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人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用优秀同步达标检测题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用优秀同步达标检测题，共19页。
1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2.选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
3.身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。
【知识点梳理】
知识点一：函数(,)中,各参数的物理意义
知识点二：应用三角函数模型解决问题的一般程序
应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.
(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.
(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.
【典例分析】
【考点1 圆周运动】
【典例1】（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）如图，某摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，，已知摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处．则（米）关于（分钟）的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2021·全国高一单元测试）如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ）
A．ω＝，A＝3B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5D．ω＝，A＝5
【变式1-2】（2022·重庆北碚·西南大学附中高一月考）（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）
A．水斗作周期运动的初相为
B．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加
C．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是
D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
【变式1-3】（2022·全国高一课时练习）（多选）如图，一个水轮的半径为，水轮轴心距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时的起始（图中点）开始计时，记为点距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．不论为何值，是定值
【变式1-4】（2022·全国高一课时练习）（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，函数单调递增.
C．当时，函数最小值为.
D．当9时，
【考点2 几何问题】
【典例2】（2022·江苏南京二十七中高一期中）如图，已知两座建筑物，的高度分别是12m，20m，从建筑物的顶部A处看建筑物的张角，则建筑物，的底部B，D之间的距离是（ ）
A．18mB．20mC．24mD．30m
【变式2-1】（2021·全国）达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：(其中).根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2021·安徽芜湖一中高一月考）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上，则旗杆的高度为___________.
【考点3 其他问题】
【典例3】（2022·浙江宁波·高一期末）某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.
（1）根据图中数据，试求的表达式.
（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？
【变式3-1】（2021·全国）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，，画出函数图象，并求出函数解析式.
（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
参考数据：
【变式3-2】（2021·湖南湘西·）如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数
（1）求出这段曲线的函数解析式；
（2）求满足条件的x的取值范围．
专题5.7 三角函数的应用（知识解读）
【学习目标】
1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2.选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
3.身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。
【知识点梳理】
知识点一：函数(,)中,各参数的物理意义
知识点二：应用三角函数模型解决问题的一般程序
应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.
(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.
(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.
【典例分析】
【考点1 圆周运动】
【典例1】（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）如图，某摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，，已知摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处．则（米）关于（分钟）的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：由题意，A＝50，b＝60，T＝3；
故ω，
故y＝50sin（t+φ）+60；
则由50sinφ+60＝10及φ∈[﹣π，π]得，
φ；
故y50sin（t）+60；
故选：C
【变式1-1】（2021·全国高一单元测试）如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ）
A．ω＝，A＝3B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5D．ω＝，A＝5
【答案】A
【解析】由题目可知最大值为5，∴ 5＝A×1＋2⇒A＝3．
，则．故选:A
【变式1-2】（2022·重庆北碚·西南大学附中高一月考）（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）
A．水斗作周期运动的初相为
B．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加
C．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是
D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
【答案】AD
【解析】对于A，由，知，，所以；
当时，点P在点A位置，有，解得，又，所以，故A正确；
对于B，可知，当，，所以函数先增后减，故B错误；
对于C，当，，，所以点到轴的距离的最大值为6，故C错误；
对于D，当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，故D正确．
故选：AD．
【变式1-3】（2022·全国高一课时练习）（多选）如图，一个水轮的半径为，水轮轴心距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时的起始（图中点）开始计时，记为点距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．不论为何值，是定值
【答案】BD
【解析】设，则，，则，
由题意可知，可得，
，可得，
由图可知，函数在附近单调递增，可得，
所以，.
对于A选项，，A错；
对于B选项，，，，B对；
对于C选项，由，可得，
所以，，解得，C错；
对于D选项，
，D对.
故选：BD.
【变式1-4】（2022·全国高一课时练习）（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，函数单调递增.
C．当时，函数最小值为.
D．当9时，
【答案】BD
【解析】由题，，，，故，
又当时，，且，，
所以，故A错误：
当时，，所以函数在是单调递增的，故B正确：
当时，，所以函数在是单减的，故最小值为，故C错误：
当时，，的横坐标为，又，此时点，为水车直径，故，故D正确．
故选：BD
【考点2 几何问题】
【典例2】（2022·江苏南京二十七中高一期中）如图，已知两座建筑物，的高度分别是12m，20m，从建筑物的顶部A处看建筑物的张角，则建筑物，的底部B，D之间的距离是（ ）
A．18mB．20mC．24mD．30m
【答案】C
【解析】如图，过A作于，设，
∵，记，则，
在中，,
∴,
在中，,
∴,
∴，
∴，
解得：或（舍去），
所以建筑物，的底部B，D之间的距离是24m.
故选：C.
【变式2-1】（2021·全国）达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：(其中).根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，设．
则．
，．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．
则，
．
故选：C
【变式2-2】（2021·安徽芜湖一中高一月考）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上，则旗杆的高度为___________.
【答案】15米
【解析】如图所示，由题得，，，
，由正弦定理可知，
米，
在中，米，即旗杆的高度为15米.
故答案为：15米
【考点3 其他问题】
【典例3】（2022·浙江宁波·高一期末）某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.
（1）根据图中数据，试求的表达式.
（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？
【答案】（1）；（2）老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；
【解析】解：（1）依题意可得解得，又即，解得，所以，又函数过点，所以，即，所以，解得，因为，所以，所以
（2）依题意令，即
所以
解得
因为
所以，又
即老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；
【变式3-1】（2021·全国）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，，画出函数图象，并求出函数解析式.
（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
参考数据：
【答案】（1）作图见解析，；（2）该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.
【解析】（1）
由图象可知，，
则有
又因为时取最大值6.5，可得，
所以
（2）货船需要的安全水深为米，
所以当时就可以进港.
令，
得
得，
即，
当时，；当时，，
所以，该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.振幅
它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离
周期
它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间
频率
它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数
相位
时的相位称为初相
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深/米
4.5
6.5
4.5
2.5
4.5
6.5
4.5
2.5
4.5
振幅
它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离
周期
它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间
频率
它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数
相位
时的相位称为初相
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深/米
4.5
6.5
4.5
2.5
4.5
6.5
4.5
2.5
4.5
【变式3-2】（2021·湖南湘西·）如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数
（1）求出这段曲线的函数解析式；
（2）求满足条件的x的取值范围．
【答案】(1)，；(2).
【解析】(1)由图知，，解得，，
又，，即，.
所以，
代入点，有，
所以， ，，
又，所以取，，
所以，.
(2) 由，得，
又，所以，
由，得，解得，
结合图象可知，的解集为.
1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2.选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
3.身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。
【知识点梳理】
知识点一：函数(,)中,各参数的物理意义
知识点二：应用三角函数模型解决问题的一般程序
应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.
(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.
(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.
【典例分析】
【考点1 圆周运动】
【典例1】（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）如图，某摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，，已知摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处．则（米）关于（分钟）的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2021·全国高一单元测试）如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ）
A．ω＝，A＝3B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5D．ω＝，A＝5
【变式1-2】（2022·重庆北碚·西南大学附中高一月考）（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）
A．水斗作周期运动的初相为
B．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加
C．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是
D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
【变式1-3】（2022·全国高一课时练习）（多选）如图，一个水轮的半径为，水轮轴心距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时的起始（图中点）开始计时，记为点距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．不论为何值，是定值
【变式1-4】（2022·全国高一课时练习）（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，函数单调递增.
C．当时，函数最小值为.
D．当9时，
【考点2 几何问题】
【典例2】（2022·江苏南京二十七中高一期中）如图，已知两座建筑物，的高度分别是12m，20m，从建筑物的顶部A处看建筑物的张角，则建筑物，的底部B，D之间的距离是（ ）
A．18mB．20mC．24mD．30m
【变式2-1】（2021·全国）达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：(其中).根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2021·安徽芜湖一中高一月考）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上，则旗杆的高度为___________.
【考点3 其他问题】
【典例3】（2022·浙江宁波·高一期末）某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.
（1）根据图中数据，试求的表达式.
（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？
【变式3-1】（2021·全国）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，，画出函数图象，并求出函数解析式.
（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
参考数据：
【变式3-2】（2021·湖南湘西·）如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数
（1）求出这段曲线的函数解析式；
（2）求满足条件的x的取值范围．
专题5.7 三角函数的应用（知识解读）
【学习目标】
1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2.选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
3.身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。
【知识点梳理】
知识点一：函数(,)中,各参数的物理意义
知识点二：应用三角函数模型解决问题的一般程序
应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.
(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.
(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.
【典例分析】
【考点1 圆周运动】
【典例1】（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）如图，某摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，，已知摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处．则（米）关于（分钟）的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：由题意，A＝50，b＝60，T＝3；
故ω，
故y＝50sin（t+φ）+60；
则由50sinφ+60＝10及φ∈[﹣π，π]得，
φ；
故y50sin（t）+60；
故选：C
【变式1-1】（2021·全国高一单元测试）如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ）
A．ω＝，A＝3B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5D．ω＝，A＝5
【答案】A
【解析】由题目可知最大值为5，∴ 5＝A×1＋2⇒A＝3．
，则．故选:A
【变式1-2】（2022·重庆北碚·西南大学附中高一月考）（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）
A．水斗作周期运动的初相为
B．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加
C．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是
D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
【答案】AD
【解析】对于A，由，知，，所以；
当时，点P在点A位置，有，解得，又，所以，故A正确；
对于B，可知，当，，所以函数先增后减，故B错误；
对于C，当，，，所以点到轴的距离的最大值为6，故C错误；
对于D，当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，故D正确．
故选：AD．
【变式1-3】（2022·全国高一课时练习）（多选）如图，一个水轮的半径为，水轮轴心距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时的起始（图中点）开始计时，记为点距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．不论为何值，是定值
【答案】BD
【解析】设，则，，则，
由题意可知，可得，
，可得，
由图可知，函数在附近单调递增，可得，
所以，.
对于A选项，，A错；
对于B选项，，，，B对；
对于C选项，由，可得，
所以，，解得，C错；
对于D选项，
，D对.
故选：BD.
【变式1-4】（2022·全国高一课时练习）（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，函数单调递增.
C．当时，函数最小值为.
D．当9时，
【答案】BD
【解析】由题，，，，故，
又当时，，且，，
所以，故A错误：
当时，，所以函数在是单调递增的，故B正确：
当时，，所以函数在是单减的，故最小值为，故C错误：
当时，，的横坐标为，又，此时点，为水车直径，故，故D正确．
故选：BD
【考点2 几何问题】
【典例2】（2022·江苏南京二十七中高一期中）如图，已知两座建筑物，的高度分别是12m，20m，从建筑物的顶部A处看建筑物的张角，则建筑物，的底部B，D之间的距离是（ ）
A．18mB．20mC．24mD．30m
【答案】C
【解析】如图，过A作于，设，
∵，记，则，
在中，,
∴,
在中，,
∴,
∴，
∴，
解得：或（舍去），
所以建筑物，的底部B，D之间的距离是24m.
故选：C.
【变式2-1】（2021·全国）达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：(其中).根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，设．
则．
，．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．
则，
．
故选：C
【变式2-2】（2021·安徽芜湖一中高一月考）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上，则旗杆的高度为___________.
【答案】15米
【解析】如图所示，由题得，，，
，由正弦定理可知，
米，
在中，米，即旗杆的高度为15米.
故答案为：15米
【考点3 其他问题】
【典例3】（2022·浙江宁波·高一期末）某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.
（1）根据图中数据，试求的表达式.
（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？
【答案】（1）；（2）老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；
【解析】解：（1）依题意可得解得，又即，解得，所以，又函数过点，所以，即，所以，解得，因为，所以，所以
（2）依题意令，即
所以
解得
因为
所以，又
即老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；
【变式3-1】（2021·全国）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，，画出函数图象，并求出函数解析式.
（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
参考数据：
【答案】（1）作图见解析，；（2）该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.
【解析】（1）
由图象可知，，
则有
又因为时取最大值6.5，可得，
所以
（2）货船需要的安全水深为米，
所以当时就可以进港.
令，
得
得，
即，
当时，；当时，，
所以，该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.振幅
它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离
周期
它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间
频率
它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数
相位
时的相位称为初相
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深/米
4.5
6.5
4.5
2.5
4.5
6.5
4.5
2.5
4.5
振幅
它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离
周期
它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间
频率
它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数
相位
时的相位称为初相
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深/米
4.5
6.5
4.5
2.5
4.5
6.5
4.5
2.5
4.5
【变式3-2】（2021·湖南湘西·）如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数
（1）求出这段曲线的函数解析式；
（2）求满足条件的x的取值范围．
【答案】(1)，；(2).
【解析】(1)由图知，，解得，，
又，，即，.
所以，
代入点，有，
所以， ，，
又，所以取，，
所以，.
(2) 由，得，
又，所以，
由，得，解得，
结合图象可知，的解集为.
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