa2.故应选B.

3.设f(n)(nN*),那么f(n1)f(n)等于(  )

A.  B.

C.  D.

 [答案] D

[解析] f(n1)f(n)

.

4.某个命题与自然数n有关,若nk(kN*)时,该命题成立,那么可推得nk1时该命题也成立.现在已知当n5时,该命题不成立,那么可推得(  )

A.当n6时该命题不成立

B.当n6时该命题成立

C.当n4时该命题不成立

D.当n4时该命题成立

[答案] C

[解析] 原命题正确,则逆否命题正确.故应选C.

5.用数学归纳法证明命题n是正奇数时,xnyn能被xy整除,在第二步的证明时,正确的证法是(  )

A.假设nk(kN*),证明nk1时命题也成立

B.假设nk(k是正奇数),证明nk1时命题也成立

C.假设nk(k是正奇数),证明nk2时命题也成立

D.假设n2k1(kN),证明nk1时命题也成立

[答案] C

[解析] n为正奇数,当nk时,k下面第一个正奇数应为k2,而非k1.故应选C.

6.凸n边形有f(n)条对角线,则凸n1边形对角线的条数f(n1)(  )

Af(n)n1

Bf(n)n

Cf(n)n1

Df(n)n2

[答案] C

[解析] 增加一个顶点,就增加n13条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,故f(n1)f(n)1n13f(n)n1.故应选C.

7.用数学归纳法证明对一切nN*,都有2n>n22这一命题,证明过程中应验证(  )

An1时命题成立

Bn1n2时命题成立

Cn3时命题成立

Dn1n2n3时命题成立

[答案] D

[解析] 假设nk时不等式成立,即2k>k22

nk12k12·2k>2(k22)

2(k22)(k1)24k22k30

(k1)(k3)0k3,因此需要验证n1,2,3时命题成立.故应选D.

8.已知f(n)(2n7)·3n9,存在自然数m,使得对任意nN*,都能使m整除f(n),则最大的m的值为(  )

A30

B26

C36

D6

[答案] C

[解析] 因为f(1)36f(2)1083×36f(3)36010×36,所以f(1)f(2)f(3)能被36整除,推测最大的m值为36.

9.已知数列{an}的前n项和Snn2an(n2),而a11,通过计算a2a3a4,猜想an(  )

A.

B.

C.

D.

[答案] B

[解析] Snn2anSn1(n1)2an1

Sn1Sn(n1)2an1n2an

an1(n1)2an1n2an

an1an (n2)

n2时,S24a2,又S2a1a2a2

a3a2a4a3.

a11a2a3a4

猜想an,故选B.

10.对于不等式n1(nN),某学生的证明过程如下:

(1)n1时,11,不等式成立.

(2)假设nk(kN)时,不等式成立,即<k1,则nk1时,<(k1)1

nk1时,不等式成立,上述证法(  )

A.过程全都正确

Bn1验证不正确

C.归纳假设不正确

D.从nknk1的推理不正确

[答案] D

[解析] n1的验证及归纳假设都正确,但从nknk1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故应选D.

二、填空题

11.用数学归纳法证明2n1n2n2(nN*)时,第一步的验证为________

[答案] n1时,左边=4,右边=4,左右,不等式成立

[解析] n1时,左右,不等式成立,

nN*第一步的验证为n1的情形.

12.已知数列,通过计算得S1S2S3,由此可猜测Sn________.

[答案] 

[解析] 解法1:通过计算易得答案.

解法2Sn

1.

13.对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除,则最小的自然数a________.

[答案] 5

[解析] n1时,36a3能被14整除的数为a35,当a3时且n3时,31035不能被14整除,故a5.

14.用数学归纳法证明命题:1×42×73×10n(3n1)n(n1)2.

(1)n0________时,左边=____________,右边=______________________;当nk时,等式左边共有________________项,第(k1)项是__________________

(2)假设nk时命题成立,即_____________________________________成立.

(3)nk1时,命题的形式是______________________________________;此时,左边增加的项为______________________

[答案] (1)11×(3×11)1×(11)2k

(k1)[3(k1)1]

(2)1×42×73×10k(3k1)k(k1)2

(3)1×42×7(k1)[3(k1)1]

(k1)[(k1)1]2(k1)[3(k1)1]

[解析] 由数学归纳法的法则易知.

三、解答题

15.求证:12223242(2n1)2(2n)2=-n(2n1)(nN*)

[证明] n1时,左边=1222=-3,右边=-3,等式成立.

假设nk时,等式成立,即12223242(2k1)2(2k)2=-k(2k1)2.

nk1时,12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2=-k(2k1)(2k1)2(2k2)2=-k(2k1)(4k3)=-(2k25k3)=-(k1)[2(k1)1],所以nk1时,等式也成立.

①②得,等式对任何nN*都成立.

16.求证:>(n2)

[证明] n2时,左=>0=右,

不等式成立.

假设当nk(k2kN*)时,不等式成立.

>成立.

那么nk1时,

>>

nk1时,不等式成立.

①②可知,不等式对一切nN*n2时成立.

17.在平面内有n条直线,其中每两条直线相交于一点,并且每三条直线都不相交于同一点.

求证:这n条直线将它们所在的平面分成个区域.

[证明] (1)n2时,两条直线相交把平面分成4个区域,命题成立.

(2)假设当nk(k2)时,k条直线将平面分成块不同的区域,命题成立.

nk1时,设其中的一条直线为l,其余k条直线将平面分成块区域,直线l与其余k条直线相交,得到k个不同的交点,这k个点将l分成k1段,每段都将它所在的区域分成两部分,故新增区域k1块.

从而k1条直线将平面分成k1块区域.

所以nk1时命题也成立.

(1)(2)可知,原命题成立.

18(2010·衡水高二检测)试比较2n2n2的大小(nN*),并用数学归纳法证明你的结论.

[分析] 由题目可获取以下主要信息:

此题选用特殊值来找到2n2n2的大小关系;

利用数学归纳法证明猜想的结论.

解答本题的关键是先利用特殊值猜想.

[解析] n1时,2124>n21

n2时,2226>n24

n3时,23210>n29

n4时,24218>n216

由此可以猜想,

2n2>n2(nN*)成立

下面用数学归纳法证明:

(1)n1时,

左边=2124,右边=1

所以左边>右边,

所以原不等式成立.

n2时,左边=2226

右边=224,所以左边>右边;

n3时,左边=23210,右边=329

所以左边>右边.

(2)假设nk(k3kN*)时,不等式成立,

2k2>k2.那么nk1时,

2k122·2k22(2k2)2>2·k22.

又因:2k22(k1)2k22k3

(k3)(k1)0

2k22(k1)2,故2k12>(k1)2成立.

根据(1)和(2),原不等式对于任何nN*都成立.

 

 

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基础巩固

一、选择题

1.用数学归纳法证明1<n(nN*n>1)时,第一步应验证不等式(  )

A1<2 B12

C13  D13

[答案] B

[解析] nN*n1n取第一个自然数为2,左端分母最大的项为,故选B.

2(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1aa2an1(nN*a1),在验证n1时,左边所得的项为(  )

A1  B1aa2

C1a D1aa2a3

[答案] B

[解析] 因为当n1时,an1a2,所以此时式子左边=1aa2.故应选B.

3.设f(n)(nN*),那么f(n1)f(n)等于(  )

A B

C D

[答案] D

[解析] f(n1)f(n)

.

4.某个命题与自然数n有关,若nk(kN*)时,该命题成立,那么可推得nk1时该命题也成立.现在已知当n5时,该命题不成立,那么可推得(  )

A.当n6时该命题不成立 B.当n6时该命题成立

C.当n4时该命题不成立 D.当n4时该命题成立

[答案] C

[解析] 原命题正确,则逆否命题正确.故应选C.

5.用数学归纳法证明命题n是正奇数时,xnyn能被xy整除,在第二步的证明时,正确的证法是(  )

A.假设nk(kN*)时命题成立,证明nk1时命题也成立

B.假设nk(k是正奇数)时命题成立,证明nk1时命题也成立

C.假设nk(k是正奇数)时命题成立,证明nk2时命题也成立

D.假设n2k1(kN)时命题成立,证明nk1时命题也成立

[答案] C

[解析] n为正奇数,当nk时,k下面第一个正奇数应为k2,而非k1.故应选C.

6.凸n边形有f(n)条对角线,则凸n1边形对角线的条数f(n1)(  )

Af(n)n1  Bf(n)n

Cf(n)n1  Df(n)n2

[答案] C

[解析] 增加一个顶点,就增加n13条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,故f(n1)f(n)1n13f(n)n1.故应选C.

二、填空题

7(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n·1·3(2n1)(nN*)时,从nknk1左边需增乘的代数式为(  )

A2k1  B2(2k1)

C D

[答案] B

[解析] nk时,等式为(k1)(k2)(kk)2k·1·3··(2k1)

nk1时,等式左边为(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(2k)·(2k1)·(2k2),右边为2k1·1·3··(2k1)(2k1).左边需增乘2(2k1),故选B.

8.已知数列,通过计算得S1S2S3,由此可猜测Sn________.

[答案] 

[解析] 解法1:通过计算易得答案.

解法2Sn

1.

9.用数学归纳法证明:1,第一步应验证的等式是________

[答案] 1[解析] n1时,等式的左边为1,右边=左边=右边.

三、解答题

10(2013·大庆实验中学高二期中)数列{an}满足Sn2nan(nN*)

(1)计算a1a2a3,并猜想an的通项公式;

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.

[证明] (1)n1时,a1S12a1a11

n2时,a1a2S22×2a2a2

n3时,a1a2a3S32×3a3a3.

由此猜想an(nN*)

(2)证明:n1时,a11结论成立,

假设nk(k1,且kN*)时结论成立,

ak

nk1时,

ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak12ak12ak

ak1

nk1时结论成立,于是对于一切的自然数nN*an成立.

一、选择题

11.用数学归纳法证明123n2,则当nk1时左端应在nk的基础上加上(  )

Ak21 B(k1)2

C D(k21)(k22)(k23)(k1)2

[答案] D

[解析] nk时,左边=123k2nk1时,左边=123k2(k21)(k22)(k1)2,故选D.

12.设凸k边形的内角和为f(k),则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)________.(  )

A Bπ

C D

[答案] B

[解析] k1边形A1A2AkAk1的顶点A1Ak相连,则原多边形被分割为k边形A1A2Ak与三角形A1AkAk1,其内角和f(k1)k边形的内角和f(k)A1AkAk1的内角和π的和,故选B.

13(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除,要利用归纳假设证nk1时的情况,只需展开(  )

A(k3)3 B(k2)3

C(k1)3 D(k1)3(k2)3

[答案] A

[解析] 因为从nknk1的过渡,增加了(k1)3,减少了k3,故利用归纳假设,只需将(k3)3展开,证明余下的项9k227k27能被9整除.

14(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式:已知ab1a2b23a3b34a4b47a5b511,则归纳猜测a7b7(  )

A26  B27

C28  D29[答案] D

[解析] 观察发现,134,347,4711,71118,111829a7b729.

二、填空题

15.用数学归纳法证明2n1n2n2(nN*)时,第一步的验证为________

[答案] n1时,左边=4,右边=4,左右,不等式成立

[解析] n1时,左右,不等式成立,

nN*第一步的验证为n1的情形.

16.对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除,则最小的自然数a________.

[答案] 5

[解析] n1时,36a3能被14整除的数为a35,当a3时且n3时,31035不能被14整除,故a5.

三、解答题

17.在平面内有n条直线,其中每两条直线相交于一点,并且每三条直线都不相交于同一点.

求证:这n条直线将它们所在的平面分成个区域.

[证明] (1)n2时,两条直线相交把平面分成4个区域,命题成立.

(2)假设当nk(k2)时,k条直线将平面分成块不同的区域,命题成立.

nk1时,设其中的一条直线为l,其余k条直线将平面分成块区域,直线l与其余k条直线相交,得到k个不同的交点,这k个点将l分成k1段,每段都将它所在的区域分成两部分,故新增区域k1块.

从而k1条直线将平面分成k1块区域.

所以nk1时命题也成立.

(1)(2)可知,原命题成立.

18.试比较2n2n2的大小(nN*),并用数学归纳法证明你的结论.

[分析] 由题目可获取以下主要信息:

此题选用特殊值来找到2n2n2的大小关系;

利用数学归纳法证明猜想的结论.

解答本题的关键是先利用特殊值猜想.

[解析] n1时,2124>n21

n2时,2226>n24

n3时,23210>n29

n4时,24218>n216

由此可以猜想,

2n2>n2(nN*)成立

下面用数学归纳法证明:

(1)n1时,

左边=2124,右边=1,所以左边>右边,

所以原不等式成立.

n2时,左边=2226

右边=224,所以左边>右边;

n3时,左边=23210,右边=329

所以左边>右边.

(2)假设nk(k3kN*)时,不等式成立,

2k2>k2.那么当nk1时,

2k122·2k22(2k2)2>2·k22.

又因:2k22(k1)2k22k3

(k3)(k1)0

2k22(k1)2,故2k12>(k1)2成立.

根据(1)(2),原不等式对于任何nN*都成立.