专题9 分式方程——【备考2023】中考数学二轮专题过关练学案（教师版+学生版）

华师大版备考2023中考数学二轮复习 专题9 分式方程

一、单选题

1．（2022八下·福田期末）若分式方程有增根，则k的值是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．（2022八下·历下期末）某小区3000人进行核酸检测，由于组织有序，居民积极配合，实际每小时检测人数比原计划增加50人，结果提前2小时完成任务．若原计划每小时检测x人，可列方程（　　）

A． B．

C． D．

3．（2022八下·太原期末）2022年5月12日是我国第14个全国防灾减灾日，某校组织防灾减灾教育活动，八年级同学进行了两次地震应急演练，在改进撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多20%，结果360名同学全部撤离的时间比第一次节省了40秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（　　）

A．40 B．0

C．40 D．40

4．（2022七上·长沙开学考）如果关于的不等式组有且仅有四个整数解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是（　　） 

A．13 B．15 C．20 D．22

5．（2022九上·郑州开学考）已知关于x的方程=的解是正整数，且k为整数，则k的值是(　　)

A．0 B．-2 C．0或6 D．-2或6

6．（2022八下·锦州期末）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，骑自行车前往C地．已知A，C两地相距，B，C两地相距，甲骑行的平均速度比乙骑行的平均速度快，两人同时到达C地．设乙骑行的平均速度为，则所列方程正确的是（　　）

A． B． C． D．

7．（2021·陆良模拟）若整数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 有整数解，那么所有满足条件的a的值的积是（　　）

A．2 B．3 C． D．8

8．（2019八下·伊春开学考）关于 的分式方程 的解为正实数，则实数 的取值范围是      

A． 且  B． 且

C． 且  D． 且

二、填空题

9．（2022八上·长兴开学考）若分式的值为2，则的值为　     　.

10．（2022九上·秦都开学考）关于的方程有增根，则的值为　     　．

11．（2022·黄石）已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是　           　．

12．（2022八下·薛城期末）枣庄市质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂产品的合格率比乙厂高5%，则甲厂产品的合格率为　     　．

13．（2022九上·东阳月考）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼　     　条．

14．（2021九上·包头月考）若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程 的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是　     　． 

三、计算题

15．（2022八上·莱西期中）解分式方程

（1）

（2）

四、解答题

16．（2022八上·新田月考）为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某公司用4000元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用6400元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，且每包便宜5元．问第一批口罩每包的价格是多少元？

17．（2022八上·津南期中）八年级学生去距离学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．

18．（2022八上·新田月考）关于x的方程无解，求m的值．

五、综合题

19．（2022八上·通州期中）晨晨家近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．

注：续航里程是指在最大的能源储备下可连续行驶的总里程．

（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用　     　；

（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．

①分别求出这两款车的每千米行驶费用．

②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程在什么范围时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）

20．（2022八上·宝安期末）某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．

（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；

（2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】分式方程的增根

【解析】【解答】解：去分母得，x=k

∵分式方程有增根，

∴k-1=0

解得k=1

故答案为：B．

【分析】先将分式方程化为整式方程，再将x=1代入计算即可。

2．【答案】D

【知识点】列分式方程

【解析】【解答】解：根据题意得：．

故答案为：D．

【分析】根据“结果提前2小时完成任务”直接列出方程即可。

3．【答案】A

【知识点】列分式方程

【解析】【解答】第一次360名学生撤离的时间为：秒，第二次360名学生撤离的时间为：秒，
由题意得：，

故答案为：A．

【分析】先表示出第一次和第二次的时间，再根据题意直接列出方程即可。

4．【答案】B

【知识点】解分式方程；一元一次不等式组的特殊解

【解析】【解答】解：原不等式组的解集为 ，

因为不等式组有且仅有四个整数解，

所以 ，

解得 ．

原分式方程的解为 ，

因为分式方程有非负数解，

所以 ，解得 ，且 ，因为 时 是原分式方程的増根．

所以符合条件的所有整数 的和是 ．

故答案为：B.

【分析】分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集，结合不等式组有且仅有四个整数解可得关于m的不等式组，求出m的范围，解分式方程表示出y，由分式方程有非负数解可得m的范围，据此可得符合条件的整数m的值，然后求和即可.

5．【答案】D

【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程

【解析】【解答】解：去分母：3(3-x)=kx，
去括号：9-3x=kx，
移项：(k+3)x=9，
系数化为1：x=，
当k=-2时，x=1，
当k=6时，x=1，
综上所述，k的值为 -2或6 .
故答案为：D.

【分析】将原方程去分母化为整式方程，去括号、移项、合并同类项、再将未知数系数化为1，x=，结合方程的解为正整数， 且k为整数， 分别试值即可解答.

6．【答案】B

【知识点】列分式方程

【解析】【解答】解：设乙骑行的平均速度为

∵甲到达C地所花的时间=乙到达C地所花的时间

∴

故答案为：B

【分析】根据“甲到达C地所花的时间=乙到达C地所花的时间”，直接列出方程即可。

7．【答案】C

【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组

【解析】【解答】解：解不等式 得x≥5，

解不等式 ，得： ，

∵不等式组无解，

∴ ，

解方程 得 ，

∵分式方程有整数解，

∴ =±1、±3，

解得：a=3或5或-1或1，

又a＜5，所以a只能为-1、1或3

∴所有满足条件的a值的积为 =-3，

故答案为：C．

【分析】解题关键熟练掌握解不等式组和分式方程的基本技能，求出符合条件的a值。注意使分母为0的x值是为增根，舍去。

8．【答案】D

【知识点】分式方程的解及检验

【解析】【解答】解：

去分母，得

x+m+2m=3（x-2）

解得x=

∵关于x的分式方程 的解为正实数

∴x-2≠0，x＞0

即 ≠2， ＞0，

解得m≠2且m＜6

故答案为：D.

【分析】先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.

9．【答案】4

【知识点】解分式方程

【解析】【解答】解：∵ 分式的值为2，
∴
∴2x-6=2
解之：x=4，
经检验：x=4是原方程的跟.
故答案为：4.
【分析】利用已知分式的值为4，可得到关于x的分式方程，再求出分式方程的解，然后检验可得x的值.

10．【答案】-6

【知识点】分式方程的增根

【解析】【解答】解：关于的方程有增根，则是增根，

将原分式方程去分母得，

，

而是方程的解，

所以

故答案为：-6.

【分析】所谓增根，就是使最简公分母为0的根，据此可得该方程的增根，又分式方程的增根是原方程去分母所得的整式方程的根，故将原方程的增根代入即可求出a的值.

11．【答案】a＜1且a≠0

【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程

【解析】【解答】解：由得，

关于x的方程的解为负数，

，即，解得，即且，

故答案为：a＜1且a≠0．

【分析】解分式方程，可求出x的值，再根据分式方程的解为负数，可得到x＜0，x≠0，x≠-1，由此可得到关于a的不等式组，然后求出不等式组的解集，可得到a的取值范围.

12．【答案】80%

【知识点】分式方程的实际应用

【解析】【解答】解：设甲、乙两厂的质检总数都为x件，

根据题意，得：，

解得：x=60，

经检验，x=60是所列分式方程的解，

∴甲厂产品的合格率为=0.8=80%，

故答案为：80%．

【分析】设甲、乙两厂的质检总数都为x件，根据题意列出方程求解即可。

13．【答案】1000

【知识点】分式方程的实际应用；简单事件概率的计算

【解析】【解答】解：设鱼塘中有鱼x条，
由题意得：×100%＝5%，
∴x＝1000，
经检验x＝1000为原方程的解，
∴估计鱼塘中有鱼1000条．
故答案为：1000．
【分析】鱼塘中有鱼x条，利用频率估计概率为5%，从而得×100%＝5%，解方程即可求解．

14．【答案】2

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；分式方程的解及检验

【解析】【解答】∵关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，

∴a+1≠0且△＝(2a﹣3)2﹣4(a+1)×(a﹣2)＞0，

解得a＜ 且a≠﹣1．

把关于x的方程 去分母得ax﹣1﹣x＝3，

解得

∵x≠﹣1，

∴ ，解得a≠﹣3，

∵ (a≠﹣3)为整数，

∴a﹣1＝±1，±2，±4，

∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，

而a＜ 且a≠﹣1且a≠﹣3，

∴a的值为0，2，

∴满足条件的所有整数a的和是2．

故答案是：2．

【分析】由关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，可得a+1≠0且△＞0，据此求出a的范围，然后求出分式方程的解，根据此解为整数，再结合a的范围即可确定a值.

15．【答案】（1）解：

两边都乘得

将代入最简公分母，

∴是原方程的解．

（2）解：

两边都乘得

将代入得

∴是增根，原方程无解

【知识点】解分式方程

【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。   

16．【答案】解：设第一批口罩每包x元，则第二批口罩每包（x-5）元，

根据题意得：

，

解得：x=25，

经检验x=25是所列方程的根，

答：第一批口罩每包的价格是25元．

【知识点】分式方程的实际应用

【解析】【分析】 设第一批口罩每包x元，则第二批口罩每包（x-5）元，根据“ 第二批口罩的数量是第一批的2倍 ” 列出方程并解之即可.

17．【答案】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，

由题意得：﹣＝，

化为整式方程得：，

解得：x＝15，

经检验：x＝15是原方程的解，且符合题意．

答：骑车学生的速度为15km/h．

【知识点】分式方程的实际应用

【解析】【分析】设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，根据到达目的地时，骑自行车比乘汽车多用了20分钟，据此列出方程并解之即可.

18．【答案】解：分式方程两边同乘以得：，

整理得：，

∴当，即时，方程无解，则原分式方程无解；

当时，

∵原分式方程无解，

∴，

∴或，

当时，即，

把代入得：，

解得：；

当时，即，

把代入得：，此时m的值不存在，

∴当原分式方程无解时，m的值为－2或－1．

【知识点】分式方程的解及检验

【解析】【分析】先将分式方程化为整式方程，分两种情况：整式方程无解和分式方程无解，据此分别解答即可.

19．【答案】（1）

（2）解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，

∴，

解得，

经检验，是原分式方程的解，

∴（元），（元），

答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；

②设每年行驶里程为，

由题意得：，

解得，

答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．

【知识点】分式方程的实际应用

【解析】【解答】解：（1）由表格可得，

新能源车的每千米行驶费用为：（元），

故答案为：元；

【分析】（1）根据题意列出算式求解即可；
（2）①根据题意列出方程，再求出a的值即可；
②设每年行驶里程为，根据题意列出不等式，再求解即可。

20．【答案】（1）解：设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x＋30）元，

依题意得： ，

解得：x＝50，

经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，

∴x＋30＝80．

答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元．

（2）解：设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（50−m）个A品牌足球，

依题意得：50×（1＋8%）（50−m）＋80×0.9m≤3060，

解得：m≤20．

答：该中学此次最多可购买20个B品牌足球．

【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用

【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x＋30）元，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（50−m）个A品牌足球，根据题意列出不等式50×（1＋8%）（50−m）＋80×0.9m≤3060，再求解即可。