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17.3 勾股定理压轴题型 人教版八年级数学暑假分层作业(解析版)
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第05练 勾股定理压轴题型 一、单选题 1．如图，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，连接AE，BD交于点F，则BF的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知证得，进而确定三个内角的大小，求得，进而可得到答案． 【详解】 解：∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵在等腰直角三角形中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是边BC和CD的中点，连接AE，在AE上取点G，连接GF，若，则GF的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件，连接AF、EF，过点F作FM⊥AE，垂足为M，构造关于GF的直角三角形，解直角三角形即可求出GF的长． 【详解】 解：如图，连接AF、EF，过点F作FM⊥AE，垂足为M， ∵正方形ABCD边长为6，点E、F分别是BC、CD的中点， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，BE＝CE＝CF＝DF＝3， ，， ＝62－×3×6－×3×6－×3×3 ＝， 又∵ ＝×3×FM， 即×3×FM＝，解得FM＝． ∵， ∴是等腰直角三角形，GM＝FM＝， ∴． 故选：C． 【点睛】 本题考查直角三角形的相关计算，构造关于GF的直角三角形、利用勾股定理，是解题的关键． 3．如图，在四边形ABCD中，，，且，则BC为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 过点D作DE⊥AC于点E，证明△DAE≌△ABC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BC，设BC＝x，则AC＝2x，由勾股定理得出（2x）2＋x2＝22，求出x的值则可得出答案． 【详解】 过点D作DE⊥AC于点E，则∠DEA＝90°， ∵AD⊥AB，AC⊥BC， ∴∠DAB＝∠ACB＝90°， ∴∠DAE＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°， ∴∠DAE＝∠B， 又∵AD＝AB，∠DEA＝∠ACB＝90°， ∴△DAE≌△ABC（AAS）， ∴AE＝BC， ∵AD＝CD，DE⊥AC， ∴AE＝CE， 设BC＝x，则AC＝2x， ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴（2x）2＋x2＝22， ∴x＝，即BC＝， 故选：B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4．如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可． 【详解】 解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示： 连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值． 根据轴对称的定义可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°， ∴∠NON′=60°，， ∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形， ∴∠N′OM′=90°， ∴在Rt△M′ON′中， M′N′=． 故选：A． 【点睛】 本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键． 5．已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据，可得，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高和△PAB中AB边上的高的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC，过O作OE⊥BC，求得OC=，则可求解． 【详解】 解：如图， ，， ∴ = = = ==， ∴， 设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为， 则， ， ∴， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴， ， ∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的直线上， ∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值， 过O作OE⊥BC于E， ∴， ∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC ∴∠OCE=30°，CE= ∴OC=2OE ∵， ∴， 解得OE=， ∴OC=， ∴OP=CP-OC=． 故选B． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键． 6．是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE，则周长的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先证明，作关于的对称点，连接，根据对称性可得周长，当三点共线时，取得最小值，据此即可求解． 【详解】 将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE， △BPE是等边三角形， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=4，∠BAC=∠ABC=60°， ∵AD⊥CB， ∴BD=CD=2，∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°， ∵∠PBE=∠ABC=60°， ∴∠ABP=∠CPE， ∵BA=BC，BP=BE， ∴△ABP≌△CBE（SAS）， ∴∠BAP=∠BCE=30°，AP=CE ∴点E的运动轨迹是射线CE（∠BCE=30°）， 如图，作关于的对称点，连接， ， ， 是等边三角形， 周长 当三点共线时，取得最小值，最小值为 故选A 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，线段和最短问题，勾股定理，求得点的轨迹是解题的关键． 7．如图，在等边中，点A、C分别在x轴、y轴上，，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 取AC的中点D，连接OD，BD，利用三角形原理，当O、D、B三点共线时OB取得最大值，且最大值等于OD+BD，计算出OD，BD的长度即可． 【详解】 如图，取AC的中点D，连接OD，BD， ∵△ABC是等边三角形，∠AOC=90°，AC=4， ∴DO==CD=AD，， ∵DO+BD≥OB， ∴OB≤DO+BD=， 当O、D、B三点共线时OB取得最大值，且最大值等于， 故选D． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，熟练掌握直角三角形性质和三角形三边关系定理是解题的关键． 8．如图，在中，，，为的中点，为线段上一点，过点的线段交的延长线于点，交于点，且分别延长，交于点，若平分，平分则下列说法：①；②；③；④，正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 首先证明，推出，推出，故正确，再证明，推出，由，推出，证明，推出，可得，推出，即可判断正确，错误，作交于，证明 ， 即可判断正确． 【详解】 平分 故正确； 故正确； 故错误； 作交于，如图 故正确； 综上，正确的是①②④ 故选：B． 【点睛】 本题考查等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题 9．如图，在等腰三角形中，，，为的中点，为上任意一点，则的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 分别求出PM+PA的最大值和最小值即可． 作点关于的对称点，垂足为，连接交于点，则此时最小，作于点，于点，可得出四边形AFED为矩形，再根据等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，即可求得AN的值； 当点与点重合时，最大，作于点，根据三角形外角的性质及勾股定理即可得出MC的值，从而得出CM+CN的值，即为所求． 【详解】 解：如图（1），作点关于的对称点，垂足为，连接交于点，则此时最小，且，作于点，于点 ∴四边形AFED为矩形 ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴ 如图（2）当点与点重合时，最大 作于点， , ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用、等腰三角形的性质、三角形外角性质、，正确作出辅助线是解答本题的关键． 10．如图，在中，，分别以，，边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，阴影部分的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】 根据勾股定理得到AC2=AB2-BC2，先求解AC，再根据阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上以AC，BC为直径的半圆面积，再减去以AB为直径的半圆面积即可． 【详解】 解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=64， 则阴影部分的面积 ， 故答案为24． 【点睛】 本题考查的是勾股定理、半圆面积计算，掌握勾股定理和半圆面积公式是解题的关键． 11．如图，与均为等边三角形，点，在边上，，点在内，且，则的周长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】 如图，连接AD并延长交BC于M，连接AE，首先证明△AGE是等边三角形，求出AE＝，然后设EM＝a，求出AM＝，再在Rt△AEM中利用勾股定理列式求出a的值即可解决问题． 【详解】 解：如图，连接AD并延长交BC于M，连接AE， ∵与均为等边三角形且， ∴点M是EF、BC的中点， ∴∠EDM＝30°， ∴∠ADG＋∠EDG＝150°， ∵， ∴∠ADG＝∠DAG，∠EDG＝∠DEG， ∴∠ADG＋∠EDG＋∠DAG＋∠DEG＝300°， ∴∠AGE＝360°－∠ADG－∠EDG－∠DAG－∠DEG＝60°， ∴△AGE是等边三角形， ∴AE＝， 设EM＝a，则EF＝2a，BE＝CF＝4a， ∴BM＝5a， ∵点M是BC的中点， ∴AM⊥BC，∠BAM＝30°， ∴AM＝， 在Rt△AEM中，有EM2＋AM2＝AE2， ∴， 解得：， ∴BC＝10a＝5， ∴的周长为5×3＝15， 故答案为：15． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理的应用等知识，能够作出合适的辅助线，证明△AGE是等边三角形是解题的关键． 12．如图，，，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】 先根据含角的直角三角形的性质、勾股定理求出的长，过点作于点，再根据角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】 解：由题意可知，平分， ， ， ， 在中，，， ， 如图，过点作于点， ， 则的面积为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 13．如图，在中，，，，点在边上，且，为边上一动点，以为边上方作等边三角形，连接，设的长度为，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】 由重合利用勾股定理可求BF的最大值；由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长，构建等边三角形BDG，利用△BDF≌△GDE，转换BF=GE，然后即可求得其最小值． 【详解】 解：如图，当点E与点C重合时，BF最长． 作FM⊥AC于M， ∵BC=6，CD：BC=1：2， ∴CD=2，BD=4， ∵△CDF是等边三角形， ∴DM=CM=1， ∴BM=5， ∴MF=， ∴在Rt△BMF中，， ∴BF最大是． 以 BD 为边作等边三角形BDG，连接GE，如图所示： ∵△BDG ，△DEF都是等边三角形， ∴∠BDG =∠EDF=60°，BD=GD=BG，DE=DF=EF，∠BDG+ ∠GFD= ∠EDF+ ∠GFD，即∠BDF=∠GDE， ∴△BDF≌△GDE ( SAS ) ∴BF=GE 当GE⊥AC 时，GE有最小值，如图所示GE，作DH⊥GE， ∴BF=GE=CD +DB =2+2=4， ∴BF最小是4． 故填：． 【点睛】 此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长． 14．如图，中，，若在上各取一点使的值最小，则这个最小值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】 作点B关于AC的对称点B，过B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此时BM+MN的值最小．通过证明△B′AB是等边三角形，根据等边三角形的性质求解． 【详解】 ：如图，作点B关于AC的对称点B，过B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此时BM+MN的值最小． BM+MN＝B′N． ∵点B′与点B关于AC对称， ∴AB′＝AB， 又∵∠BAC＝30°， ∴∠B′AB＝60°， ∴△B′AB是等边三角形， ∴B′B＝AB＝4，∠B′BN＝60°， 又∵B′N⊥AB， ∴B′NB′B＝2． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，难度较大． 15．如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一动点．连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为________． 【答案】2或 【解析】 【分析】 分情况讨论：当时，当时，当时三种情况下，分别利用勾股定理和翻折的性质可得到答案． 【详解】 解：当为直角三角形时，可有： ①当时，如图1， 此时， 由折叠性质可知，， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图2， 由折叠性质可知，，，， ∴，即M、E、C三点共线， 设，则， 在中，， ∴， 在中，有， 即，解得 ， 即， ③当时，点E在直线CD上，此时，故此种情况不符合题意． 综上所述，满足条件的BN的长为2或． 故答案为：2或． 【点睛】 本题主要考查了翻折的性质和勾股定理的运用，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键． 16．已知：在中，，，点，都在边上，且，过点作于点，连接，，若，则线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】 分两种情况：①如图1，过作于，先根据三角形面积计算的长为4，可得的长，根据是等腰直角三角形，计算的长，从而得的长． ②如图2，同理可得的长，计算的长，根据是等腰直角三角形可得的长． 【详解】 解：分两种情况： 如图1，，， ，， 过作于， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 如图2，过作于，过作于， ， ， 同理得：，， 中，， 是等腰直角三角形， ， 综上，的长是：或． 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，解答此题的关键是运用等腰直角三角形的判定，本题容易丢解，要注意时，、有两个位置． 三、解答题 17．（1）如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°．求证：AB+CD=BC． （2）如图②，在四边形ABCD中，∠B=∠C=45°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°．求的值． 【答案】（1）见详解；（2） 【解析】 【分析】 （1）证即可求证； （2）作，由（1）步骤可证，即可求解； 【详解】 解:（1）∵∠B=∠C=90°，∠APD=90° ∴∠BAP=∠DPC 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴； （2）如图，作 ∴由（1）步骤可证 ∴ 又∵∠B=∠C=45° ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】 本题主要考查三角形的全等证明、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 18．已知：在6×6的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1个单位长度． (1)【背景呈现】 如图1，点A，B，C都在格点上，直接写出∠BAC的度数． (2)【问题解决】 如图2，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD交于点E，求∠AEC的度数． (3)【拓展应用】 如图3，点A，B都在格点上，点C在格线上，若∠BAC=45°，求线段BC的长度． 【答案】(1)∠BAC=45° (2)∠AEC=45° (3)BC=2.5 【解析】 【分析】 （1）连接BC，运用勾股定理求出AB，BC，AC的长，判断是等腰直角三角形即可得出结论； （2）过点A作AF//CD，且AF=CD，则，连接FB，证明是等腰直角三角形即可; （3）延长AC交格点于点D，连接BD，可证明是等腰直角三角形，根据可求出BC的长． (1) 连接BC，如图， ∵每一个小正方形的边长为1个单位长度, ∴ ∴，且, ∴是等腰直角三角形, ∴∠BAC=45°； (2) 如图，过点A作AF//CD，且AF=CD，则，连接FB， 由勾股定理得， ∴，且 ∴是等腰直角三角形, ∴ ∴； (3) 延长AC交格点于点D，连接BD， 由勾股定理得， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴ ∴ 【点睛】 本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，平行线的性质等知识，正确作图是解答本题的关键． 19．已知和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，连，，求证：； (2)若将绕点顺时针旋转， ①如图2，当点恰好在边上时，求证：； ②当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解 ②BN=或． 【解析】 【分析】 （1）利用SAS定理证明△AOM≌△BON即可； （2）①连接AM，证明△AOM≌△BON，即可证BN2+AN2=2ON2； ②当点N在线段AM上时和当点M在线段AN上时两种情况讨论即可求得． (1) 证明：如图， ∵∠AOB＝∠MON＝90°， ∴∠AOM＝∠BON， ∵AO＝BO，OM＝ON， ∴△AOM≌△BON（SAS）． (2) ①证明：如图2中，连接AM． ∵∠AOB=∠MON=90∘， ∴∠MON−∠AON=∠AOB−∠AON， 即∠AOM=∠BON， ∵△MON和△AOB是等腰直角三角形， ∴OM=ON,OA=OB,∠OAB=∠OBA=45∘， ∴△AOM≌△BON， ∴AM＝BN，∠OAM＝∠B＝45°， ∵∠OAB＝∠B＝45°， ∴∠MAN＝∠OAM+∠OAB＝90°， ∴， ∵△MON是等腰直角三角形， ∴， ∴. ②当点N在线段AM上时，如图，设OA交BN于J，过点O作OH⊥MN于H． ∵△AOM≌△BON， ∴AM＝BN，∠OAM＝∠OBN， ∵∠AJN＝∠BJO， ∴∠ANJ＝∠JOB＝90°， ∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN， ∴MN＝，MH＝HN＝OH＝， ∴AH＝， ∴BN＝AM＝MH+AH＝； 当点M在线段AN上时，如图， 同法可证AM＝BN＝． 综上可知，BN=或． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 20．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H． (1)如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长； (2)如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由； (3)假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1)9； (2)存在，CF=DG，证明见解析； (3)． 【解析】 【分析】 （1）利用勾股定理求出，再证明，即可求出△DEF的周长； （2）由（1）可知：EF=DF=DE=3，进一步得到，再证明EG=BE，利用EG+DG=CF+BE=3，即可证明CF=DG； （3）求出，，利用，即可求出． (1) 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6， ∴，∠A=60， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠DCE=60， ∴∠ACD=30， ∴∠ADC=90， ∴， ∴△DEF的周长为9； (2) 解：结论：CF=DG. 理由：∵BC=6，由（1）可知：EF=DF=DE=3， ∴， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠DEF=60， ∵∠DEF=∠B+∠EGB， ∴∠B=∠EGB=∠DGE=30， ∴EG=BE， ∵EG+DG=CF+BE=3， ∴CF=DG； (3) 解：∵，， ∴，即． 【点睛】 本题考查勾股定理，等边三角形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半，动点问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等边三角形性质． 21．如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0），B（b，c），且（a﹣8）2＋|b﹣3|＋＝0，连接AB，AB2＝（a﹣b）2＋c2 (1)求点A和点B的坐标和线段AB的长度； (2)如图2，点P是射线AO上一动点，连接BP，将△ABP沿着直线BP翻折至△QBP，当PQAB时，求点P和点Q的坐标； (3)在（2）的情况下，如图3，点F是线段AP延长线上一动点，连接BF，将△ABF沿着直线BF翻折至△MBF，连接MQ．当MFBP时，试探究∠QMF，∠QBF与∠MQB之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)A（8，0），B（3，3）， (2)P（8﹣，0）；Q（3﹣，3） (3)∠MQB＝2∠QBF﹣∠QMF，见解析 【解析】 【分析】 （1）由（a−8）²＋|b−3|＋＝0，可得a＝8，b＝3，c＝3，故A（8，0），B（3，3），又AB2＝（a−b）2＋c2，即得AB2＝（8−3）2＋32＝34，即AB＝； （2）由ABPQ，得∠BPQ＝∠ABP，根据△ABP沿着直线BP翻折至△QBP，即得∠BPA＝∠QBP，BQAP，而AB＝BQ＝，B（3，3），故Q（3−，3），又ABPQ，BQAP，即得P （8−，0）； （3）由BQAP，得∠AFB＝∠QBF，又MFBP，得∠MFB＝∠PBF．由折叠可得：∠MFB＝∠AFB，即得∠QBF＝∠PBF，∠QBP＝2∠QBF，过点Q作直线CDMF，可得CDMFBP，可得∠CQB＝∠QBP，∠CQM＝∠QMF，即可得∠MQB＝2∠QBF−∠QMF． (1) 解：∵（a﹣8）²+|b﹣3|+＝0， 又∵（a﹣8）²≥0，|b﹣3|≥0，≥0， ∴a﹣8＝0，b﹣3＝0，c﹣3＝0， ∴a＝8，b＝3，c＝3， ∴A（8，0），B（3，3）， ∴AB2＝（8﹣3）2+32＝34，即； (2) 解：如图所示： ∵ABPQ， ∴∠BPQ＝∠ABP， ∵将△ABP沿着直线BP翻折至△QBP， ∴∠BPQ＝∠BPA，∠ABP＝∠QBP， ∴∠BPA＝∠QBP， ∴BQAP， 又AB＝BQ＝，B（3，3）， ∴Q（3﹣，3）， 又ABPQ，BQAP， ∴BQ可看作将AP平移所得， ∴由平移的性质得BQ＝AP＝， 又A（8，0）， ∴P（8﹣，0）； (3) 解：数量关系：∠MQB＝2∠QBF﹣∠QMF．理由如下： ∵BQAP， ∴∠AFB＝∠QBF； ∵MFBP， ∴∠MFB＝∠PBF， 由折叠可得：∠MFB＝∠AFB， ∴∠QBF＝∠PBF， ∴∠QBP＝2∠QBF， 过点Q作直线CDMF，如图所示： ∵MFBP， ∴CDMFBP， ∴∠CQB＝∠QBP，∠CQM＝∠QMF， 又∠MQB＝∠CQB﹣∠CQM， ∴∠MQB＝∠QBP﹣∠QMF， 又∠QBP＝2∠QBF， ∴∠MQB＝2∠QBF﹣∠QMF． 【点睛】 本题考查三角形综合知识，涉及非负式的和为0的条件、图像的折叠、平行线的性质等知识，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后图形形状、大小不变． 22．重温定理： (1)我们在八年级上册学过三角形内角和定理，大家还记得定理内容吗? 三角形内角和定理三角形的内角和等于． 我们在探究证明“三角形内角和定理”时，“奋进组”进行了撕纸拼凑的探究活动，小丽撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，你能否按以上操作完成探究证明?试写证明过程； 方法类比： (2)如图2，在四边形中，与互余，小明发现四边形中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作，再过点C作于点E，你发现之间的数量关系是________，试探究说明； 实践应用： (3)如图3，在四边形中，连接，点O是两边垂直平分线的交点，连接，若． 试证明：； 【答案】(1)见解析． (2)，说明见解析． (3)见解析． 【解析】 【分析】 （1）根据拼图可求得∠A=∠DCF； （2）根据∠ABC与∠ADC互余求得∠ADF=∠ADC+∠CDE=90°，利用勾股定理即可求解； （3）点O 是△ACD两边垂直平分线的交点，证得OA=OD=OC，推出2∠OAC+2∠ODC+2∠ODA=180°，得到∠OAC+∠ADC=90°，即可求解． (1) 解：如图1中， 证明如下：由撕纸可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 答案为：，探究如下：如图2中， ∵， ∴， ∴在中， 故答案为：； (3) 证明：如图3中，连接OC，连接DO延长至E， ∵点O是两边垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵2∠OAC+2∠ODC+2∠ODA=180°， ∴∠OAC+∠ADC=90°， ∵， ∴． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了勾股定理、三角形的内角和定理、及等腰三角形的性质．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 23．如图，在中，，为边上一点，且，，，点为边上的动点，连接． (1)求的长； (2)当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)或或 【解析】 【分析】 （1）先利用勾股定理逆定理证明，然后利用勾股定理即可求出答案； （2）分三种情况，结合勾股定理可求出答案． (1) 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． (2) ①当时， ； ②如图，当时， 由（1）知：，， ∴ ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴或（负值舍去）， ∴； ③如图，当时，有， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，的长为或或． 【点睛】 本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，等腰三角形的性质．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 24．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D． (1)如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN=90°，当∠AMN=30°，AB=2时，求线段AM的长； (2)如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF； (3)如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB+AN=AM． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【解析】 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质可求出，求出，再利用勾股定理即可求解； （2）证明，根据全等三角形的性质即可求解； （3）过点M作交AB的延长线于E，先证明，根据全等三角形的性质有BE=AN，再根据等腰直角三角形的性质、勾股定理即可求解． (1) ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得：， ∴； (2) 证明：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 证明：过点M作交AB的延长线于E， ∴， 则，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理定理等知识，充分利用全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
第05练 勾股定理压轴题型 一、单选题 1．如图，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，连接AE，BD交于点F，则BF的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知证得，进而确定三个内角的大小，求得，进而可得到答案． 【详解】 解：∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵在等腰直角三角形中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是边BC和CD的中点，连接AE，在AE上取点G，连接GF，若，则GF的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件，连接AF、EF，过点F作FM⊥AE，垂足为M，构造关于GF的直角三角形，解直角三角形即可求出GF的长． 【详解】 解：如图，连接AF、EF，过点F作FM⊥AE，垂足为M， ∵正方形ABCD边长为6，点E、F分别是BC、CD的中点， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，BE＝CE＝CF＝DF＝3， ，， ＝62－×3×6－×3×6－×3×3 ＝， 又∵ ＝×3×FM， 即×3×FM＝，解得FM＝． ∵， ∴是等腰直角三角形，GM＝FM＝， ∴． 故选：C． 【点睛】 本题考查直角三角形的相关计算，构造关于GF的直角三角形、利用勾股定理，是解题的关键． 3．如图，在四边形ABCD中，，，且，则BC为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 过点D作DE⊥AC于点E，证明△DAE≌△ABC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BC，设BC＝x，则AC＝2x，由勾股定理得出（2x）2＋x2＝22，求出x的值则可得出答案． 【详解】 过点D作DE⊥AC于点E，则∠DEA＝90°， ∵AD⊥AB，AC⊥BC， ∴∠DAB＝∠ACB＝90°， ∴∠DAE＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°， ∴∠DAE＝∠B， 又∵AD＝AB，∠DEA＝∠ACB＝90°， ∴△DAE≌△ABC（AAS）， ∴AE＝BC， ∵AD＝CD，DE⊥AC， ∴AE＝CE， 设BC＝x，则AC＝2x， ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴（2x）2＋x2＝22， ∴x＝，即BC＝， 故选：B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4．如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可． 【详解】 解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示： 连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值． 根据轴对称的定义可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°， ∴∠NON′=60°，， ∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形， ∴∠N′OM′=90°， ∴在Rt△M′ON′中， M′N′=． 故选：A． 【点睛】 本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键． 5．已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据，可得，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高和△PAB中AB边上的高的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC，过O作OE⊥BC，求得OC=，则可求解． 【详解】 解：如图， ，， ∴ = = = ==， ∴， 设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为， 则， ， ∴， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴， ， ∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的直线上， ∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值， 过O作OE⊥BC于E， ∴， ∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC ∴∠OCE=30°，CE= ∴OC=2OE ∵， ∴， 解得OE=， ∴OC=， ∴OP=CP-OC=． 故选B． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键． 6．是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE，则周长的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先证明，作关于的对称点，连接，根据对称性可得周长，当三点共线时，取得最小值，据此即可求解． 【详解】 将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE， △BPE是等边三角形， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=4，∠BAC=∠ABC=60°， ∵AD⊥CB， ∴BD=CD=2，∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°， ∵∠PBE=∠ABC=60°， ∴∠ABP=∠CPE， ∵BA=BC，BP=BE， ∴△ABP≌△CBE（SAS）， ∴∠BAP=∠BCE=30°，AP=CE ∴点E的运动轨迹是射线CE（∠BCE=30°）， 如图，作关于的对称点，连接， ， ， 是等边三角形， 周长 当三点共线时，取得最小值，最小值为 故选A 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，线段和最短问题，勾股定理，求得点的轨迹是解题的关键． 7．如图，在等边中，点A、C分别在x轴、y轴上，，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 取AC的中点D，连接OD，BD，利用三角形原理，当O、D、B三点共线时OB取得最大值，且最大值等于OD+BD，计算出OD，BD的长度即可． 【详解】 如图，取AC的中点D，连接OD，BD， ∵△ABC是等边三角形，∠AOC=90°，AC=4， ∴DO==CD=AD，， ∵DO+BD≥OB， ∴OB≤DO+BD=， 当O、D、B三点共线时OB取得最大值，且最大值等于， 故选D． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，熟练掌握直角三角形性质和三角形三边关系定理是解题的关键． 8．如图，在中，，，为的中点，为线段上一点，过点的线段交的延长线于点，交于点，且分别延长，交于点，若平分，平分则下列说法：①；②；③；④，正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 首先证明，推出，推出，故正确，再证明，推出，由，推出，证明，推出，可得，推出，即可判断正确，错误，作交于，证明 ， 即可判断正确． 【详解】 平分 故正确； 故正确； 故错误； 作交于，如图 故正确； 综上，正确的是①②④ 故选：B． 【点睛】 本题考查等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题 9．如图，在等腰三角形中，，，为的中点，为上任意一点，则的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 分别求出PM+PA的最大值和最小值即可． 作点关于的对称点，垂足为，连接交于点，则此时最小，作于点，于点，可得出四边形AFED为矩形，再根据等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，即可求得AN的值； 当点与点重合时，最大，作于点，根据三角形外角的性质及勾股定理即可得出MC的值，从而得出CM+CN的值，即为所求． 【详解】 解：如图（1），作点关于的对称点，垂足为，连接交于点，则此时最小，且，作于点，于点 ∴四边形AFED为矩形 ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴ 如图（2）当点与点重合时，最大 作于点， , ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用、等腰三角形的性质、三角形外角性质、，正确作出辅助线是解答本题的关键． 10．如图，在中，，分别以，，边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，阴影部分的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】 根据勾股定理得到AC2=AB2-BC2，先求解AC，再根据阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上以AC，BC为直径的半圆面积，再减去以AB为直径的半圆面积即可． 【详解】 解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=64， 则阴影部分的面积 ， 故答案为24． 【点睛】 本题考查的是勾股定理、半圆面积计算，掌握勾股定理和半圆面积公式是解题的关键． 11．如图，与均为等边三角形，点，在边上，，点在内，且，则的周长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】 如图，连接AD并延长交BC于M，连接AE，首先证明△AGE是等边三角形，求出AE＝，然后设EM＝a，求出AM＝，再在Rt△AEM中利用勾股定理列式求出a的值即可解决问题． 【详解】 解：如图，连接AD并延长交BC于M，连接AE， ∵与均为等边三角形且， ∴点M是EF、BC的中点， ∴∠EDM＝30°， ∴∠ADG＋∠EDG＝150°， ∵， ∴∠ADG＝∠DAG，∠EDG＝∠DEG， ∴∠ADG＋∠EDG＋∠DAG＋∠DEG＝300°， ∴∠AGE＝360°－∠ADG－∠EDG－∠DAG－∠DEG＝60°， ∴△AGE是等边三角形， ∴AE＝， 设EM＝a，则EF＝2a，BE＝CF＝4a， ∴BM＝5a， ∵点M是BC的中点， ∴AM⊥BC，∠BAM＝30°， ∴AM＝， 在Rt△AEM中，有EM2＋AM2＝AE2， ∴， 解得：， ∴BC＝10a＝5， ∴的周长为5×3＝15， 故答案为：15． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理的应用等知识，能够作出合适的辅助线，证明△AGE是等边三角形是解题的关键． 12．如图，，，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】 先根据含角的直角三角形的性质、勾股定理求出的长，过点作于点，再根据角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】 解：由题意可知，平分， ， ， ， 在中，，， ， 如图，过点作于点， ， 则的面积为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 13．如图，在中，，，，点在边上，且，为边上一动点，以为边上方作等边三角形，连接，设的长度为，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】 由重合利用勾股定理可求BF的最大值；由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长，构建等边三角形BDG，利用△BDF≌△GDE，转换BF=GE，然后即可求得其最小值． 【详解】 解：如图，当点E与点C重合时，BF最长． 作FM⊥AC于M， ∵BC=6，CD：BC=1：2， ∴CD=2，BD=4， ∵△CDF是等边三角形， ∴DM=CM=1， ∴BM=5， ∴MF=， ∴在Rt△BMF中，， ∴BF最大是． 以 BD 为边作等边三角形BDG，连接GE，如图所示： ∵△BDG ，△DEF都是等边三角形， ∴∠BDG =∠EDF=60°，BD=GD=BG，DE=DF=EF，∠BDG+ ∠GFD= ∠EDF+ ∠GFD，即∠BDF=∠GDE， ∴△BDF≌△GDE ( SAS ) ∴BF=GE 当GE⊥AC 时，GE有最小值，如图所示GE，作DH⊥GE， ∴BF=GE=CD +DB =2+2=4， ∴BF最小是4． 故填：． 【点睛】 此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长． 14．如图，中，，若在上各取一点使的值最小，则这个最小值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】 作点B关于AC的对称点B，过B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此时BM+MN的值最小．通过证明△B′AB是等边三角形，根据等边三角形的性质求解． 【详解】 ：如图，作点B关于AC的对称点B，过B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此时BM+MN的值最小． BM+MN＝B′N． ∵点B′与点B关于AC对称， ∴AB′＝AB， 又∵∠BAC＝30°， ∴∠B′AB＝60°， ∴△B′AB是等边三角形， ∴B′B＝AB＝4，∠B′BN＝60°， 又∵B′N⊥AB， ∴B′NB′B＝2． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，难度较大． 15．如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一动点．连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为________． 【答案】2或 【解析】 【分析】 分情况讨论：当时，当时，当时三种情况下，分别利用勾股定理和翻折的性质可得到答案． 【详解】 解：当为直角三角形时，可有： ①当时，如图1， 此时， 由折叠性质可知，， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图2， 由折叠性质可知，，，， ∴，即M、E、C三点共线， 设，则， 在中，， ∴， 在中，有， 即，解得 ， 即， ③当时，点E在直线CD上，此时，故此种情况不符合题意． 综上所述，满足条件的BN的长为2或． 故答案为：2或． 【点睛】 本题主要考查了翻折的性质和勾股定理的运用，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键． 16．已知：在中，，，点，都在边上，且，过点作于点，连接，，若，则线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】 分两种情况：①如图1，过作于，先根据三角形面积计算的长为4，可得的长，根据是等腰直角三角形，计算的长，从而得的长． ②如图2，同理可得的长，计算的长，根据是等腰直角三角形可得的长． 【详解】 解：分两种情况： 如图1，，， ，， 过作于， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 如图2，过作于，过作于， ， ， 同理得：，， 中，， 是等腰直角三角形， ， 综上，的长是：或． 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，解答此题的关键是运用等腰直角三角形的判定，本题容易丢解，要注意时，、有两个位置． 三、解答题 17．（1）如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°．求证：AB+CD=BC． （2）如图②，在四边形ABCD中，∠B=∠C=45°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°．求的值． 【答案】（1）见详解；（2） 【解析】 【分析】 （1）证即可求证； （2）作，由（1）步骤可证，即可求解； 【详解】 解:（1）∵∠B=∠C=90°，∠APD=90° ∴∠BAP=∠DPC 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴； （2）如图，作 ∴由（1）步骤可证 ∴ 又∵∠B=∠C=45° ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】 本题主要考查三角形的全等证明、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 18．已知：在6×6的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1个单位长度． (1)【背景呈现】 如图1，点A，B，C都在格点上，直接写出∠BAC的度数． (2)【问题解决】 如图2，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD交于点E，求∠AEC的度数． (3)【拓展应用】 如图3，点A，B都在格点上，点C在格线上，若∠BAC=45°，求线段BC的长度． 【答案】(1)∠BAC=45° (2)∠AEC=45° (3)BC=2.5 【解析】 【分析】 （1）连接BC，运用勾股定理求出AB，BC，AC的长，判断是等腰直角三角形即可得出结论； （2）过点A作AF//CD，且AF=CD，则，连接FB，证明是等腰直角三角形即可; （3）延长AC交格点于点D，连接BD，可证明是等腰直角三角形，根据可求出BC的长． (1) 连接BC，如图， ∵每一个小正方形的边长为1个单位长度, ∴ ∴，且, ∴是等腰直角三角形, ∴∠BAC=45°； (2) 如图，过点A作AF//CD，且AF=CD，则，连接FB， 由勾股定理得， ∴，且 ∴是等腰直角三角形, ∴ ∴； (3) 延长AC交格点于点D，连接BD， 由勾股定理得， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴ ∴ 【点睛】 本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，平行线的性质等知识，正确作图是解答本题的关键． 19．已知和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，连，，求证：； (2)若将绕点顺时针旋转， ①如图2，当点恰好在边上时，求证：； ②当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解 ②BN=或． 【解析】 【分析】 （1）利用SAS定理证明△AOM≌△BON即可； （2）①连接AM，证明△AOM≌△BON，即可证BN2+AN2=2ON2； ②当点N在线段AM上时和当点M在线段AN上时两种情况讨论即可求得． (1) 证明：如图， ∵∠AOB＝∠MON＝90°， ∴∠AOM＝∠BON， ∵AO＝BO，OM＝ON， ∴△AOM≌△BON（SAS）． (2) ①证明：如图2中，连接AM． ∵∠AOB=∠MON=90∘， ∴∠MON−∠AON=∠AOB−∠AON， 即∠AOM=∠BON， ∵△MON和△AOB是等腰直角三角形， ∴OM=ON,OA=OB,∠OAB=∠OBA=45∘， ∴△AOM≌△BON， ∴AM＝BN，∠OAM＝∠B＝45°， ∵∠OAB＝∠B＝45°， ∴∠MAN＝∠OAM+∠OAB＝90°， ∴， ∵△MON是等腰直角三角形， ∴， ∴. ②当点N在线段AM上时，如图，设OA交BN于J，过点O作OH⊥MN于H． ∵△AOM≌△BON， ∴AM＝BN，∠OAM＝∠OBN， ∵∠AJN＝∠BJO， ∴∠ANJ＝∠JOB＝90°， ∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN， ∴MN＝，MH＝HN＝OH＝， ∴AH＝， ∴BN＝AM＝MH+AH＝； 当点M在线段AN上时，如图， 同法可证AM＝BN＝． 综上可知，BN=或． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 20．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H． (1)如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长； (2)如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由； (3)假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1)9； (2)存在，CF=DG，证明见解析； (3)． 【解析】 【分析】 （1）利用勾股定理求出，再证明，即可求出△DEF的周长； （2）由（1）可知：EF=DF=DE=3，进一步得到，再证明EG=BE，利用EG+DG=CF+BE=3，即可证明CF=DG； （3）求出，，利用，即可求出． (1) 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6， ∴，∠A=60， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠DCE=60， ∴∠ACD=30， ∴∠ADC=90， ∴， ∴△DEF的周长为9； (2) 解：结论：CF=DG. 理由：∵BC=6，由（1）可知：EF=DF=DE=3， ∴， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠DEF=60， ∵∠DEF=∠B+∠EGB， ∴∠B=∠EGB=∠DGE=30， ∴EG=BE， ∵EG+DG=CF+BE=3， ∴CF=DG； (3) 解：∵，， ∴，即． 【点睛】 本题考查勾股定理，等边三角形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半，动点问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等边三角形性质． 21．如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0），B（b，c），且（a﹣8）2＋|b﹣3|＋＝0，连接AB，AB2＝（a﹣b）2＋c2 (1)求点A和点B的坐标和线段AB的长度； (2)如图2，点P是射线AO上一动点，连接BP，将△ABP沿着直线BP翻折至△QBP，当PQAB时，求点P和点Q的坐标； (3)在（2）的情况下，如图3，点F是线段AP延长线上一动点，连接BF，将△ABF沿着直线BF翻折至△MBF，连接MQ．当MFBP时，试探究∠QMF，∠QBF与∠MQB之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)A（8，0），B（3，3）， (2)P（8﹣，0）；Q（3﹣，3） (3)∠MQB＝2∠QBF﹣∠QMF，见解析 【解析】 【分析】 （1）由（a−8）²＋|b−3|＋＝0，可得a＝8，b＝3，c＝3，故A（8，0），B（3，3），又AB2＝（a−b）2＋c2，即得AB2＝（8−3）2＋32＝34，即AB＝； （2）由ABPQ，得∠BPQ＝∠ABP，根据△ABP沿着直线BP翻折至△QBP，即得∠BPA＝∠QBP，BQAP，而AB＝BQ＝，B（3，3），故Q（3−，3），又ABPQ，BQAP，即得P （8−，0）； （3）由BQAP，得∠AFB＝∠QBF，又MFBP，得∠MFB＝∠PBF．由折叠可得：∠MFB＝∠AFB，即得∠QBF＝∠PBF，∠QBP＝2∠QBF，过点Q作直线CDMF，可得CDMFBP，可得∠CQB＝∠QBP，∠CQM＝∠QMF，即可得∠MQB＝2∠QBF−∠QMF． (1) 解：∵（a﹣8）²+|b﹣3|+＝0， 又∵（a﹣8）²≥0，|b﹣3|≥0，≥0， ∴a﹣8＝0，b﹣3＝0，c﹣3＝0， ∴a＝8，b＝3，c＝3， ∴A（8，0），B（3，3）， ∴AB2＝（8﹣3）2+32＝34，即； (2) 解：如图所示： ∵ABPQ， ∴∠BPQ＝∠ABP， ∵将△ABP沿着直线BP翻折至△QBP， ∴∠BPQ＝∠BPA，∠ABP＝∠QBP， ∴∠BPA＝∠QBP， ∴BQAP， 又AB＝BQ＝，B（3，3）， ∴Q（3﹣，3）， 又ABPQ，BQAP， ∴BQ可看作将AP平移所得， ∴由平移的性质得BQ＝AP＝， 又A（8，0）， ∴P（8﹣，0）； (3) 解：数量关系：∠MQB＝2∠QBF﹣∠QMF．理由如下： ∵BQAP， ∴∠AFB＝∠QBF； ∵MFBP， ∴∠MFB＝∠PBF， 由折叠可得：∠MFB＝∠AFB， ∴∠QBF＝∠PBF， ∴∠QBP＝2∠QBF， 过点Q作直线CDMF，如图所示： ∵MFBP， ∴CDMFBP， ∴∠CQB＝∠QBP，∠CQM＝∠QMF， 又∠MQB＝∠CQB﹣∠CQM， ∴∠MQB＝∠QBP﹣∠QMF， 又∠QBP＝2∠QBF， ∴∠MQB＝2∠QBF﹣∠QMF． 【点睛】 本题考查三角形综合知识，涉及非负式的和为0的条件、图像的折叠、平行线的性质等知识，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后图形形状、大小不变． 22．重温定理： (1)我们在八年级上册学过三角形内角和定理，大家还记得定理内容吗? 三角形内角和定理三角形的内角和等于． 我们在探究证明“三角形内角和定理”时，“奋进组”进行了撕纸拼凑的探究活动，小丽撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，你能否按以上操作完成探究证明?试写证明过程； 方法类比： (2)如图2，在四边形中，与互余，小明发现四边形中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作，再过点C作于点E，你发现之间的数量关系是________，试探究说明； 实践应用： (3)如图3，在四边形中，连接，点O是两边垂直平分线的交点，连接，若． 试证明：； 【答案】(1)见解析． (2)，说明见解析． (3)见解析． 【解析】 【分析】 （1）根据拼图可求得∠A=∠DCF； （2）根据∠ABC与∠ADC互余求得∠ADF=∠ADC+∠CDE=90°，利用勾股定理即可求解； （3）点O 是△ACD两边垂直平分线的交点，证得OA=OD=OC，推出2∠OAC+2∠ODC+2∠ODA=180°，得到∠OAC+∠ADC=90°，即可求解． (1) 解：如图1中， 证明如下：由撕纸可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 答案为：，探究如下：如图2中， ∵， ∴， ∴在中， 故答案为：； (3) 证明：如图3中，连接OC，连接DO延长至E， ∵点O是两边垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵2∠OAC+2∠ODC+2∠ODA=180°， ∴∠OAC+∠ADC=90°， ∵， ∴． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了勾股定理、三角形的内角和定理、及等腰三角形的性质．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 23．如图，在中，，为边上一点，且，，，点为边上的动点，连接． (1)求的长； (2)当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)或或 【解析】 【分析】 （1）先利用勾股定理逆定理证明，然后利用勾股定理即可求出答案； （2）分三种情况，结合勾股定理可求出答案． (1) 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． (2) ①当时， ； ②如图，当时， 由（1）知：，， ∴ ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴或（负值舍去）， ∴； ③如图，当时，有， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，的长为或或． 【点睛】 本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，等腰三角形的性质．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 24．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D． (1)如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN=90°，当∠AMN=30°，AB=2时，求线段AM的长； (2)如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF； (3)如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB+AN=AM． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【解析】 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质可求出，求出，再利用勾股定理即可求解； （2）证明，根据全等三角形的性质即可求解； （3）过点M作交AB的延长线于E，先证明，根据全等三角形的性质有BE=AN，再根据等腰直角三角形的性质、勾股定理即可求解． (1) ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得：， ∴； (2) 证明：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 证明：过点M作交AB的延长线于E， ∴， 则，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理定理等知识，充分利用全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
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