第19讲 直角三角形与勾股定理（练透）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）

【2022讲通练透】二轮
第十九讲 直角三角形与勾股定理
考点一 直角三角形的判定 2
考点二 勾股定理的应用--最短路径 3
考点三 勾股定理的应用二--翻折问题 6
考点四 直角三角形的性质--斜中半 11
考点五 直角三角形有关几何证明 16
















考点一 直角三角形的判定

1．下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．2，3，4 B．6，8，10 C．1，， D．，，
【解答】解：A、因为22+32≠42，故不能作为直角三角形三边长；
B、因为62+82＝102，故能作为直角三角形三边长；
C、因为12+（）2≠（）2，故不能作为直角三角形三边长；
D、因为（）2+（）2≠（）2，故不能作为直角三角形三边长．
故选：B．
2．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．BC＝1，AC＝2，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．BC＝1，AC＝2，AB＝
【解答】解：A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，
∴∠A+∠B+∠C＝3x+4x+5x＝180°，
∴x＝15°，
∴∠C＝5x＝5×15°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意．
B．∵BC＝1，AC＝2，AB＝，12+22＝（）2，
∴BC2+AC2＝AB2，
满足勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形，不符合题意．
C．∵BC：AC：AB＝3：4：5，
∴设BC＝3k，AC＝4k，AB＝5k，
∴（3k）2+（4k）2＝（5k）2，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴满足勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意．
D．∵BC＝1，AC＝2，AB＝，12+（）2＝22，
∴BC2+AB2＝AC2，
满足勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
3．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A． B．3，4，5 C． D．9，12，15
【解答】解：A．∵（）2+22≠（）2，
∴以，2，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵32+42＝52，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵12+12＝（）2，
∴以1，1，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵92+122＝152，
∴以9，12，15为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．



考点二 勾股定理的应用--最短路径

4．如图，长方体的长为8，宽为10，高为6，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图1：（1）AB＝＝＝6；

（2）AB＝＝＝2；

（3）AB＝＝2．

所以需要爬行的最短距离是2，
故选：A．
5．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（　　）

A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
【解答】解：如图：

将杯子侧面展开，
作A关于EF的对称点A′，
则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，
∵A′B＝＝＝＝17（cm），
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为17cm，
故选：B．
6．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（　　）（π取3）m．

A．30 B．28 C．25 D．22
【解答】解：其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF，

∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，
∴BC＝πR＝2.5π≈7.5m，AB＝CD＝20m，
∴CF＝15m，
在Rt△CDF中，DF＝＝＝25（m），
故他滑行的最短距离约为25m．
故选：C．

考点三 勾股定理的应用二--翻折问题

7．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝2，
∴S△ADE＝4，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，
∴•（AF+DF）•BF＝4，
∴•（3+DF）•2＝4，
∴DF＝1，
∴DB＝＝＝，
设点F到BD的距离为h，则有•BD•h＝•BF•DF，
∴h＝，
故选：B．
8．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF＝（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，
过B′作B′H⊥AB与H，
∴△AHB′是等腰直角三角形，
∴AH＝B′H＝AB′，
∵AB′＝AC＝，
∴AH＝B′H＝1，
∴BH＝3，
∴BB′＝＝＝，
∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，
∴BF＝BB′＝，DE⊥BB′，
∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，
∵∠EBF＝∠B′BH，
∴△BFE∽△BHB′，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝，
故答案为：．
故选：C．

9．如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（　　）

A． B．3 C．2 D．
【解答】解：过点A作AG⊥BC,垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H,
∵AB＝BC＝5,
∴AH＝CH＝＝,
在Rt△BCH中，
BH2+CH2＝BC2,
BH2+()2＝52,
解得BH＝，
S△ABC＝,
,
解得：AG＝3,
在Rt△ACG中，
CG2+AG2＝AC2,
CG2+33＝(2,
解得:CG＝1,
由翻折可得，∠ADF＝∠ADG,
∵DE⊥AB,
∴∠AGD＝∠AFD＝90°,
∴△AGD≌△AFD(AAS),
∴AF＝AG＝3,BF＝AB﹣AF＝2,
设GD＝x，
则DF＝x，BD＝4﹣x，
在Rt△BDF中，
DF2+BF2＝BD2,
x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴DE＝CD＝,BD＝BC﹣CD＝,
设点E到BC的距离为d，
S，
，
解得d＝2．
所以点E到BC的距离为2．
故选：C．

10．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM：MD＝1：2．将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（　　）

A． B． C．3 D．
【解答】解：连接AN交BM于点O，作NH⊥AD于点H．如图：

∵AB＝6，AM：MD＝1：2．
∴AM＝2，MD＝4．
∵四边形ABCD是正方形．
∴BM＝．
根据折叠性质，AO⊥BM，AO＝ON．AM＝MN＝2．
∴．
∴＝．
∴AN＝．
∵NH⊥AD．
∴AN2﹣AH2＝MN2﹣MH2．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴DN＝．
故选：D．


考点四 直角三角形的性质--斜中半

11．如图，在△ABC中，tan∠ACB＝，D为AC的中点，点E在BC上，连接DE，将△CDE沿着DE翻折，得到△FDE，点C的对应点是点F，EF交AC于点G，当EF⊥EC时，△DGF的面积，连接AF，则AF的长度为（　　）

A．2 B． C． D．
【解答】解：由题意得，△EDC≌△EDF，
∴∠CED＝∠FED，
∵EF⊥EC，
∴∠FED＝∠CED＝45°，
作DM⊥EF于M，AN⊥EF于N，

设DM＝x，则EM＝x，
∵∠EFD＝∠ACB，
∴，
∵∠GDM＝∠ACB，
∴DM∥BC，
∴GM＝tan∠GDM•DM＝，
∴FG＝FM﹣GM＝，
∴，
解得：x＝，
∴FD＝，GD＝，AD＝CD＝FD＝5，
∴G是AD的中点，
即AG＝DG，
∵∠ANG＝∠DMG＝90°，∠AGM＝∠DGM，
∴△ANG≌△DMG（AAS），
∴GN＝GM＝，
∴FN＝FM﹣NM＝2，
∴AN＝DM＝，
∴AF＝．
故选：D．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D为AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（　　）

A．6 B．9 C．3 D．6
【解答】解：如图，连接DG，AG，设AG交DE于点H，

∵DE⊥DF，G为EF的中点，
∴DG＝GE，
∴点G在线段DE的垂直平分线上，
∵△AED为等边三角形，
∴AD＝AE，
∴点A在线段DE的垂直平分线上，
∴AG为线段DE的垂直平分线，
∴AG⊥DE，∠DAG＝∠DAE＝30°，
∴点G在射线AH上，当BG⊥AH时，BG的值最小，如图所示，设点G'为垂足，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝∠AG'B，∠CAB＝∠BAG'，
则在△BAC和△BAG'中，
，
∴△BAC≌△BAG'（AAS）．
∴BG'＝BC＝6，
故选：D．
13．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，

则OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故选：D．
二．填空题（共2小题）
14．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为　6　．

【解答】解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB＝90°
∴∠FCO＝∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，OA＝OC，
∵BF＝BE，
∴BO⊥EF，∠BOF＝90°，
∵∠FEB＝2∠CAB＝∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO＝∠EOA，
∴EA＝EO＝OF＝FC＝2，
在Rt△BFO和Rt△BFC中，
，
∴Rt△BFO≌Rt△BFC，
∴BO＝BC，
在Rt△ABC中，∵AO＝OC，
∴BO＝AO＝OC＝BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠FEB＝2∠CAB＝60°，∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB＝EF＝4，
∴AB＝AE+EB＝2+4＝6．
故答案为6．

15．如图，在△ABC中，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且DF＝3FE，当AF⊥BF时，BC的长是　8　．

【解答】解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB＝90°，又D是AB的中点，
∴DF＝AB＝3，
∵DF＝3FE，
∴EF＝1，
∴DE＝4，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2DE＝8，
故答案为：8．


考点五 直角三角形有关几何证明

16．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．
（1）求证：DE＝DF，DE⊥DF；
（2）连接EF，若AC＝10，求EF的长．

【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△BDG和△ADC中，
，
∴△BDG≌△ADC，
∴BG＝AC，∠BGD＝∠C，
∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F分别是BG，AC的中点，
∴DE＝BG＝EG，DF＝AC＝AF，
∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD，
∴∠EDG+∠FDA＝90°，
∴DE⊥DF；
（2）解：∵AC＝10，
∴DE＝DF＝5，
由勾股定理得，EF＝＝5．
17．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．
（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．

【解答】解：（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠CDB＝45°，
∵∠PBC＝α，
∴∠DBP＝45°﹣α，
∵PE⊥BD，且O为BP的中点，
∴EO＝BO，
∴∠EBO＝∠BEO，
∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2 α；
（2）BP＝．证明如下：
连接OC，EC，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
设∠PBC＝α，
在Rt△BPC中，O为BP的中点，
∴CO＝BO＝，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠COP＝2 α，
由（1）知∠EOP＝90°﹣2α，
∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°，
又由（1）知BO＝EO，
∴EO＝CO．
∴△EOC是等腰直角三角形，
∴EO2+OC2＝EC2，
∴EC＝OC＝，
即BP＝，
∴BP＝．

18．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点E，F分别在AB，AC上，且AE＝EF，点O，M分别为AF，CE的中点．求证：
（1）OM＝CE；
（2）OB＝OM．

【解答】证明（1）连接OE，
∵AE＝EF，O是AF的中点，
∴EO⊥AF，又点M为CE的中点，
∴OM＝CE；
（2）连接BM，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∵∠ABC＝90°，点M为CE的中点，
∴BM＝CE＝MC，
∴OM＝BM，∠OMB＝∠OME+∠BME＝2（∠ACE+∠BCE）＝90°，
∴OB＝OM．

19．如图1，正方形ABCD中，AC是对角线，等腰Rt△CMN中，∠CMN＝90°，CM＝MN，点M在CD边上，连接AN，点E是AN的中点，连接BE．
（1）若CM＝2，AB＝6，求AE的值；
（2）求证：2BE＝AC+CN；
（3）当等腰Rt△CMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2，连接AN，点E是AN的中点，连接BE，延长NM交AC于点F．请探究线段BE、AC、CN的数量关系，并证明你的结论．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，
∴AC＝6，
∵等腰Rt△CMN中，∠CMN＝90°，CM＝MN，CM＝2，
∴CN＝2，
∵∠ACN＝90°，
∴AN＝＝＝4，
∵点E是AN的中点，
∴AE＝2；
（2）如图①，延长NC与AB的延长线交于一点G，
则△ACG是等腰直角三角形，B为AG的中点，

∴AC＝CG
∴GN＝AC+CN，
∵点E是AN的中点，
∴BE＝GN
∴2BE＝AC+CN；
（3）BE＝（AC﹣CN）
如图②，延长CN与AB的延长线交于一点G，
则△ACG是等腰直角三角形，B为AG的中点，

∴AC＝CG，
∴GN＝AC﹣CN，
∵点E是AN的中点，
∴BE＝GN，
∴BE＝（AC﹣CN）．