还剩22页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用精品习题
展开
这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用精品习题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022秋•洛阳月考）函数y＝﹣sin2x﹣4csx+6的值域是（ ）
A．[2，10]B．[0，10]C．[0，2]D．[2，8]
2．（2022春•双桥区月考）已知函数，且，则|ω|的最小值为（ ）
A．B．2C．D．1
3．（2022春•焦作期中）如图所示，一船向正北方向航行，当航行到B点时，看见正西方向有两个相距10海里的灯塔C和D恰好与船在一条直线上，继续航行1小时到达A点后，看见灯塔C在船的南偏西60°方向上，灯塔D在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是（ ）
A．5海里/时B．海里/时C．10海里/时D．海里/时
4．（2022•洛阳模拟）已知向量，，则|﹣|的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
5．（2022秋•东城区校级月考）函数f（x）＝sinx﹣cs2x是（ ）
A．奇函数，且最小值为﹣2
B．偶函数，且最小值为﹣2
C．非奇非偶函数，且最小值为
D．非奇非偶函数，且最大值为
6．（2022秋•市北区校级月考）在△ABC中，C＝90°，若x∈R，则f（x）＝sin（x+A）+sin（x+B）的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．
7．（2022秋•成都月考）若，则函数f（x）＝3sinxcsx+x的值域为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022•长沙县校级开学）已知函数在上是增函数，且f（x）在上有最小值，则φ的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋•岳麓区校级期中）已知ω＞0，函数f（x）＝sinωx在上存在最值，则ω的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022秋•胶州市期中）已知，则的最小值为（ ）
A．8B．C．6D．5
二、填空题。
11．（2022秋•河东区校级月考）设，则f（x）在上的值域为 ．
12．（2022秋•武清区校级月考）已知函数f（x）＝sin（x+），x∈[0，]，则函数f（x）的最大值为 ．
13．（2022秋•道里区校级月考）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为T＝24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t（单位：分）的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟，则1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系h（t）的解析式为
．
14．（2022秋•成都月考）辅助角公式是我国清代数学家李善兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容asinx+bcsx＝．（其中a≠0，b∈R，tanφ＝）．已知函数f（x）＝sinωx+mcsωx（m＞0，ω＞0）的图像的两相邻零点之间的距离小于π，x＝为函数f（x）的极大值点且，则实数ω的最小值为 ．
15．（2022春•三水区校级月考）已知函数，其中ω是正整数．若对任意实数a都有{f（x）|a＜x＜a+1}＝{f（x）|x∈R}，则ω的最小值是 ．
16．（2022春•宝安区校级月考）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为（其中记[x]为不超过x的最大整数），且过点，若葫芦曲线上一点M到y轴的距离为，则点M到x轴的距离为 ．
17．（2022秋•郑州月考）如图为矩形ABCD与半圆O的组合图形，其中AB＝2AD＝2，E为半圆弧上一点，EF⊥AB，垂足为F，点P在线段AD上，且PE＝PF，设∠COE＝θ（0≤θ＜π），则△PEF的面积S与θ的关系式为S＝ ；S的最大值为 ．
18．（2022春•景德镇期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水车从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒，经过t秒后，水车旋转到P点，设点P的坐标为（x，y），其纵坐标满足，则φ＝ ；当t＝5时，|PA|＝ ．
三、解答题。
19．（2022•北京学业考试）已知函数．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值．
20．（2022春•华龙区校级期中）某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100米，宽BC＝50米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE、HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
（Ⅰ）设∠CHE＝x（弧度），试将三条路的全长（即△HEF的周长）L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
（Ⅱ）这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用（结果保留整数）（可能用到的参考值：取1.732，取1.414）．
21．（2022秋•天津期中）已知函数．
（1）求的值；
（2）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
22．（2022秋•赣州期中）江西某中学校园内有块扇形空地OPQ，经测量其半径为60m，圆心角为，学校准备在此扇形空地上修建一所矩形室内篮球场ABCD，初步设计方案1如图1所示．
（1）取PQ弧的中点E，连接OE，设∠BOE＝α，试用α表示方案1中矩形ABCD的面积，并求其最大值；
（2）你有没有更好的设计方案2来获得更大的篮球场面积？若有，在图2中画出来，并证明你的结论．
23．（2022秋•西城区校级期中）已知函数f（x）＝cs（2x﹣）﹣2sinxcsx．
（Ⅰ）求f（0）的值并求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）求证：当x∈[﹣，]时，恒有f（x）≥﹣．
24．（2022秋•红桥区校级期中）已知函数f（x）＝4sinxcs（x+）+1．
（I）求f（x）的最小正周期及单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．
25．（2022秋•市南区校级月考）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限．
（Ⅰ）求α，β的值；
（Ⅱ）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，求当它们从点A出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离．
26．（2022秋•虹口区校级期中）如图所示，由圆O的一段弧MPN（其中点P为圆弧的中点）和线段MN构成的形内有一个矩形ABCD和△PDC（其中AB在线段MN上，C、D两点在圆弧上）．
已知圆O的半径为20，点P到MN的距离为25，设直线OC与MN夹角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD和△PDC的面积，并确定sinθ的取值范围；
（2）当θ为何值时，S＝4S矩形ABCD+3S△PDC有最大值，最大值是多少？
专题5.7 三角函数的应用（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•洛阳月考）函数y＝﹣sin2x﹣4csx+6的值域是（ ）
A．[2，10]B．[0，10]C．[0，2]D．[2，8]
【答案】A。
【解答】解：函数y＝﹣sin2x﹣4csx+6＝cs2x﹣4csx+5＝（csx﹣2）2+1，
当csx＝1时函数y取得最小值为2，
当csx＝﹣1时函数y取得最大值为10，
所以函数y的值域是[2，10]．
故选：A．
2．（2022春•双桥区月考）已知函数，且，则|ω|的最小值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】C。
【解答】解：（先利用诱导公式对cs进行变形，变为sin的，这样就和前面的sin是同名函数了．）
由题干已知＝，
所以，得或，
即或．故|ω|的最小值为．
故选：C．
3．（2022春•焦作期中）如图所示，一船向正北方向航行，当航行到B点时，看见正西方向有两个相距10海里的灯塔C和D恰好与船在一条直线上，继续航行1小时到达A点后，看见灯塔C在船的南偏西60°方向上，灯塔D在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是（ ）
A．5海里/时B．海里/时C．10海里/时D．海里/时
【答案】A。
【解答】解：依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD＝∠CDA＝15°，
从而CD＝CA＝10，在 Rt△ABC中，求得AB＝5，
∴这艘船的速度是（海里/时）．
故选：A．
4．（2022•洛阳模拟）已知向量，，则|﹣|的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D。
【解答】解：因为﹣＝（2，sinθ﹣csθ），所以|﹣|＝＝＝，
又，当且仅当sin2θ＝﹣1，当（k∈Z）时等号成立，
故|﹣|的最大值为．
故选：D．
5．（2022秋•东城区校级月考）函数f（x）＝sinx﹣cs2x是（ ）
A．奇函数，且最小值为﹣2
B．偶函数，且最小值为﹣2
C．非奇非偶函数，且最小值为
D．非奇非偶函数，且最大值为
【答案】C。
【解答】解：函数的定义域为R，
f（﹣x）＝sin（﹣x）﹣cs（﹣2x）＝﹣sinx﹣cs2x≠±f（x），
所以函数为非奇非偶函数；
因为f（x）＝sinx﹣cs2x＝sinx﹣（1﹣2sin2x）＝2sin2x+sinx﹣1，
令t＝sinx，则t∈[﹣1，1]，
所以y＝2t2+t﹣1，t∈[﹣1，1]，
对称轴为t＝﹣，
当t＝﹣时，ymin＝﹣，
当t＝1时，ymax＝2，
结合选项可知，C正确，
故选：C．
6．（2022秋•市北区校级月考）在△ABC中，C＝90°，若x∈R，则f（x）＝sin（x+A）+sin（x+B）的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】C。
【解答】解：在△ABC中，C＝90°，
又f（x）＝sin（x+A）+sin（x+B）＝＝2，
又x∈R，
则，
即A＝B＝时，函数f（x）取最大值2，
故选：C．
7．（2022秋•成都月考）若，则函数f（x）＝3sinxcsx+x的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A。
【解答】解：f（x）＝3sinxcsx+x＝sin2x+×＝sin（2x﹣）+，又，可得2x﹣∈[，]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，
所以f（x）＝sin（2x﹣）+∈[0，]．
故选：A．
8．（2022•长沙县校级开学）已知函数在上是增函数，且f（x）在上有最小值，则φ的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：由x∈，可得2x−φ∈[−φ，−φ]，
结合0＜φ＜，由f（x）在[0，]上是增函数，
可得−φ≤，所以≤φ＜①．
当x∈（0，）时，2x−φ∈（−φ，−φ），
由f（x）在（0，）有最小值，可得−φ＞，即 φ＜②，
结合①②可得，≤φ＜，
故选：B．
9．（2022秋•岳麓区校级期中）已知ω＞0，函数f（x）＝sinωx在上存在最值，则ω的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D。
【解答】解：当函数f（x）＝sinωx取最值时，
ωx＝kπ+，k∈Z，即x＝，k∈Z，
由题意知＜＜π，故ω＜k+＜ω，
即，k∈Z，
∵ω＞0，k＝0时，＜ω＜，
k＝1时，＜ω＜，
显然，当ω＞时，＝＝＜＝，
此时f（x）＝sinωx在上必有最值，
综上所述：ω的取值范围是（，）∪（，+∞）．
故选：D．
10．（2022秋•胶州市期中）已知，则的最小值为（ ）
A．8B．C．6D．5
【答案】A。
【解答】解：原式＝+
＝2tan2θ+6，tanθ＞0，
令t＝tanθ∈（0，+∞），，
令f（t）＝+6，t＞0，
f′（t）＝＝，
易知f′（）＝0，当时，f′（t）＜0，此时f（t）单调递减；
时，f′（t）＞0，f（t）此时单调递增，
故f（t）min＝f（）＝8．
故选：A．
二、填空题。
11．（2022秋•河东区校级月考）设，则f（x）在上的值域为 [﹣2﹣，0] ．
【答案】[﹣2﹣，0]。
【解答】解：f（x）＝﹣2sin2x+1+2sinxcsx﹣1＝﹣（1﹣cs2x）+sin2x＝sin2x+cs2x﹣＝2sin（2x+）﹣，
因为x∈[，]，可得2x+∈[π，2π]，
所以sin（2x+）∈[﹣1，]，
所以函数的值域为[﹣2﹣，0]，
故答案为：[﹣2﹣，0]．
12．（2022秋•武清区校级月考）已知函数f（x）＝sin（x+），x∈[0，]，则函数f（x）的最大值为 1 ．
【答案】1。
【解答】解：因为x∈[0，]，
所以x+∈[，]，
可得sin（x+）∈[，1]，
可得函数f（x）＝sin（x+）的最大值为1．
故答案为：1．
13．（2022秋•道里区校级月考）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为T＝24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t（单位：分）的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟，则1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系h（t）的解析式为 h（t）＝30sint+32 （t≥0） ．
【答案】h（t）＝30sint+32，（t≥0）。
【解答】解：设h（t）＝Asin（ωt+θ）+b，（A＞0，ω＞0，t≥0），
由题意可得A＝30，b＝32，T＝24＝，可得ω＝，
当t＝0时，b＝32，可得h（0）＝32，即30sinθ+32＝32，可得θ＝0，
所以函数的解析式为：h（t）＝30sint+32，（t≥0）．
故答案为：h（t）＝30sint+32，（t≥0）．
14．（2022秋•成都月考）辅助角公式是我国清代数学家李善兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容asinx+bcsx＝．（其中a≠0，b∈R，tanφ＝）．已知函数f（x）＝sinωx+mcsωx（m＞0，ω＞0）的图像的两相邻零点之间的距离小于π，x＝为函数f（x）的极大值点且，则实数ω的最小值为 13 ．
【答案】13。
【解答】解：因为函数两相邻零点之间的距离小于π，所以，即，解得ω＞1，
又其中，
因为，
所以，
因为为函数f（x）的极大值点，
所以，
所以，
所以，
所以，
即，所以，
所以，
则，
所以，
即ω＝1+12（k﹣m），k∈Z，m∈Z，
又ω＞0，所以ωmin＝13；
故答案为：13．
15．（2022春•三水区校级月考）已知函数，其中ω是正整数．若对任意实数a都有{f（x）|a＜x＜a+1}＝{f（x）|x∈R}，则ω的最小值是 4 ．
【答案】4。
【解答】解：f（x）＝﹣
＝1﹣
＝1﹣
＝．
由对任意实数a都有{f（x）|a＜x＜a+1}＝{f（x）|x∈R}，故f（x）的最小正周期小于等于1，
故，即ω≥π，
又ω∈Z+，故ω＝4，5，6，……，
故ω的最小值为4．
故答案为：4．
16．（2022春•宝安区校级月考）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为（其中记[x]为不超过x的最大整数），且过点，若葫芦曲线上一点M到y轴的距离为，则点M到x轴的距离为 ．
【答案】。
【解答】解：点P（，3）在曲线上，可得：（3﹣[×]）|sinω|＝3，化简可得：|sinω|＝1，
可得：sinω＝kπ+（k∈Z），
解得：ω＝6k+3（k∈Z）
若葫芦曲线上一点M到y轴的距离为，则等价于x＝，
则有：（3﹣[×]）•|sinω|＝|sinω|＝|sin×（6k+3）|＝，
可得：|y|＝，
故答案为：．
17．（2022秋•郑州月考）如图为矩形ABCD与半圆O的组合图形，其中AB＝2AD＝2，E为半圆弧上一点，EF⊥AB，垂足为F，点P在线段AD上，且PE＝PF，设∠COE＝θ（0≤θ＜π），则△PEF的面积S与θ的关系式为S＝ （1+sinθ）（1+csθ），0≤θ＜π， ；S的最大值为 ．
【答案】（1+sinθ）（1+csθ），0≤θ＜π；。
【解答】解：如图，设EF与CD交于点G，
则依题设有：
EF＝EG+GF＝OEsinθ+1＝1+sinθ，DG＝DO+OG＝1+OEcsθ＝1+csθ，
因为AD∥BC，所以S＝S△PEF＝S△DEF＝EF•DG＝（1+sinθ）（1+csθ），其中0≤θ＜π，
所以S＝（sinθ+csθ+sinθcsθ+1）＝（sinθ+csθ++1）＝++＝[sin（θ+）+1]2，
因为0≤θ＜π，≤θ+，
所以﹣＜sin（θ+）≤1，
所以当且仅当θ＝时，sin（θ+）取最大值1，
S＝[sin（θ+）+1]2取最大值为（+1）2＝，
故答案为：（1+sinθ）（1+csθ），0≤θ＜π；．
18．（2022春•景德镇期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水车从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒，经过t秒后，水车旋转到P点，设点P的坐标为（x，y），其纵坐标满足，则φ＝ ﹣ ；当t＝5时，|PA|＝ 2 ．
【答案】﹣，2。
【解答】解：∵点A（1，−），
∴θA＝﹣，|OA|＝2，
∵旋转一周用时6秒，
∴角速度ω＝＝，可得θP＝θA+ωt＝t﹣，
∴y＝f（t）＝2sinθP＝2sin（t﹣ ），
∴φ＝﹣，
当t＝5时，θP＝t﹣＝，可得2sin＝﹣，可得点P（﹣1，﹣），可得|PA|＝＝2．
故答案为：﹣，2．
三、解答题。
19．（2022•北京学业考试）已知函数．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由解析式可知，最小正周期T＝2π．
（Ⅱ）因为，
所以．
当，即时，f（x）取得最大值．
20．（2022春•华龙区校级期中）某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100米，宽BC＝50米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE、HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
（Ⅰ）设∠CHE＝x（弧度），试将三条路的全长（即△HEF的周长）L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
（Ⅱ）这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用（结果保留整数）（可能用到的参考值：取1.732，取1.414）．
【解答】解：（Ⅰ）∵在Rt△CHE中，CH＝50，∠C＝90°，∠CHE＝x，
∴HE＝
在Rt△HDF中，HD＝50，∠D＝90°，∠DFH＝x，
∴HF＝．
又∠EOF＝90°，
∴EF＝，
∴三条路的全长（即△HEF的周长）L＝．
当点F在点A时，这时角x最小，求得此时x＝；
当点E在点B时，这时角x最大，求得此时x＝．
故此函数的定义域为[，]；
（Ⅱ）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长L的最小值即可．
由（Ⅰ）得L＝，x∈[，]，
设sinx+csx＝t，则sinxcsx＝，
∴L＝
由t＝sinx+csx＝，x∈[，]，
得，
从而+1≤≤+1，当x＝，即CE＝50时，Lmin＝100（），
所以当CE＝DF＝50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96560元．
21．（2022秋•天津期中）已知函数．
（1）求的值；
（2）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）因为f（x）＝sinxcsx﹣cs2x+cs2x+＝sin2x﹣+cs2x+＝sin2x+＝sin（2x+），
所以f（）＝sin（2+）＝sinπ＝；
（2）由 （1）可得f（x）的最小正周期为π，
单调递增区间满足﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；
（3）因为，所以﹣≤2x+≤π，
所以当2x+＝﹣时，即x＝﹣时，函数取到最小值，即f（x）min＝﹣，
当2x+＝时，即x＝时，函数取到最大值，即f（x）max＝1，
所以函数的最大值为1，最小值为﹣．
22．（2022秋•赣州期中）江西某中学校园内有块扇形空地OPQ，经测量其半径为60m，圆心角为，学校准备在此扇形空地上修建一所矩形室内篮球场ABCD，初步设计方案1如图1所示．
（1）取PQ弧的中点E，连接OE，设∠BOE＝α，试用α表示方案1中矩形ABCD的面积，并求其最大值；
（2）你有没有更好的设计方案2来获得更大的篮球场面积？若有，在图2中画出来，并证明你的结论．
【解答】（1）解：如图所示，设OE交AD于点M，交BC于点N，
显然矩形ABCD关于OE对称，而点M、N分别为AD、BC的中点，，
在Rt△ONB中，BN＝CN＝60sinα，ON＝60csα，，
∴，即，
而BC＝2CN＝120sinα，故矩形ABCD的面积
＝
＝，
∵，∴，∴，
故当，即时，S取得最大值，此时，
∴矩形ABCD面积的最大值为；
（2）解：如图所示，在半径OP上截取线段AB为矩形的一边，作得矩形ABCD，
设，可得CB＝60sinθ，OB＝60csθ，
则，
所以矩形ABCD的面积为：
＝
＝，
∴当时，即时，S有最大值为，
即教室面积的最大值为，现将两种方案的最大值进行比较大小，
∵，
∴方案2更合算．
23．（2022秋•西城区校级期中）已知函数f（x）＝cs（2x﹣）﹣2sinxcsx．
（Ⅰ）求f（0）的值并求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）求证：当x∈[﹣，]时，恒有f（x）≥﹣．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝cs（2x−）−2sinxcsx＝cs2x+sin2x−sin2x＝sin2x+cs2x＝sin（2x+），
所以f（0）＝sin＝，
所以函数的最小正周期为T＝＝π，
令﹣+2kπ≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），
整理得：kπ﹣≤x≤kπ+，（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．
（Ⅱ）证明：由于x∈[﹣，]，
所以2x+∈[−，]，
所以sin（2x+）∈[−，1]．
即当x∈[﹣，]时，f（x）≥−恒成立，得证．
24．（2022秋•红桥区校级期中）已知函数f（x）＝4sinxcs（x+）+1．
（I）求f（x）的最小正周期及单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．
【解答】解：（I）f（x）＝4sinxcs（x+）+1＝4sinx（csx﹣sinx）+1＝2sinxcsx﹣2sin2x+1＝sin2x+cs2x＝2sin（2x+），
所以f（x）的最小正周期T＝＝π，
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（Ⅱ）由x∈[﹣，]，可得2x+∈[﹣，]，
所以sin（2x+）∈[﹣，1]，2sin（2x+）∈[﹣1，2]，
所以f（x）的最大值为2，最小值为﹣1．
25．（2022秋•市南区校级月考）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限．
（Ⅰ）求α，β的值；
（Ⅱ）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，求当它们从点A出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得90°＜2α＜2β＜180°，所以45°＜α＜β＜90°，
14β＝14α+k•360°①，且14α＝n•360°②，k，n∈N*，
由①式得，解得n＝2或3，
结合①式得14α＝2×360°，14β＝3×360°，
解得，β＝．
（Ⅱ）它们从点A出发后第一次相遇时，用的时间为，
则红蚂蚁爬过的距离为＝（cm）．
26．（2022秋•虹口区校级期中）如图所示，由圆O的一段弧MPN（其中点P为圆弧的中点）和线段MN构成的形内有一个矩形ABCD和△PDC（其中AB在线段MN上，C、D两点在圆弧上）．
已知圆O的半径为20，点P到MN的距离为25，设直线OC与MN夹角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD和△PDC的面积，并确定sinθ的取值范围；
（2）当θ为何值时，S＝4S矩形ABCD+3S△PDC有最大值，最大值是多少？
【解答】解：（1）矩形ABCD的面积为S矩形ABCD＝AB•BC＝2OE•（EC+EB）＝2×20csθ×（20sinθ+5）＝800sinθcsθ+200csθ；
△PDC的面积为S△PDC＝DC•h＝AB•（PO﹣CE）＝×40csθ×（20﹣20sinθ）＝400csθ（1﹣sinθ）；
过N作NG⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G、K，所以GK＝KN＝5，sinα＝＝，θ∈[α，），sinθ∈[，1）．
（2）因为S＝4S矩形ABCD+3S△PDC＝3200sinθcsθ+800csθ+1200csθ（1﹣sinθ）＝2000（sinθcsθ+csθ），
设f（θ）＝sinθcsθ+csθ，则f′（θ）＝cs2θ﹣sin2θ﹣sinθ＝1﹣2sin2θ﹣sinθ，令f′（θ）＝0，解得sinθ＝或sinθ＝﹣1（不合题意，舍去），
所以θ∈（α，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；θ∈（，）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；
所以f（θ）的极大值也是最大值，为f（）＝2000×（sincs+cs）＝200×（×+）＝1500，
即S的最大值为1500．
1．（2022秋•洛阳月考）函数y＝﹣sin2x﹣4csx+6的值域是（ ）
A．[2，10]B．[0，10]C．[0，2]D．[2，8]
2．（2022春•双桥区月考）已知函数，且，则|ω|的最小值为（ ）
A．B．2C．D．1
3．（2022春•焦作期中）如图所示，一船向正北方向航行，当航行到B点时，看见正西方向有两个相距10海里的灯塔C和D恰好与船在一条直线上，继续航行1小时到达A点后，看见灯塔C在船的南偏西60°方向上，灯塔D在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是（ ）
A．5海里/时B．海里/时C．10海里/时D．海里/时
4．（2022•洛阳模拟）已知向量，，则|﹣|的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
5．（2022秋•东城区校级月考）函数f（x）＝sinx﹣cs2x是（ ）
A．奇函数，且最小值为﹣2
B．偶函数，且最小值为﹣2
C．非奇非偶函数，且最小值为
D．非奇非偶函数，且最大值为
6．（2022秋•市北区校级月考）在△ABC中，C＝90°，若x∈R，则f（x）＝sin（x+A）+sin（x+B）的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．
7．（2022秋•成都月考）若，则函数f（x）＝3sinxcsx+x的值域为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022•长沙县校级开学）已知函数在上是增函数，且f（x）在上有最小值，则φ的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋•岳麓区校级期中）已知ω＞0，函数f（x）＝sinωx在上存在最值，则ω的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022秋•胶州市期中）已知，则的最小值为（ ）
A．8B．C．6D．5
二、填空题。
11．（2022秋•河东区校级月考）设，则f（x）在上的值域为 ．
12．（2022秋•武清区校级月考）已知函数f（x）＝sin（x+），x∈[0，]，则函数f（x）的最大值为 ．
13．（2022秋•道里区校级月考）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为T＝24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t（单位：分）的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟，则1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系h（t）的解析式为
．
14．（2022秋•成都月考）辅助角公式是我国清代数学家李善兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容asinx+bcsx＝．（其中a≠0，b∈R，tanφ＝）．已知函数f（x）＝sinωx+mcsωx（m＞0，ω＞0）的图像的两相邻零点之间的距离小于π，x＝为函数f（x）的极大值点且，则实数ω的最小值为 ．
15．（2022春•三水区校级月考）已知函数，其中ω是正整数．若对任意实数a都有{f（x）|a＜x＜a+1}＝{f（x）|x∈R}，则ω的最小值是 ．
16．（2022春•宝安区校级月考）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为（其中记[x]为不超过x的最大整数），且过点，若葫芦曲线上一点M到y轴的距离为，则点M到x轴的距离为 ．
17．（2022秋•郑州月考）如图为矩形ABCD与半圆O的组合图形，其中AB＝2AD＝2，E为半圆弧上一点，EF⊥AB，垂足为F，点P在线段AD上，且PE＝PF，设∠COE＝θ（0≤θ＜π），则△PEF的面积S与θ的关系式为S＝ ；S的最大值为 ．
18．（2022春•景德镇期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水车从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒，经过t秒后，水车旋转到P点，设点P的坐标为（x，y），其纵坐标满足，则φ＝ ；当t＝5时，|PA|＝ ．
三、解答题。
19．（2022•北京学业考试）已知函数．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值．
20．（2022春•华龙区校级期中）某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100米，宽BC＝50米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE、HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
（Ⅰ）设∠CHE＝x（弧度），试将三条路的全长（即△HEF的周长）L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
（Ⅱ）这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用（结果保留整数）（可能用到的参考值：取1.732，取1.414）．
21．（2022秋•天津期中）已知函数．
（1）求的值；
（2）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
22．（2022秋•赣州期中）江西某中学校园内有块扇形空地OPQ，经测量其半径为60m，圆心角为，学校准备在此扇形空地上修建一所矩形室内篮球场ABCD，初步设计方案1如图1所示．
（1）取PQ弧的中点E，连接OE，设∠BOE＝α，试用α表示方案1中矩形ABCD的面积，并求其最大值；
（2）你有没有更好的设计方案2来获得更大的篮球场面积？若有，在图2中画出来，并证明你的结论．
23．（2022秋•西城区校级期中）已知函数f（x）＝cs（2x﹣）﹣2sinxcsx．
（Ⅰ）求f（0）的值并求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）求证：当x∈[﹣，]时，恒有f（x）≥﹣．
24．（2022秋•红桥区校级期中）已知函数f（x）＝4sinxcs（x+）+1．
（I）求f（x）的最小正周期及单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．
25．（2022秋•市南区校级月考）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限．
（Ⅰ）求α，β的值；
（Ⅱ）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，求当它们从点A出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离．
26．（2022秋•虹口区校级期中）如图所示，由圆O的一段弧MPN（其中点P为圆弧的中点）和线段MN构成的形内有一个矩形ABCD和△PDC（其中AB在线段MN上，C、D两点在圆弧上）．
已知圆O的半径为20，点P到MN的距离为25，设直线OC与MN夹角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD和△PDC的面积，并确定sinθ的取值范围；
（2）当θ为何值时，S＝4S矩形ABCD+3S△PDC有最大值，最大值是多少？
专题5.7 三角函数的应用（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•洛阳月考）函数y＝﹣sin2x﹣4csx+6的值域是（ ）
A．[2，10]B．[0，10]C．[0，2]D．[2，8]
【答案】A。
【解答】解：函数y＝﹣sin2x﹣4csx+6＝cs2x﹣4csx+5＝（csx﹣2）2+1，
当csx＝1时函数y取得最小值为2，
当csx＝﹣1时函数y取得最大值为10，
所以函数y的值域是[2，10]．
故选：A．
2．（2022春•双桥区月考）已知函数，且，则|ω|的最小值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】C。
【解答】解：（先利用诱导公式对cs进行变形，变为sin的，这样就和前面的sin是同名函数了．）
由题干已知＝，
所以，得或，
即或．故|ω|的最小值为．
故选：C．
3．（2022春•焦作期中）如图所示，一船向正北方向航行，当航行到B点时，看见正西方向有两个相距10海里的灯塔C和D恰好与船在一条直线上，继续航行1小时到达A点后，看见灯塔C在船的南偏西60°方向上，灯塔D在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是（ ）
A．5海里/时B．海里/时C．10海里/时D．海里/时
【答案】A。
【解答】解：依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD＝∠CDA＝15°，
从而CD＝CA＝10，在 Rt△ABC中，求得AB＝5，
∴这艘船的速度是（海里/时）．
故选：A．
4．（2022•洛阳模拟）已知向量，，则|﹣|的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D。
【解答】解：因为﹣＝（2，sinθ﹣csθ），所以|﹣|＝＝＝，
又，当且仅当sin2θ＝﹣1，当（k∈Z）时等号成立，
故|﹣|的最大值为．
故选：D．
5．（2022秋•东城区校级月考）函数f（x）＝sinx﹣cs2x是（ ）
A．奇函数，且最小值为﹣2
B．偶函数，且最小值为﹣2
C．非奇非偶函数，且最小值为
D．非奇非偶函数，且最大值为
【答案】C。
【解答】解：函数的定义域为R，
f（﹣x）＝sin（﹣x）﹣cs（﹣2x）＝﹣sinx﹣cs2x≠±f（x），
所以函数为非奇非偶函数；
因为f（x）＝sinx﹣cs2x＝sinx﹣（1﹣2sin2x）＝2sin2x+sinx﹣1，
令t＝sinx，则t∈[﹣1，1]，
所以y＝2t2+t﹣1，t∈[﹣1，1]，
对称轴为t＝﹣，
当t＝﹣时，ymin＝﹣，
当t＝1时，ymax＝2，
结合选项可知，C正确，
故选：C．
6．（2022秋•市北区校级月考）在△ABC中，C＝90°，若x∈R，则f（x）＝sin（x+A）+sin（x+B）的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】C。
【解答】解：在△ABC中，C＝90°，
又f（x）＝sin（x+A）+sin（x+B）＝＝2，
又x∈R，
则，
即A＝B＝时，函数f（x）取最大值2，
故选：C．
7．（2022秋•成都月考）若，则函数f（x）＝3sinxcsx+x的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A。
【解答】解：f（x）＝3sinxcsx+x＝sin2x+×＝sin（2x﹣）+，又，可得2x﹣∈[，]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，
所以f（x）＝sin（2x﹣）+∈[0，]．
故选：A．
8．（2022•长沙县校级开学）已知函数在上是增函数，且f（x）在上有最小值，则φ的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：由x∈，可得2x−φ∈[−φ，−φ]，
结合0＜φ＜，由f（x）在[0，]上是增函数，
可得−φ≤，所以≤φ＜①．
当x∈（0，）时，2x−φ∈（−φ，−φ），
由f（x）在（0，）有最小值，可得−φ＞，即 φ＜②，
结合①②可得，≤φ＜，
故选：B．
9．（2022秋•岳麓区校级期中）已知ω＞0，函数f（x）＝sinωx在上存在最值，则ω的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D。
【解答】解：当函数f（x）＝sinωx取最值时，
ωx＝kπ+，k∈Z，即x＝，k∈Z，
由题意知＜＜π，故ω＜k+＜ω，
即，k∈Z，
∵ω＞0，k＝0时，＜ω＜，
k＝1时，＜ω＜，
显然，当ω＞时，＝＝＜＝，
此时f（x）＝sinωx在上必有最值，
综上所述：ω的取值范围是（，）∪（，+∞）．
故选：D．
10．（2022秋•胶州市期中）已知，则的最小值为（ ）
A．8B．C．6D．5
【答案】A。
【解答】解：原式＝+
＝2tan2θ+6，tanθ＞0，
令t＝tanθ∈（0，+∞），，
令f（t）＝+6，t＞0，
f′（t）＝＝，
易知f′（）＝0，当时，f′（t）＜0，此时f（t）单调递减；
时，f′（t）＞0，f（t）此时单调递增，
故f（t）min＝f（）＝8．
故选：A．
二、填空题。
11．（2022秋•河东区校级月考）设，则f（x）在上的值域为 [﹣2﹣，0] ．
【答案】[﹣2﹣，0]。
【解答】解：f（x）＝﹣2sin2x+1+2sinxcsx﹣1＝﹣（1﹣cs2x）+sin2x＝sin2x+cs2x﹣＝2sin（2x+）﹣，
因为x∈[，]，可得2x+∈[π，2π]，
所以sin（2x+）∈[﹣1，]，
所以函数的值域为[﹣2﹣，0]，
故答案为：[﹣2﹣，0]．
12．（2022秋•武清区校级月考）已知函数f（x）＝sin（x+），x∈[0，]，则函数f（x）的最大值为 1 ．
【答案】1。
【解答】解：因为x∈[0，]，
所以x+∈[，]，
可得sin（x+）∈[，1]，
可得函数f（x）＝sin（x+）的最大值为1．
故答案为：1．
13．（2022秋•道里区校级月考）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为T＝24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t（单位：分）的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟，则1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系h（t）的解析式为 h（t）＝30sint+32 （t≥0） ．
【答案】h（t）＝30sint+32，（t≥0）。
【解答】解：设h（t）＝Asin（ωt+θ）+b，（A＞0，ω＞0，t≥0），
由题意可得A＝30，b＝32，T＝24＝，可得ω＝，
当t＝0时，b＝32，可得h（0）＝32，即30sinθ+32＝32，可得θ＝0，
所以函数的解析式为：h（t）＝30sint+32，（t≥0）．
故答案为：h（t）＝30sint+32，（t≥0）．
14．（2022秋•成都月考）辅助角公式是我国清代数学家李善兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容asinx+bcsx＝．（其中a≠0，b∈R，tanφ＝）．已知函数f（x）＝sinωx+mcsωx（m＞0，ω＞0）的图像的两相邻零点之间的距离小于π，x＝为函数f（x）的极大值点且，则实数ω的最小值为 13 ．
【答案】13。
【解答】解：因为函数两相邻零点之间的距离小于π，所以，即，解得ω＞1，
又其中，
因为，
所以，
因为为函数f（x）的极大值点，
所以，
所以，
所以，
所以，
即，所以，
所以，
则，
所以，
即ω＝1+12（k﹣m），k∈Z，m∈Z，
又ω＞0，所以ωmin＝13；
故答案为：13．
15．（2022春•三水区校级月考）已知函数，其中ω是正整数．若对任意实数a都有{f（x）|a＜x＜a+1}＝{f（x）|x∈R}，则ω的最小值是 4 ．
【答案】4。
【解答】解：f（x）＝﹣
＝1﹣
＝1﹣
＝．
由对任意实数a都有{f（x）|a＜x＜a+1}＝{f（x）|x∈R}，故f（x）的最小正周期小于等于1，
故，即ω≥π，
又ω∈Z+，故ω＝4，5，6，……，
故ω的最小值为4．
故答案为：4．
16．（2022春•宝安区校级月考）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为（其中记[x]为不超过x的最大整数），且过点，若葫芦曲线上一点M到y轴的距离为，则点M到x轴的距离为 ．
【答案】。
【解答】解：点P（，3）在曲线上，可得：（3﹣[×]）|sinω|＝3，化简可得：|sinω|＝1，
可得：sinω＝kπ+（k∈Z），
解得：ω＝6k+3（k∈Z）
若葫芦曲线上一点M到y轴的距离为，则等价于x＝，
则有：（3﹣[×]）•|sinω|＝|sinω|＝|sin×（6k+3）|＝，
可得：|y|＝，
故答案为：．
17．（2022秋•郑州月考）如图为矩形ABCD与半圆O的组合图形，其中AB＝2AD＝2，E为半圆弧上一点，EF⊥AB，垂足为F，点P在线段AD上，且PE＝PF，设∠COE＝θ（0≤θ＜π），则△PEF的面积S与θ的关系式为S＝ （1+sinθ）（1+csθ），0≤θ＜π， ；S的最大值为 ．
【答案】（1+sinθ）（1+csθ），0≤θ＜π；。
【解答】解：如图，设EF与CD交于点G，
则依题设有：
EF＝EG+GF＝OEsinθ+1＝1+sinθ，DG＝DO+OG＝1+OEcsθ＝1+csθ，
因为AD∥BC，所以S＝S△PEF＝S△DEF＝EF•DG＝（1+sinθ）（1+csθ），其中0≤θ＜π，
所以S＝（sinθ+csθ+sinθcsθ+1）＝（sinθ+csθ++1）＝++＝[sin（θ+）+1]2，
因为0≤θ＜π，≤θ+，
所以﹣＜sin（θ+）≤1，
所以当且仅当θ＝时，sin（θ+）取最大值1，
S＝[sin（θ+）+1]2取最大值为（+1）2＝，
故答案为：（1+sinθ）（1+csθ），0≤θ＜π；．
18．（2022春•景德镇期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水车从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒，经过t秒后，水车旋转到P点，设点P的坐标为（x，y），其纵坐标满足，则φ＝ ﹣ ；当t＝5时，|PA|＝ 2 ．
【答案】﹣，2。
【解答】解：∵点A（1，−），
∴θA＝﹣，|OA|＝2，
∵旋转一周用时6秒，
∴角速度ω＝＝，可得θP＝θA+ωt＝t﹣，
∴y＝f（t）＝2sinθP＝2sin（t﹣ ），
∴φ＝﹣，
当t＝5时，θP＝t﹣＝，可得2sin＝﹣，可得点P（﹣1，﹣），可得|PA|＝＝2．
故答案为：﹣，2．
三、解答题。
19．（2022•北京学业考试）已知函数．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由解析式可知，最小正周期T＝2π．
（Ⅱ）因为，
所以．
当，即时，f（x）取得最大值．
20．（2022春•华龙区校级期中）某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100米，宽BC＝50米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE、HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
（Ⅰ）设∠CHE＝x（弧度），试将三条路的全长（即△HEF的周长）L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
（Ⅱ）这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用（结果保留整数）（可能用到的参考值：取1.732，取1.414）．
【解答】解：（Ⅰ）∵在Rt△CHE中，CH＝50，∠C＝90°，∠CHE＝x，
∴HE＝
在Rt△HDF中，HD＝50，∠D＝90°，∠DFH＝x，
∴HF＝．
又∠EOF＝90°，
∴EF＝，
∴三条路的全长（即△HEF的周长）L＝．
当点F在点A时，这时角x最小，求得此时x＝；
当点E在点B时，这时角x最大，求得此时x＝．
故此函数的定义域为[，]；
（Ⅱ）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长L的最小值即可．
由（Ⅰ）得L＝，x∈[，]，
设sinx+csx＝t，则sinxcsx＝，
∴L＝
由t＝sinx+csx＝，x∈[，]，
得，
从而+1≤≤+1，当x＝，即CE＝50时，Lmin＝100（），
所以当CE＝DF＝50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96560元．
21．（2022秋•天津期中）已知函数．
（1）求的值；
（2）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）因为f（x）＝sinxcsx﹣cs2x+cs2x+＝sin2x﹣+cs2x+＝sin2x+＝sin（2x+），
所以f（）＝sin（2+）＝sinπ＝；
（2）由 （1）可得f（x）的最小正周期为π，
单调递增区间满足﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；
（3）因为，所以﹣≤2x+≤π，
所以当2x+＝﹣时，即x＝﹣时，函数取到最小值，即f（x）min＝﹣，
当2x+＝时，即x＝时，函数取到最大值，即f（x）max＝1，
所以函数的最大值为1，最小值为﹣．
22．（2022秋•赣州期中）江西某中学校园内有块扇形空地OPQ，经测量其半径为60m，圆心角为，学校准备在此扇形空地上修建一所矩形室内篮球场ABCD，初步设计方案1如图1所示．
（1）取PQ弧的中点E，连接OE，设∠BOE＝α，试用α表示方案1中矩形ABCD的面积，并求其最大值；
（2）你有没有更好的设计方案2来获得更大的篮球场面积？若有，在图2中画出来，并证明你的结论．
【解答】（1）解：如图所示，设OE交AD于点M，交BC于点N，
显然矩形ABCD关于OE对称，而点M、N分别为AD、BC的中点，，
在Rt△ONB中，BN＝CN＝60sinα，ON＝60csα，，
∴，即，
而BC＝2CN＝120sinα，故矩形ABCD的面积
＝
＝，
∵，∴，∴，
故当，即时，S取得最大值，此时，
∴矩形ABCD面积的最大值为；
（2）解：如图所示，在半径OP上截取线段AB为矩形的一边，作得矩形ABCD，
设，可得CB＝60sinθ，OB＝60csθ，
则，
所以矩形ABCD的面积为：
＝
＝，
∴当时，即时，S有最大值为，
即教室面积的最大值为，现将两种方案的最大值进行比较大小，
∵，
∴方案2更合算．
23．（2022秋•西城区校级期中）已知函数f（x）＝cs（2x﹣）﹣2sinxcsx．
（Ⅰ）求f（0）的值并求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）求证：当x∈[﹣，]时，恒有f（x）≥﹣．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝cs（2x−）−2sinxcsx＝cs2x+sin2x−sin2x＝sin2x+cs2x＝sin（2x+），
所以f（0）＝sin＝，
所以函数的最小正周期为T＝＝π，
令﹣+2kπ≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），
整理得：kπ﹣≤x≤kπ+，（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．
（Ⅱ）证明：由于x∈[﹣，]，
所以2x+∈[−，]，
所以sin（2x+）∈[−，1]．
即当x∈[﹣，]时，f（x）≥−恒成立，得证．
24．（2022秋•红桥区校级期中）已知函数f（x）＝4sinxcs（x+）+1．
（I）求f（x）的最小正周期及单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．
【解答】解：（I）f（x）＝4sinxcs（x+）+1＝4sinx（csx﹣sinx）+1＝2sinxcsx﹣2sin2x+1＝sin2x+cs2x＝2sin（2x+），
所以f（x）的最小正周期T＝＝π，
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（Ⅱ）由x∈[﹣，]，可得2x+∈[﹣，]，
所以sin（2x+）∈[﹣，1]，2sin（2x+）∈[﹣1，2]，
所以f（x）的最大值为2，最小值为﹣1．
25．（2022秋•市南区校级月考）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限．
（Ⅰ）求α，β的值；
（Ⅱ）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，求当它们从点A出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得90°＜2α＜2β＜180°，所以45°＜α＜β＜90°，
14β＝14α+k•360°①，且14α＝n•360°②，k，n∈N*，
由①式得，解得n＝2或3，
结合①式得14α＝2×360°，14β＝3×360°，
解得，β＝．
（Ⅱ）它们从点A出发后第一次相遇时，用的时间为，
则红蚂蚁爬过的距离为＝（cm）．
26．（2022秋•虹口区校级期中）如图所示，由圆O的一段弧MPN（其中点P为圆弧的中点）和线段MN构成的形内有一个矩形ABCD和△PDC（其中AB在线段MN上，C、D两点在圆弧上）．
已知圆O的半径为20，点P到MN的距离为25，设直线OC与MN夹角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD和△PDC的面积，并确定sinθ的取值范围；
（2）当θ为何值时，S＝4S矩形ABCD+3S△PDC有最大值，最大值是多少？
【解答】解：（1）矩形ABCD的面积为S矩形ABCD＝AB•BC＝2OE•（EC+EB）＝2×20csθ×（20sinθ+5）＝800sinθcsθ+200csθ；
△PDC的面积为S△PDC＝DC•h＝AB•（PO﹣CE）＝×40csθ×（20﹣20sinθ）＝400csθ（1﹣sinθ）；
过N作NG⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G、K，所以GK＝KN＝5，sinα＝＝，θ∈[α，），sinθ∈[，1）．
（2）因为S＝4S矩形ABCD+3S△PDC＝3200sinθcsθ+800csθ+1200csθ（1﹣sinθ）＝2000（sinθcsθ+csθ），
设f（θ）＝sinθcsθ+csθ，则f′（θ）＝cs2θ﹣sin2θ﹣sinθ＝1﹣2sin2θ﹣sinθ，令f′（θ）＝0，解得sinθ＝或sinθ＝﹣1（不合题意，舍去），
所以θ∈（α，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；θ∈（，）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；
所以f（θ）的极大值也是最大值，为f（）＝2000×（sincs+cs）＝200×（×+）＝1500，
即S的最大值为1500．
相关试卷
人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用优秀同步达标检测题： 这是一份人教A版 (2019)必修 第一册<a href="/sx/tb_c4000286_t7/?tag_id=28" target="_blank">5.7 三角函数的应用优秀同步达标检测题</a>，共19页。
人教A版 (2019)5.3 诱导公式精品达标测试： 这是一份人教A版 (2019)<a href="/sx/tb_c4000282_t7/?tag_id=28" target="_blank">5.3 诱导公式精品达标测试</a>，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高中人教A版 (2019)4.1 指数精品精练： 这是一份高中人教A版 (2019)<a href="/sx/tb_c4000273_t7/?tag_id=28" target="_blank">4.1 指数精品精练</a>，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
