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【中考二轮】2024年中考数学 热点05+三角形的全等与相似(16大题型+满分技巧+限时分层检测)-专题训练.zip
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这是一份【中考二轮】2024年中考数学 热点05+三角形的全等与相似(16大题型+满分技巧+限时分层检测)-专题训练.zip，文件包含热点05三角形的全等与相似原卷版docx、热点05三角形的全等与相似解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共107页， 欢迎下载使用。
根据近年来的真题分析，三角形的全等与相似命题趋势主要有以下几点：
三角形的全等问题中：①注重基础知识的掌握，包括全等三角形的定义、判定定理、性质等内容；②强调实际应用能力。例如，在图形变换、面积计算、角度计算等方面，可能会涉及到全等三角形的判定与性质；③重视逻辑推理能力的考查。在考试中，可能会出现给定一些条件，要求学生通过推理证明两个三角形全等的题目；④考查综合运用能力，可能会涉及到多个知识点的综合运用，包括全等三角形、相似三角形、三角函数等。
相似三角形通常会关注于对判定定理和性质的理解和应用，以及对相似比和对应元素比例的理解和计算。考生需要熟练掌握这些知识点，并能够灵活运用它们来解决实际问题。同时，还需要注意对题目中给出的条件进行仔细分析，以确定哪些条件可以用于判定三角形相似，以及如何利用这些条件来求解问题。
考向一：三角形基础概念
【题型1 三角形的三边关系】
1．（2023•宝山区二模）如果一个三角形的两边长分别为、，那么这个三角形的第三边的长可以是
A．B．C．D．
2．（2023•普陀区二模）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 ．
3．（2021•松江区二模）已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可以是
A．4B．5C．10D．15
【题型2 三角形内角和定理】
1．（2021•静安区二模）在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的倍为整数），那么我们称这个三角形为倍角三角形，如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为 ．
2．（2021•浦东新区模拟）已知在中，，、的平分线分别为和，那么直线与所夹的角等于 度．
3．（2020•松江区二模）如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”．已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于 度．
【题型3 角平分线的性质】
1．（2023•普陀区二模）如图，中，，、分别平分、，，下面结论中不一定正确的是
A．B．
C．D．点到直线的距离是1
2．（2023•徐汇区一模）如图，点在边上，，点是的角平分线与的交点，且，则下列选项中不正确的是
A．B．C．D．
【题型4 等腰三角形的性质】
1．（2022•奉贤区二模）如图，在中，，，点在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，可知的度数为
A．B．C．D．
2．（2023•浦东新区校级模拟）已知：如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．
（1）求的长；
（2）求点到的距离．
【题型5 等边三角形的性质】
1．（2023•杨浦区一模）如图，已知在四边形中，，，，点、分别在线段、上．如果，那么的值为 ．
2．（2023•奉贤区一模）如果两个等边三角形的边长的比是，那么它们的周长比是 ．
【题型6 三角形中位线定理】
1．（2023•松江区一模）如图，中，，，是边的中点，延长到点，使，那么的长是 ．
2．（2022•黄浦区二模）如图，已知三根长度相等的木棍，现将木棍垂直立于水平的地面上，把木棍斜钉在木棍上，点是木棍的中点，再把木棍斜钉在木棍上，点是木棍的中点，如果、、在一条直线上，那么的值为 ．
3．（2021•浦东新区二模）将联结四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，那么该四边形较短的“中对线”的长度为 ．
考向二：三角形的性质与判定【题型7 全等三角形的性质与性质】
1．（2023•黄浦区二模）我们规定：在四边形中，是边上的一点，如果与全等，那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是 ．
2．（2022•徐汇区模拟）如图，四个白色全等直角三角形与四个黑色全等三角形按如图所示方式摆放成“风车”型，且黑色三角形的顶点、、、分别在白色直角三角形的斜边上，已知，，，若点、、在同一直线上，则的长为 ．
【题型8 全等三角形的判定】
1．（2021•普陀区二模）已知在和△中，，，下列条件中，不一定能得到△的是
A．B．C．D．
2．（2021•浦东新区二模）下列命题中，真命题是
A．周长相等的锐角三角形都全等
B．周长相等的直角三角形都全等
C．周长相等的钝角三角形都全等
D．周长相等的等腰直角三角形都全等
【题型9 全等三角形的判定与性质综合】
1．（2023•杨浦区三模）已知：如图，在中，，点是边的中点，，，连接、．
（1）求证：；
（2）如果平分，求证：．
2．（2023•虹口区二模）如图，在中，，，．小明根据下列步骤作图：
①以点为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点；
②以点为圆心，取定长为半径作弧分别交的两边于点、；
③以点为圆心，为半径作弧，交于点；
④以点为圆心，的长为半径作弧，交前弧于点，联结并延长交的延长线于点．
（1）填空：
由作图步骤①可得，
由作图步骤②③④可得 ，
又因为，
所以，理由是 ．
（2）联结，求的值．
3．（2022•崇明区二模）已知：如图，在四边形中，，点在边上，且，，作交线段于点，连接．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
考向三：相似三角形
【题型10 比例的性质、比例线段和黄金分割】
1．（2023•金山区一模）已知，那么 ．
2．（2023•普陀区一模）已知，，那么 ．
3．（2023•奉贤区一模）已知线段，，如果线段是、的比例中项，那么的值是 ．
4．（2023•长宁区一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为
A．B．C．D．
5．（2023•金山区一模）如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖到地地底部的距离是468米，第二球体点处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点、、在同一条直线上），且，那么底部到球体之间的距离是 米（结果保留根号）．
（2023•徐汇区模拟）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记，，，，则 ．
【题型11 平行线分线段成比例】
1．（2023•崇明区一模）四边形中，点在边上，的延长线交的延长线于点，下列式子中能判断的式子是
A．B．C．D．
2．（2023•松江区一模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ．
3．（2023•长宁区一模）如图，，已知，，，那么的长等于 ．
4．（2022•宝山区二模）已知：如图，点、、分别在的边、、上，，，．
（1）如果，求证：四边形是菱形；
（2）如果，且，联结，求的长．
【题型12 相似三角形的性质】
1．（2023•虹口区一模）已知△，顶点、、分别与、、对应，，，的平分线的长为6，那么的平分线的长为 ．
2．（2023•崇明区一模）如果两个相似三角形的周长之比是，那么它们的对应角平分线的比为 ．
3．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是 ．
【题型13 相似三角形的判定】
1．（2023•杨浦区三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是
A．1B．2C．3D．4
2．（2023•杨浦区一模）如图，在中，平分，点在边上，线段与交于点，且，下列结论中，错误的是
A．B．C．D．
3．（2023•长宁区一模）如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ．
【题型14 相似三角形的判定与性质】
1．（2023•嘉定区二模）如图，已知点、分别在的边、上，，，那么等于
A．B．C．D．
2．（2023•松江区二模）如图，点是的重心，四边形与面积的比值是
A．B．C．D．
3．（2023•浦东新区二模）如图，已知正方形的顶点、在的边上，顶点、分别在边、上，如果，的面积是32，那么这个正方形的边长是
A．4B．8C．D．
4．（2023•上海）如图，在梯形中，点，分别在线段，上，且，．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
5．（2022•上海）如图，在中，，，为中点，在线段上，，则 ．
6．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形中，，点，在线段上，点在线段上，且，．
求证：（1）；
（2）．
7．（2020•上海）已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【题型15 相似三角形的应用】
1．（2023•徐汇区一模）小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离为1.6米，凉亭的高度为6.6米，小明到凉亭的距离为12米，凉亭与观景台底部的距离为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为 米．
2．（2021•徐汇区二模）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即米），排球落地点离墙的距离是6米（即米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度的长是 米．
3．（2021•闵行区二模）《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点处，一棵树位于河流南岸的点处，从点处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形，且，，三点在一条直线上，在标杆处观察塔，视线与边相交于点，如果测得米，那么塔与树的距离为 米．
4．（2021•嘉定区三模）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？
如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点直行8里有一塔（点，自西门（点直行2里至点，切城角（点也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 里．
5．（2020•上海）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米．
【题型16 相似三角形的综合题】
1．（2023•闵行区二模）如图，在中，，，以为边作（点、在直线的异侧），且满足，．
（1）求证：；
（2）设点为边的中点，连接并延长交边于点，当为直角三角形时，求边的长；
（3）设，，求关于函数解析式并写出定义域．
2．（2022•闵行区二模）直角三角形中一个锐角的大小与两条边的长度的比值之间有明确的联系，我们用锐角三角比来表示．类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．
如图，在中，，顶角的正对记作，这时．
仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题：
（1）的值为 ．
（A）；
（B）1；
（C）；
（D）2．
（2）对于，的正对值的取值范围是 ．
（3）如果，其中为锐角，试求的值．
3．（2022•松江区二模）已知中，，、是的两条高，直线与直线交于点．
（1）如图，当为锐角时，
①求证：；
②如果，求的正切值；
（2）如果，，求的面积．
4．（2022•上海模拟）在中，，点为直线上不同于点的一点，，点在边上，，直线交射线于点．
（1）当点在边上时，如图所示．
①求证：；
②如果平分，求的值；
（2）如果，，求线段的长．
5．（2023•长宁区一模）已知：在中，，，点、分别在射线、射线上，且满足．
（1）当点在线段上时，如图1．
①如果，求的长；
②设、两点的距离为，，求关于的函数关系式，并写出定义域．
（2）当时，求的面积．（直接写出结论，不必给出求解过程）
（建议用时：20分钟）
1．（2023•青浦区一模）三角形的重心是
A．三角形三条角平分线的交点
B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条边的垂直平分线的交点
D．三角形三条高的交点
2．（2023•青浦区一模）已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是
A．6B．8C．10D．12
3．（2023•长宁区一模）已知线段、、、是成比例线段，如果，，，那么的值是
A．8B．6C．4D．1
4．（2023•杨浦区一模）如图，在中，，，垂足为点，下列结论中，错误的是
A．B．C．D．
5．（2023•嘉定区一模）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，那么的长等于
A．2B．4C．D．
6．（2023•杨浦区一模）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应高的比为 ．
7．（2023•静安区校级一模）已知△△，与△的相似比为，与△的相似比为，那么△与△的相似比为 ．
8．（2022•金山区校级模拟）已知正三角形的半径为4，那么正三角形的面积为 ．
9．（2023•苏州）如图，是的内接三角形，是的直径，，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
（建议用时：20分钟）
1．（2023•松江区一模）如图，直角梯形中，，，，，．是延长线上一点，使得与相似，这样的点的个数是
A．1B．2C．3D．4
2．（2023•静安区校级一模）如图，在中，中线与中线相交于点，连接．下列结论成立的是
A．B．
C．D．
3．（2022•江阴市校级一模）如图，中，，，，点在内，且平分，平分，过点作直线，分别交、于点、，若与相似，则线段的长为
A．5B．C．5或D．6
4．（2023•宜兴市二模）如图，在中，，，，于点，点是的中点，连接，将 沿翻折得到，直线、直线分别交于点、．
（1）当、时，求线段的长；
（2）当时，求的值．
满分技巧
1．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
满分技巧
1.三角形内角和定理的高频考点方向：
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
2.三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
解题技巧：
（1）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（2）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
满分技巧
1．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
高分技巧：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
2．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
高分技巧：已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
满分技巧
1．等腰三角形的三大性质：
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
2.高分技巧：
在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
3．等腰三角形的判定与性质解题心得：
（1）等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
（2）在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
（3）等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
满分技巧
1．等边三角形的性质满分技巧：
（1）等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
满分技巧
1．三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
三角形中位线书写模板：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．
满分技巧
1.全等三角形的性质：
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
满分技巧
1.全等三角形的判定：
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
3．全等三角形的判定与性质综合问题：
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
满分技巧
1.全等三角形的判定与性质综合问题：
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
满分技巧
1.比例的基本性质与常用性质：
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
②合比性质．若＝，则＝．
③分比性质．若＝，则＝．
④合分比性质．若＝，则＝．
⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．
2．比例线段的定义与判别方法：
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
3．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
满分技巧
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
满分技巧
1.相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
满分技巧
1．相似三角形的判定常用方法：
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，
如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
满分技巧
1．相似三角形的判定与性质解题心得：
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
满分技巧
1．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”
满分技巧
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查.
根据近年来的真题分析，三角形的全等与相似命题趋势主要有以下几点：
三角形的全等问题中：①注重基础知识的掌握，包括全等三角形的定义、判定定理、性质等内容；②强调实际应用能力。例如，在图形变换、面积计算、角度计算等方面，可能会涉及到全等三角形的判定与性质；③重视逻辑推理能力的考查。在考试中，可能会出现给定一些条件，要求学生通过推理证明两个三角形全等的题目；④考查综合运用能力，可能会涉及到多个知识点的综合运用，包括全等三角形、相似三角形、三角函数等。
相似三角形通常会关注于对判定定理和性质的理解和应用，以及对相似比和对应元素比例的理解和计算。考生需要熟练掌握这些知识点，并能够灵活运用它们来解决实际问题。同时，还需要注意对题目中给出的条件进行仔细分析，以确定哪些条件可以用于判定三角形相似，以及如何利用这些条件来求解问题。
考向一：三角形基础概念
【题型1 三角形的三边关系】
1．（2023•宝山区二模）如果一个三角形的两边长分别为、，那么这个三角形的第三边的长可以是
A．B．C．D．
2．（2023•普陀区二模）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 ．
3．（2021•松江区二模）已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可以是
A．4B．5C．10D．15
【题型2 三角形内角和定理】
1．（2021•静安区二模）在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的倍为整数），那么我们称这个三角形为倍角三角形，如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为 ．
2．（2021•浦东新区模拟）已知在中，，、的平分线分别为和，那么直线与所夹的角等于 度．
3．（2020•松江区二模）如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”．已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于 度．
【题型3 角平分线的性质】
1．（2023•普陀区二模）如图，中，，、分别平分、，，下面结论中不一定正确的是
A．B．
C．D．点到直线的距离是1
2．（2023•徐汇区一模）如图，点在边上，，点是的角平分线与的交点，且，则下列选项中不正确的是
A．B．C．D．
【题型4 等腰三角形的性质】
1．（2022•奉贤区二模）如图，在中，，，点在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，可知的度数为
A．B．C．D．
2．（2023•浦东新区校级模拟）已知：如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．
（1）求的长；
（2）求点到的距离．
【题型5 等边三角形的性质】
1．（2023•杨浦区一模）如图，已知在四边形中，，，，点、分别在线段、上．如果，那么的值为 ．
2．（2023•奉贤区一模）如果两个等边三角形的边长的比是，那么它们的周长比是 ．
【题型6 三角形中位线定理】
1．（2023•松江区一模）如图，中，，，是边的中点，延长到点，使，那么的长是 ．
2．（2022•黄浦区二模）如图，已知三根长度相等的木棍，现将木棍垂直立于水平的地面上，把木棍斜钉在木棍上，点是木棍的中点，再把木棍斜钉在木棍上，点是木棍的中点，如果、、在一条直线上，那么的值为 ．
3．（2021•浦东新区二模）将联结四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，那么该四边形较短的“中对线”的长度为 ．
考向二：三角形的性质与判定【题型7 全等三角形的性质与性质】
1．（2023•黄浦区二模）我们规定：在四边形中，是边上的一点，如果与全等，那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是 ．
2．（2022•徐汇区模拟）如图，四个白色全等直角三角形与四个黑色全等三角形按如图所示方式摆放成“风车”型，且黑色三角形的顶点、、、分别在白色直角三角形的斜边上，已知，，，若点、、在同一直线上，则的长为 ．
【题型8 全等三角形的判定】
1．（2021•普陀区二模）已知在和△中，，，下列条件中，不一定能得到△的是
A．B．C．D．
2．（2021•浦东新区二模）下列命题中，真命题是
A．周长相等的锐角三角形都全等
B．周长相等的直角三角形都全等
C．周长相等的钝角三角形都全等
D．周长相等的等腰直角三角形都全等
【题型9 全等三角形的判定与性质综合】
1．（2023•杨浦区三模）已知：如图，在中，，点是边的中点，，，连接、．
（1）求证：；
（2）如果平分，求证：．
2．（2023•虹口区二模）如图，在中，，，．小明根据下列步骤作图：
①以点为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点；
②以点为圆心，取定长为半径作弧分别交的两边于点、；
③以点为圆心，为半径作弧，交于点；
④以点为圆心，的长为半径作弧，交前弧于点，联结并延长交的延长线于点．
（1）填空：
由作图步骤①可得，
由作图步骤②③④可得 ，
又因为，
所以，理由是 ．
（2）联结，求的值．
3．（2022•崇明区二模）已知：如图，在四边形中，，点在边上，且，，作交线段于点，连接．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
考向三：相似三角形
【题型10 比例的性质、比例线段和黄金分割】
1．（2023•金山区一模）已知，那么 ．
2．（2023•普陀区一模）已知，，那么 ．
3．（2023•奉贤区一模）已知线段，，如果线段是、的比例中项，那么的值是 ．
4．（2023•长宁区一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为
A．B．C．D．
5．（2023•金山区一模）如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖到地地底部的距离是468米，第二球体点处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点、、在同一条直线上），且，那么底部到球体之间的距离是 米（结果保留根号）．
（2023•徐汇区模拟）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记，，，，则 ．
【题型11 平行线分线段成比例】
1．（2023•崇明区一模）四边形中，点在边上，的延长线交的延长线于点，下列式子中能判断的式子是
A．B．C．D．
2．（2023•松江区一模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ．
3．（2023•长宁区一模）如图，，已知，，，那么的长等于 ．
4．（2022•宝山区二模）已知：如图，点、、分别在的边、、上，，，．
（1）如果，求证：四边形是菱形；
（2）如果，且，联结，求的长．
【题型12 相似三角形的性质】
1．（2023•虹口区一模）已知△，顶点、、分别与、、对应，，，的平分线的长为6，那么的平分线的长为 ．
2．（2023•崇明区一模）如果两个相似三角形的周长之比是，那么它们的对应角平分线的比为 ．
3．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是 ．
【题型13 相似三角形的判定】
1．（2023•杨浦区三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是
A．1B．2C．3D．4
2．（2023•杨浦区一模）如图，在中，平分，点在边上，线段与交于点，且，下列结论中，错误的是
A．B．C．D．
3．（2023•长宁区一模）如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ．
【题型14 相似三角形的判定与性质】
1．（2023•嘉定区二模）如图，已知点、分别在的边、上，，，那么等于
A．B．C．D．
2．（2023•松江区二模）如图，点是的重心，四边形与面积的比值是
A．B．C．D．
3．（2023•浦东新区二模）如图，已知正方形的顶点、在的边上，顶点、分别在边、上，如果，的面积是32，那么这个正方形的边长是
A．4B．8C．D．
4．（2023•上海）如图，在梯形中，点，分别在线段，上，且，．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
5．（2022•上海）如图，在中，，，为中点，在线段上，，则 ．
6．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形中，，点，在线段上，点在线段上，且，．
求证：（1）；
（2）．
7．（2020•上海）已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【题型15 相似三角形的应用】
1．（2023•徐汇区一模）小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离为1.6米，凉亭的高度为6.6米，小明到凉亭的距离为12米，凉亭与观景台底部的距离为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为 米．
2．（2021•徐汇区二模）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即米），排球落地点离墙的距离是6米（即米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度的长是 米．
3．（2021•闵行区二模）《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点处，一棵树位于河流南岸的点处，从点处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形，且，，三点在一条直线上，在标杆处观察塔，视线与边相交于点，如果测得米，那么塔与树的距离为 米．
4．（2021•嘉定区三模）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？
如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点直行8里有一塔（点，自西门（点直行2里至点，切城角（点也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 里．
5．（2020•上海）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米．
【题型16 相似三角形的综合题】
1．（2023•闵行区二模）如图，在中，，，以为边作（点、在直线的异侧），且满足，．
（1）求证：；
（2）设点为边的中点，连接并延长交边于点，当为直角三角形时，求边的长；
（3）设，，求关于函数解析式并写出定义域．
2．（2022•闵行区二模）直角三角形中一个锐角的大小与两条边的长度的比值之间有明确的联系，我们用锐角三角比来表示．类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．
如图，在中，，顶角的正对记作，这时．
仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题：
（1）的值为 ．
（A）；
（B）1；
（C）；
（D）2．
（2）对于，的正对值的取值范围是 ．
（3）如果，其中为锐角，试求的值．
3．（2022•松江区二模）已知中，，、是的两条高，直线与直线交于点．
（1）如图，当为锐角时，
①求证：；
②如果，求的正切值；
（2）如果，，求的面积．
4．（2022•上海模拟）在中，，点为直线上不同于点的一点，，点在边上，，直线交射线于点．
（1）当点在边上时，如图所示．
①求证：；
②如果平分，求的值；
（2）如果，，求线段的长．
5．（2023•长宁区一模）已知：在中，，，点、分别在射线、射线上，且满足．
（1）当点在线段上时，如图1．
①如果，求的长；
②设、两点的距离为，，求关于的函数关系式，并写出定义域．
（2）当时，求的面积．（直接写出结论，不必给出求解过程）
（建议用时：20分钟）
1．（2023•青浦区一模）三角形的重心是
A．三角形三条角平分线的交点
B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条边的垂直平分线的交点
D．三角形三条高的交点
2．（2023•青浦区一模）已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是
A．6B．8C．10D．12
3．（2023•长宁区一模）已知线段、、、是成比例线段，如果，，，那么的值是
A．8B．6C．4D．1
4．（2023•杨浦区一模）如图，在中，，，垂足为点，下列结论中，错误的是
A．B．C．D．
5．（2023•嘉定区一模）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，那么的长等于
A．2B．4C．D．
6．（2023•杨浦区一模）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应高的比为 ．
7．（2023•静安区校级一模）已知△△，与△的相似比为，与△的相似比为，那么△与△的相似比为 ．
8．（2022•金山区校级模拟）已知正三角形的半径为4，那么正三角形的面积为 ．
9．（2023•苏州）如图，是的内接三角形，是的直径，，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
（建议用时：20分钟）
1．（2023•松江区一模）如图，直角梯形中，，，，，．是延长线上一点，使得与相似，这样的点的个数是
A．1B．2C．3D．4
2．（2023•静安区校级一模）如图，在中，中线与中线相交于点，连接．下列结论成立的是
A．B．
C．D．
3．（2022•江阴市校级一模）如图，中，，，，点在内，且平分，平分，过点作直线，分别交、于点、，若与相似，则线段的长为
A．5B．C．5或D．6
4．（2023•宜兴市二模）如图，在中，，，，于点，点是的中点，连接，将 沿翻折得到，直线、直线分别交于点、．
（1）当、时，求线段的长；
（2）当时，求的值．
满分技巧
1．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
满分技巧
1.三角形内角和定理的高频考点方向：
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
2.三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
解题技巧：
（1）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（2）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
满分技巧
1．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
高分技巧：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
2．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
高分技巧：已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
满分技巧
1．等腰三角形的三大性质：
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
2.高分技巧：
在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
3．等腰三角形的判定与性质解题心得：
（1）等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
（2）在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
（3）等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
满分技巧
1．等边三角形的性质满分技巧：
（1）等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
满分技巧
1．三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
三角形中位线书写模板：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．
满分技巧
1.全等三角形的性质：
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
满分技巧
1.全等三角形的判定：
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
3．全等三角形的判定与性质综合问题：
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
满分技巧
1.全等三角形的判定与性质综合问题：
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
满分技巧
1.比例的基本性质与常用性质：
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
②合比性质．若＝，则＝．
③分比性质．若＝，则＝．
④合分比性质．若＝，则＝．
⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．
2．比例线段的定义与判别方法：
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
3．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
满分技巧
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
满分技巧
1.相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
满分技巧
1．相似三角形的判定常用方法：
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，
如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
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1．相似三角形的判定与性质解题心得：
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
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1．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”
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涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查.
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