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苏科版七年级上册第2章 有理数2.3 数轴教课ppt课件
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这是一份苏科版七年级上册第2章 有理数2.3 数轴教课ppt课件，共26页。PPT课件主要包含了用画图把数“直观化”，示例1，数轴上的点，无理数，位置关系，对应关系，原点右边的点，原点左边的点，示例2，示例3等内容，欢迎下载使用。
在一条东西向的马路上,有一个机动车限速指示牌,指示牌东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,指示牌西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.
怎样用数简明地表示这些树、电线杆与指示牌的相对位置关系 (方向、距离) ?
+3表示柳树，+7.5表示杨树，－3表示槐树，－4.8表示电线杆
数轴∶规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
画数轴步骤：画直线、取原点、规定正方向、单位长度
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度
把图中直线上的点所表示的数写在相应的方框里．
解析∶观察直线上的点表示的数的规律，可以发现，它们是从-5开始的连续整数.
下列四个图形是四位同学画的数轴，其中，正确的是（ ）
解析：因为数轴上的数从左到右是按照从小到大的顺序排列的，而 A 选项所画的数轴，原点左边的数的排列有误，所以该选项错误；B选项所画的数轴是正确的；因为数轴是一条直线，而C选项所画的数轴是一条射线，所以该选项错误；因为同一条数轴的单位长度一定要统一，而D选项所画的数轴，原点右边的单位长度与左边的单位长度不统一，所以该选项错误.答案B.
方法规律： 判断一个图形是不是数轴，主要看它是否同时满足下列条件∶① 是一条直线;②有原点;③有正方向;④有统一的单位长度.如果同时满足，那么这个图形就是数轴;反之，就不是数轴.
二、数轴上的点与有理数、无理数之间的关系（重点）
表示正有理数或正无理数
表示负有理数或负无理数
数轴上的点一定表示一个有理数或无理数，所有的有理数或无理数都可以用数轴上的点来表示，即数轴上的点与有理数、无理数之间建立了一一对应的关系
解：点A表示的数是－2.5； 点B表示的数是0； 点C表示的数是3.5．
例1 分别写出数轴上A、B、C表示的数：
方法规律：指出数轴上的点表示的数时，一般先判断该数是正数、0还是负数，然后判断该点与原点的距离，最后在这个距离的前面添上符号，即可得该点表示的数.
例2 在数轴上画出表示下列各数的点：
方法规律：在数轴上画出表示一个数的点时，先根据数的正、负情况（0 在原点）确定该点在原点的右侧还是左侧，然后根据这个数的符号后面的数的大小确定该点到原点的距离，从而找到该点的位置.
在数轴上，用原点左边且到原点的距离是1.5个单位长度的点表示－1.5。用原点右边且到原点的距离是 3个单位长度的点表示3……
方法规律：用数轴上的点表示一个数时，先根据数的情况选择合适的单位长度画数 轴，然后根据数的正、负情况（0 在原点）确定该点在原点的右侧还是左侧，最后根据这个数的符号后面的数的大小确定该点到原点的距离，从而找到该点的位置.
面积为2的正方形的边长a是无理数，如何在数轴上画出表示a的点？解析：⑴画一单位长度是1的数轴；⑵将边长为a的正方形放在数轴上（如图）；⑶以原点为圆心，a为半径，用圆规画出数轴上的一个点A，点A就表示无理数a．
点拨：数a是面积为2的正方形的边长，它是无理数，说明无理数也能用数轴上的点表示。
面积为2的正方形 ABCD在数轴上的位置如图所示.若这个正方形的边长为a，请在数轴上画出表示数 2 a和－2 a的点.
解析：以原点 C为圆心、a为半径，用圆规画弧，与数轴的正半轴交于点E，则点E表示的数就为a ；再以点E为圆心、 a为半径，在点E的右侧画弧，与数轴的正半轴交于点F，则点F 表示的数就为2 a;以原点C为圆心、FC的长为半径，在点C的左侧画弧，与数轴的负半轴交于点G，则点G表示的数就为－2 a.
怎样用数轴上的点表示圆周率π？解析：⑴画一单位长度是1的数轴；⑵画一个半径为0.5的圆片，将圆片上的点A放在原点处；⑶把圆片沿数轴向右滚动一周，点A到达的位置点A ′表示的数就是π．
方法规律：有理数和无理数都可以用数轴上的点表示;反过来，数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数.
1.把0℃、5℃、－3℃、－2℃按从低到高的顺序排列．在数轴上画出表示0、5、－3、－2的点，你能比较这几个数的大小吗？
－3 ＜ －2 ＜ 0 ＜ 5
2.任意给出几个数，并在数轴上画出表示这几个数的点，你能比较这几个数的大小吗？
3.数轴上点的位置与它们所表示的数的大小有什么关系？
可以根据比较有理数大小的法则进行比较.
用类似第1题的方法进行比较
⑴在数轴上的两个点中，右边的点表示的数大于左边的点表示的数．⑵正数都大于0，负数小于0，正数大于负数．
例3 比较－3.5和－0.5的大小．
解：在数轴上分别画出表示－3.5和－0.5的点A、 B．
因为点B在点A的右边，所以－3.5＜－0.5．
方法规律：利用数轴两个负数比较大小,离原点远的数较小.
三、比较有理数的大小（重点，难点）
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大
正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数
任何两个有理数的大小都可以通过它们在数轴上的位置来确定
不需要用数轴来表示，有时显得比较方便
不好比较两个负数的大小
例4 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”把这些数按从小到大的顺序连接起来：
解：如图，在数轴上画出表示各数的点：
方法规律：比较三个及以上有理数的大小时，一般借助数轴，利用法则1进行比较，在解填空题、选择题时，只需在数轴上找到能确定它们大小的大致位置即可.
解析∶如图，观察数轴，根据“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”可以知道，在所有表示负整数的点中，表示－1的点在最右边，所以最大的负整数是－1;在所有表示正整数的点中，表示1的点在最左边，所以最小的正整数是1答案∶－1;1.
题型一、利用数轴确定最大、最小的数
【典例1】最大的负整数是____，最小的正整数是____。
非常点评：根据法则1我们可以得到这样的结论：在数轴上最右边的点表示的数最大，最左边的点表示的数最小.当由已知条件无法确定点具体表示何数时，我们可以借助数轴，通过点的位置来寻找最大、最小的数.
题型二、利用数轴解决实际问题
【典例2】5个城市的国际标准时间（单位∶时）在数轴上的表示（例如∶伦敦时间的 0时是首尔时间的9时）如图所示.北京时间 2020年12 月 2日1时30分应是( )A.伦敦时间2020年12月2日9时30分B.巴黎时间2020年12月1日18时30分C.纽约时间2020年12月1日13时30分D.首尔时间2020年12月2日0时30分解析∶从数轴可以看出∶伦敦时间比北京时间晚8小时，所以伦敦时间为2020年12月1日17时30分.所以A选项错误；因为巴黎时间比北京时间晚7小时，所以巴黎时间为 2020年 12月1日18时30分.所以B选项正确；因为纽约时间比北京时间晚 13小时，所以纽约时间为2020 年 12月1日12时 30分，所以C选项错误；因为首尔时间比北京时间早1小时，所以首尔时间为 2020 年12 月2日2时30分，所以D选项错误。答案∶B
非常点评：由此题的解答可以看出，利用数轴可以将抽象的“数” 转化为直观的“形” ，从而借助“形” 来解答有关抽象的“数”的问题.
题型三、确定数轴上的整数点
【典例3】如图，小明写作业时不慎将两滴墨水滴在作业本上（涂色部分）.根据图中的数值，你能确定被墨迹盖住的整数有哪几个吗?
解析∶观察数轴可以看出被左边墨迹盖住的离原点最远、最近的整数分别是－6、－2，它们之间还有整数－5、－4、－3；被右边墨迹盖住的离原点最近、最远的整数分别是1、4，它们之间还有整数2、3.综上可得答案.解∶被墨迹盖住的整数有9个，它们是－6、－5、－4、－3、－2、1、2、3、2。
方法归纳：确定数轴上的整数点的方法 在确定数轴上的整数点时，一般先观察需确定的范围离原点最近的整数点和最远的整数点，然后按照从小到大的顺序找出它们之间的整数点，据此可得所要求的所有的整数点.
题型四、确定数轴上定点表示的数
【典例4】如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的1个单位长度为2cm）.若刻度尺上1cm 和3 cm分别对应数轴上的1和0，则刻度尺上4.2 cm 对应数轴上的数为______。
解析∶由图可知，刻度尺上 4.2 cm 对应数轴上的点距离原点的实际距离为4.2－3=1.2（cm），所以该点距离原点1.2÷2=0.6（个）单位长度.又因为该点在原点左侧，所以该点表示的数为-0.6.非常点评： 解答本题时，需注意两点： ⑴坐标原点对应的不是刻度尺上的0刻度线; ⑵这条数轴的单位长度不是1cm.
题型五、确定数轴上动点表示的数
【典例5】⑴表示-2的点M从数轴上先向左移动3个单位长度，再向右移动7个单位长度，则此时点M对应的数是____;⑵点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度，终点恰好是原点，则点A表示的数是____.
解析∶⑴点 M在数轴上的运动过程如图①所示.由图①，可知此时点M对应的数是2.⑵利用逆向思维，将原点在数轴上先向右移动4个单位长度，再向左移动5个单位长度后所得到的点为A，如图②，易知点A表示的数是－1.
非常点评：在解决确定数轴上动点表示的数的问题时，一般先根据题意画出已知数表示的点在数轴上的运动情况，然后根据最终到达的点的位置来确定它所表示的数.也可以将运动后的点进行反向运动，倒推出点的初始位置表示的数.
【典例6】在数轴上，点 A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C.若OC=OB，则a的值为（ ）A.－3 B. －2 C.－1 D.1 解析∶要确定 a 的值，只需确定表示该数的点A的位置，以及点A 到原点的距离，即OA 的长.如图，因为点B表示的数是2，所以点B在原点的右侧，且到原点的距离OB=2=CC.因为将点A向右平移1个单位长度，得到点C，易知点C在原点的左侧，所以OA=OC＋1=2＋1=3，即点A到原点的距离为3.又因为点A在原点的左侧，所以点A表示的数a 为－3.
非常点评：解这类无数轴的题目时，一般首先画出数轴，然后根据题意找到题中点的位置，对于不能确定准确位置的点，只需找到其大致位置即可（如本题的点A），最后借助数轴，并运用小学所学的线段的和、差关系求出表示所求的数的点到原点的距离.
⑵如图，指出数轴上A、B、C、D、E各点表示什么数． A:1 B: -4.5 C:3.5 D: -2 E：-0.5
3、如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C所对应数的和是m．⑴若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为______，________，m的值为__________；⑵若点B为原点，AC＝6，求m的值．⑶若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值．
解：（1）∵点C为原点，BC＝1，∴B所对应的数为﹣1，∵AB＝2BC，∴AB＝2，∴点A所对应的数为﹣3，∴m＝﹣3﹣1+0＝﹣4；故答案为：﹣3，﹣1，﹣4；（2）∵点B为原点，AC＝6，AB＝2BC，AB+BC=AC，∴AB=4，BC=2，∴点A所对应的数为﹣4，点C所对应的数为2，∴m=﹣4+2+0＝﹣2；（3）∵原点O到点C的距离为8，∴点C所对应的数为±8，∵OC＝AB，∴AB＝8，当点C对应的数为8，∵AB＝8，AB＝2BC，∴BC＝4，∴点B所对应的数为4，点A所对应的数为﹣4，∴m＝4﹣4+8＝8；当点C所对应的数为﹣8，∵AB＝8，AB＝2BC，∴BC＝4，∴点B所对应的数为﹣12，点A所对应的数为﹣20，∴m＝﹣20﹣12﹣8＝﹣40．
在一条东西向的马路上,有一个机动车限速指示牌,指示牌东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,指示牌西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.
怎样用数简明地表示这些树、电线杆与指示牌的相对位置关系 (方向、距离) ?
+3表示柳树，+7.5表示杨树，－3表示槐树，－4.8表示电线杆
数轴∶规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
画数轴步骤：画直线、取原点、规定正方向、单位长度
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度
把图中直线上的点所表示的数写在相应的方框里．
解析∶观察直线上的点表示的数的规律，可以发现，它们是从-5开始的连续整数.
下列四个图形是四位同学画的数轴，其中，正确的是（ ）
解析：因为数轴上的数从左到右是按照从小到大的顺序排列的，而 A 选项所画的数轴，原点左边的数的排列有误，所以该选项错误；B选项所画的数轴是正确的；因为数轴是一条直线，而C选项所画的数轴是一条射线，所以该选项错误；因为同一条数轴的单位长度一定要统一，而D选项所画的数轴，原点右边的单位长度与左边的单位长度不统一，所以该选项错误.答案B.
方法规律： 判断一个图形是不是数轴，主要看它是否同时满足下列条件∶① 是一条直线;②有原点;③有正方向;④有统一的单位长度.如果同时满足，那么这个图形就是数轴;反之，就不是数轴.
二、数轴上的点与有理数、无理数之间的关系（重点）
表示正有理数或正无理数
表示负有理数或负无理数
数轴上的点一定表示一个有理数或无理数，所有的有理数或无理数都可以用数轴上的点来表示，即数轴上的点与有理数、无理数之间建立了一一对应的关系
解：点A表示的数是－2.5； 点B表示的数是0； 点C表示的数是3.5．
例1 分别写出数轴上A、B、C表示的数：
方法规律：指出数轴上的点表示的数时，一般先判断该数是正数、0还是负数，然后判断该点与原点的距离，最后在这个距离的前面添上符号，即可得该点表示的数.
例2 在数轴上画出表示下列各数的点：
方法规律：在数轴上画出表示一个数的点时，先根据数的正、负情况（0 在原点）确定该点在原点的右侧还是左侧，然后根据这个数的符号后面的数的大小确定该点到原点的距离，从而找到该点的位置.
在数轴上，用原点左边且到原点的距离是1.5个单位长度的点表示－1.5。用原点右边且到原点的距离是 3个单位长度的点表示3……
方法规律：用数轴上的点表示一个数时，先根据数的情况选择合适的单位长度画数 轴，然后根据数的正、负情况（0 在原点）确定该点在原点的右侧还是左侧，最后根据这个数的符号后面的数的大小确定该点到原点的距离，从而找到该点的位置.
面积为2的正方形的边长a是无理数，如何在数轴上画出表示a的点？解析：⑴画一单位长度是1的数轴；⑵将边长为a的正方形放在数轴上（如图）；⑶以原点为圆心，a为半径，用圆规画出数轴上的一个点A，点A就表示无理数a．
点拨：数a是面积为2的正方形的边长，它是无理数，说明无理数也能用数轴上的点表示。
面积为2的正方形 ABCD在数轴上的位置如图所示.若这个正方形的边长为a，请在数轴上画出表示数 2 a和－2 a的点.
解析：以原点 C为圆心、a为半径，用圆规画弧，与数轴的正半轴交于点E，则点E表示的数就为a ；再以点E为圆心、 a为半径，在点E的右侧画弧，与数轴的正半轴交于点F，则点F 表示的数就为2 a;以原点C为圆心、FC的长为半径，在点C的左侧画弧，与数轴的负半轴交于点G，则点G表示的数就为－2 a.
怎样用数轴上的点表示圆周率π？解析：⑴画一单位长度是1的数轴；⑵画一个半径为0.5的圆片，将圆片上的点A放在原点处；⑶把圆片沿数轴向右滚动一周，点A到达的位置点A ′表示的数就是π．
方法规律：有理数和无理数都可以用数轴上的点表示;反过来，数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数.
1.把0℃、5℃、－3℃、－2℃按从低到高的顺序排列．在数轴上画出表示0、5、－3、－2的点，你能比较这几个数的大小吗？
－3 ＜ －2 ＜ 0 ＜ 5
2.任意给出几个数，并在数轴上画出表示这几个数的点，你能比较这几个数的大小吗？
3.数轴上点的位置与它们所表示的数的大小有什么关系？
可以根据比较有理数大小的法则进行比较.
用类似第1题的方法进行比较
⑴在数轴上的两个点中，右边的点表示的数大于左边的点表示的数．⑵正数都大于0，负数小于0，正数大于负数．
例3 比较－3.5和－0.5的大小．
解：在数轴上分别画出表示－3.5和－0.5的点A、 B．
因为点B在点A的右边，所以－3.5＜－0.5．
方法规律：利用数轴两个负数比较大小,离原点远的数较小.
三、比较有理数的大小（重点，难点）
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大
正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数
任何两个有理数的大小都可以通过它们在数轴上的位置来确定
不需要用数轴来表示，有时显得比较方便
不好比较两个负数的大小
例4 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”把这些数按从小到大的顺序连接起来：
解：如图，在数轴上画出表示各数的点：
方法规律：比较三个及以上有理数的大小时，一般借助数轴，利用法则1进行比较，在解填空题、选择题时，只需在数轴上找到能确定它们大小的大致位置即可.
解析∶如图，观察数轴，根据“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”可以知道，在所有表示负整数的点中，表示－1的点在最右边，所以最大的负整数是－1;在所有表示正整数的点中，表示1的点在最左边，所以最小的正整数是1答案∶－1;1.
题型一、利用数轴确定最大、最小的数
【典例1】最大的负整数是____，最小的正整数是____。
非常点评：根据法则1我们可以得到这样的结论：在数轴上最右边的点表示的数最大，最左边的点表示的数最小.当由已知条件无法确定点具体表示何数时，我们可以借助数轴，通过点的位置来寻找最大、最小的数.
题型二、利用数轴解决实际问题
【典例2】5个城市的国际标准时间（单位∶时）在数轴上的表示（例如∶伦敦时间的 0时是首尔时间的9时）如图所示.北京时间 2020年12 月 2日1时30分应是( )A.伦敦时间2020年12月2日9时30分B.巴黎时间2020年12月1日18时30分C.纽约时间2020年12月1日13时30分D.首尔时间2020年12月2日0时30分解析∶从数轴可以看出∶伦敦时间比北京时间晚8小时，所以伦敦时间为2020年12月1日17时30分.所以A选项错误；因为巴黎时间比北京时间晚7小时，所以巴黎时间为 2020年 12月1日18时30分.所以B选项正确；因为纽约时间比北京时间晚 13小时，所以纽约时间为2020 年 12月1日12时 30分，所以C选项错误；因为首尔时间比北京时间早1小时，所以首尔时间为 2020 年12 月2日2时30分，所以D选项错误。答案∶B
非常点评：由此题的解答可以看出，利用数轴可以将抽象的“数” 转化为直观的“形” ，从而借助“形” 来解答有关抽象的“数”的问题.
题型三、确定数轴上的整数点
【典例3】如图，小明写作业时不慎将两滴墨水滴在作业本上（涂色部分）.根据图中的数值，你能确定被墨迹盖住的整数有哪几个吗?
解析∶观察数轴可以看出被左边墨迹盖住的离原点最远、最近的整数分别是－6、－2，它们之间还有整数－5、－4、－3；被右边墨迹盖住的离原点最近、最远的整数分别是1、4，它们之间还有整数2、3.综上可得答案.解∶被墨迹盖住的整数有9个，它们是－6、－5、－4、－3、－2、1、2、3、2。
方法归纳：确定数轴上的整数点的方法 在确定数轴上的整数点时，一般先观察需确定的范围离原点最近的整数点和最远的整数点，然后按照从小到大的顺序找出它们之间的整数点，据此可得所要求的所有的整数点.
题型四、确定数轴上定点表示的数
【典例4】如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的1个单位长度为2cm）.若刻度尺上1cm 和3 cm分别对应数轴上的1和0，则刻度尺上4.2 cm 对应数轴上的数为______。
解析∶由图可知，刻度尺上 4.2 cm 对应数轴上的点距离原点的实际距离为4.2－3=1.2（cm），所以该点距离原点1.2÷2=0.6（个）单位长度.又因为该点在原点左侧，所以该点表示的数为-0.6.非常点评： 解答本题时，需注意两点： ⑴坐标原点对应的不是刻度尺上的0刻度线; ⑵这条数轴的单位长度不是1cm.
题型五、确定数轴上动点表示的数
【典例5】⑴表示-2的点M从数轴上先向左移动3个单位长度，再向右移动7个单位长度，则此时点M对应的数是____;⑵点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度，终点恰好是原点，则点A表示的数是____.
解析∶⑴点 M在数轴上的运动过程如图①所示.由图①，可知此时点M对应的数是2.⑵利用逆向思维，将原点在数轴上先向右移动4个单位长度，再向左移动5个单位长度后所得到的点为A，如图②，易知点A表示的数是－1.
非常点评：在解决确定数轴上动点表示的数的问题时，一般先根据题意画出已知数表示的点在数轴上的运动情况，然后根据最终到达的点的位置来确定它所表示的数.也可以将运动后的点进行反向运动，倒推出点的初始位置表示的数.
【典例6】在数轴上，点 A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C.若OC=OB，则a的值为（ ）A.－3 B. －2 C.－1 D.1 解析∶要确定 a 的值，只需确定表示该数的点A的位置，以及点A 到原点的距离，即OA 的长.如图，因为点B表示的数是2，所以点B在原点的右侧，且到原点的距离OB=2=CC.因为将点A向右平移1个单位长度，得到点C，易知点C在原点的左侧，所以OA=OC＋1=2＋1=3，即点A到原点的距离为3.又因为点A在原点的左侧，所以点A表示的数a 为－3.
非常点评：解这类无数轴的题目时，一般首先画出数轴，然后根据题意找到题中点的位置，对于不能确定准确位置的点，只需找到其大致位置即可（如本题的点A），最后借助数轴，并运用小学所学的线段的和、差关系求出表示所求的数的点到原点的距离.
⑵如图，指出数轴上A、B、C、D、E各点表示什么数． A:1 B: -4.5 C:3.5 D: -2 E：-0.5
3、如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C所对应数的和是m．⑴若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为______，________，m的值为__________；⑵若点B为原点，AC＝6，求m的值．⑶若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值．
解：（1）∵点C为原点，BC＝1，∴B所对应的数为﹣1，∵AB＝2BC，∴AB＝2，∴点A所对应的数为﹣3，∴m＝﹣3﹣1+0＝﹣4；故答案为：﹣3，﹣1，﹣4；（2）∵点B为原点，AC＝6，AB＝2BC，AB+BC=AC，∴AB=4，BC=2，∴点A所对应的数为﹣4，点C所对应的数为2，∴m=﹣4+2+0＝﹣2；（3）∵原点O到点C的距离为8，∴点C所对应的数为±8，∵OC＝AB，∴AB＝8，当点C对应的数为8，∵AB＝8，AB＝2BC，∴BC＝4，∴点B所对应的数为4，点A所对应的数为﹣4，∴m＝4﹣4+8＝8；当点C所对应的数为﹣8，∵AB＝8，AB＝2BC，∴BC＝4，∴点B所对应的数为﹣12，点A所对应的数为﹣20，∴m＝﹣20﹣12﹣8＝﹣40．
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