高中数学人教版新课标A选修1-22.1合情推理与演绎推理练习题

 www.ks5u.com课时跟踪检测(三)  合情推理与演绎推理

一、选择题

1．下列类比推理恰当的是(　　)

A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay

B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y

C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn

D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c

答案：D

2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为(　　)

A．a1a2a3…a9＝29 　 　 B．a1＋a2＋…＋a9＝29

C．a1a2…a9＝2×9   D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9

解析：选D　等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1＋a2＋…＋a9＝2＋2＋…＋＝2×9.

3．观察式子：

1＋<，

1＋＋<，

1＋＋＋<，…，

则可归纳出第n－1个式子为(　　)

A．1＋＋＋…＋<

B．1＋＋＋…＋<

C．1＋＋＋…＋<

D．1＋＋＋…＋<

解析：选C　观察可得第n－1个式子为：

不等式的左边为的前n项的和，

右边为分式.

4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(　　)

A．289   B．1 024

C．1 225   D．1 378

解析：选C　记三角形数构成的数列为{an}，

则a1＝1，a2＝3＝1＋2，

a3＝6＝1＋2＋3，

a4＝10＝1＋2＋3＋4，

可得通项公式为

an＝1＋2＋3＋…＋n＝.

同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.

将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1 225.

5．将正整数排成下表：

1

2　 3　 4

5　 6　 7 　 8 　9

10　  11　  12　13　14　15　16

… …

则在表中数字2 013出现在(　　)

A．第44行第78列　　　　

B．第45行第78列

C．第44行第77列 

D．第45行第77列

解析：选D　第n行有2n－1个数字，

前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.

∵442＝1 936,452＝2 025，

且1 936＜2 013＜2 025，

∴2 013在第45行．

又2 025－2 013＝12，

且第45行有2×45－1＝89个数字，

∴2 013在第89－12＝77列．

二、填空题

6．设函数f(x)＝(x＞0)，观察：

f1(x)＝f(x)＝，

f2(x)＝f(f1(x))＝，

f3(x)＝f(f2(x))＝，

f4(x)＝f(f3(x))＝，

…

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________________________.

解析：由已知可归纳如下：

f1(x)＝，

f2(x)＝，

f3(x)＝，

f4(x)＝，

…，

fn(x)＝.

答案：

7．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示_________________．

解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．

答案：过原点的平面

8．观察下列等式：

23＝3＋5，

33＝7＋9＋11，

43＝13＋15＋17＋19，

53＝21＋23＋25＋27＋29，…，

若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于________．

解析：经观察，等式右边的数组成数列：3,5,7,9,11，…，所以由3＋(n－1)×2＝109得n＝54，再由等式右边的数的个数为2,3,4，…，且分别等于左边数的底数，

可得2＋3＋4＋…＋m＝54，

即＝54，解得m＝10.

答案：10

三、解答题

9．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．

(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；

(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；

(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；

(4)已知an＝9 900，an是数列第几项？

解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….

(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，

所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.

(3)a10＝11×12＝132.

a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.

(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，

所以n＝98，

即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．

10．已知椭圆具有以下性质：已知M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1(a＞0，b＞0)写出类似的性质，并加以证明．

解：类似的性质为：

已知M，N是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，

点P是双曲线上任意一点，

若直线PM，PN的斜率都存在，

并记为kPM，kPN，

那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．

证明如下：设点M，P的坐标为(m，n)，(x，y)，

则N点的坐标为(－m，－n)．

∵点M(m，n)在已知双曲线－＝1上，

∴－＝1，得n2＝m2－b2.

同理y2＝x2－b2.

∴y2－n2＝(x2－m2)．

则kPM·kPN＝·＝

＝·＝(定值)．

∴kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．