数学选修1-23.1数系的扩充和复数的概念教案

数系的扩充与复数的概念

1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i

2.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念

3．理解复平面、实轴、虚轴等概念．

4．理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用．

5．理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系．

一．复数的概念及代数表示

(1)复数的定义：

把集合C＝{a＋bi|a，b∈R|}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．

(2)复数的代数形式：

复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．

(3)复数集

全体复数所构成的集合叫做复数集．记作C＝{a＋bi|a，b∈R}．

二．两个复数相等的充要条件

(1)在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d．

(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．

三．复数的分类

(1)复数a＋bi

(a，b∈R)

(2)集合表示：

四．复平面、实轴、虚轴

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0),它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示是实数．故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

五．复数的几何意义

六．复数的模

向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|且|z|＝．

类型一.复数的概念

例1：请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？

解析：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．其中i叫做虚数单位，满足i2＝-1．

答案：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－;虚部分别是3，，－，－;－i是纯虚数.

练习1：复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？

答案：实部是3.14，虚部是－2.

练习2：实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是:

(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？

解析：因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.

答案：(1)当m－1=0，即m=1时，复数z是实数；[来

(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；

(3)当m+1=0，且m－1≠0时，即m=－1时，复数z是纯虚数.

类型二.复数相等的条件

例2：已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.

解析：两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d．

答案：根据复数相等的定义，得方程组，所以x=，y=4

练习1：满足方程x2－2x－3+(9y2－6y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是______.

解析：由题意知∴

∴点对有(3，)，(－1，)共有2个.

答案：2

类型三.复数的分类

例3：设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是纯虚数，求m的值.

解析：由题意知∴

∴∴，∴m=－1.

答案：m=－1

练习1：已知m∈R，复数z=+(m2+2m－3)i，当m为何值时，

(1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=+4i.

答案：(1)m须满足解之得：m=－3.

(2)m须满足m2+2m－3≠0且m－1≠0，解之得：m≠1且m≠－3.

(3)m须满足解之得：m=0或m=－2.

(4)m须满足解之得：m∈

类型四.复数的几何意义

例4：复数3－5i、1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________________．

解析：复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)，所以由三点共线的条件可得＝.解得a＝5.

答案：a＝5

练习1：实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：

(1)对应点在x轴上方；

(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上．

答案：(1)由m2－2m－15>0，得知m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方；

(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得知：

m＝或m＝，

z的对应点在直线x＋y＋5＝0上．

类型五.复数的模

例5：已知复数z0＝a＋bi(a，b∈R)，z＝(a＋3)＋(b－2)i，若|z0|＝2，求复数z对应点的轨迹．

解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则复数z的对应点为P(x，y)，由题意知

∴①

∵z0＝a＋bi，|z0|＝2，∴a2＋b2＝4.

将①代入得(x－3)2＋(y＋2)2＝4.

∴点P的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．

答案：点P的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．

1.若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b的值为(　　)

A.-2 B.1 C.-1 D.2

解析:复数2-bi的实部为2,虚部为-b,由题意知2=-(-b),所以b=2.

答案:D

2.设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},则(　　)

A.M∪R=I B.(∁IM)∪R=I

C.(∁IM)∩R=R D.M∩(∁IR)=⌀

解析:根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断.依题意,I,R,M三个集合之间的关系如下图所示.

所以应有:M∪R⫋I,(∁ IM)∪R=∁IM,M∩(∁IR)≠⌀,

故A,B,D三项均错,只有C项正确.

答案:C

3.若复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,则点(x,y)的轨迹是(　　)

A.以原点为圆心,以2为半径的圆

B.两个点,其坐标为(2,2),(-2,-2)

C.以原点为圆心,以2为半径的圆和过原点的一条直线

D.以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(，),(-,-)[来源:学科网

解析:因为复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,

则x2+y2-4=0

即x2+y2=4且x≠y.

故点(x,y)的轨迹是以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(，),(-,-)

答案:D

4.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为(　　)

A.-2 B.3 C.-3 D.±3

解析:依题意应有解得m=3.

答案:B

5.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(　　)

A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i

解析:复数6+5i对应A点坐标为(6,5),-2+3i对应B点坐标为(-2,3).由中点坐标公式知C点坐标为(2,4),

所以点C对应的复数为2+4i.故选C.

答案:C

6.已知0<a<2,复数z=a+i(i是虚数单位),则|z|的取值范围是(　　)

A.(1,) B.(1,) C.(1,3) D.(1,5)

解析:|z|=

∵0<a<2,∴0<a2<4,∴1<|z|<,

即1<|z|<.故选B.

答案:B

7.(2014·重庆卷)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

答案:A

８．【2015高考北京，理1】复数（　　）

A． B． C． D．

答案:A

９．【2015高考上海，理15】设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（　　）

A．充分非必要条件  B．必要非充分条件

C．充要条件  D．既非充分又非必要条件

答案:Ｂ

１０．已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,z1>z2,则a的值为____________.

解析:由z1>z2,

得2a2+3a=0，a2+a=0

解得a=0.

答案:0

１１.已知复数z1=x+yi,z2=x+(x-3y)i,x,y∈R.若z1=z2,且|z1|=,则z1=____________.

解析:因为z1=z2,所以y=x-3y,即x=4y.

又|z1|=,即17y2=17,

解得y=1,x=4或y=-1,x=-4,

所以z1=4+i或z1=-4-i.

答案:4+i或-4-i

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基础巩固

1.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为(　　)

A. B.2 C.0 D.1

解析:由复数相等的充要条件知,

x+y＝０，ｘ－１＝０

故x+y=0.故2x+y=20=1.

答案:D

2.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为(　　)

A.4 B.-1 C.-1或4 D.-1或6

解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,

所以得m=-1.

答案:B

3.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isinπ,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号) ____________.

解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sinπ=0·i=0为实数,其余为虚数.

答案:②③④

4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为(　　)

A.z=-2-i B.z=2-3i C.z=3+2i D.z=-3-2i

解析:A中|z|=<3;B中对应点(2,-3)在第四象限;C中对应点(3,2)在第一象限;D中对应点(-3,-2)在第三象限,|z|=>3.

答案:D

5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为(　　)

A.一个圆 B.线段 C.两点 D.两个圆

解析:∵|z|2-2|z|-3=0,

∴(|z|-3)(|z|+1)=0,

∴|z|=3,表示一个圆,故选A.答案:A

6.已知在△ABC中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________.

解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,

所以=(-1,2),=(-2,-3).又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),

所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i

7.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的对应点,

(1)在虚轴上,求复数z;

(2)在实轴负半轴上,求复数z.

答案:(1)若复数z的对应点在虚轴上,则m2-m-2=0,

所以m=-1或m=2.此时z=6i或z=0.

(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上,则m2-3m+2=0，m2-m-2<0,∴m=1

能力提升

8.若复数z=cosθ+(m-sinθ-cosθ)i为虚数,则实数m的取值范围是____________.

解析:∵z为虚数,∴m-sinθ-cosθ≠0,即m≠sinθ+cosθ.

∵sinθ+cosθ∈[-,],

∴m∈(-∞,-)∪(,+∞).答案:(-∞,-)∪(,+∞)

9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是____________.

解析:若复数为纯虚数,则有a2-a-2=0,|a-1|-1≠0

即a=-1.故复数不是纯虚数时a≠-1.

答案:{a|a≠-1}

10.已知向量与实轴正向夹角为135°,向量对应复数z的模为1,则z=____________.

解析:依题意知Z点在第二象限且在直线y=-x上,

设z=-a+ai(a>0).

∵|z|=1,∴a2=.而a>0,∴a=.∴z=答案:z=

11.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=____________.解析:设z=a+bi(a,b∈R),

则|z|=,代入方程得,a+bi+=2+8i,∴解得a=-15∴z=-15+8i.答案:-15+8i

12.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.

解析:M∪P=P,∴M⊆P,

即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,

得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,解得m=2.综上可知m=1或m=2.答案:m=1或m=2

13.已知复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i(θ∈R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线.解析:设复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i对应的点为Z(x,y),

则x=2+cosθ,y=1+sinθ即cosθ=x-2,sinθ=y-1所以(x-2)2+(y-1)2=1.

所以复数z在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.

答案:复数z在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.

14．(2014～2015·山东鱼台一中高二期中)已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．

(1)若z是实数，求m的值；

(2)若z是纯虚数，求m的值；

(3)若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．

答案: (1)∵z为实数，∴m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1.

(2)∵z为纯虚数，∴解得m＝0.

(3)∵z所对应的点在第四象限，

∴解得－3<m<0.