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专题16 函数的综合运用——【备考2023】中考数学二轮专题过关练学案（教师版+学生版）
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华师大版备考2023中考数学二轮复习 专题16 函数的综合运用
一、单选题
1．（2022八上·怀宁期中）如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式(k-1)x-b+4<0的解集是（ ）
A．x>-2 B．x>0 C．x>1 D．x<1
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解： 由图象可知当 x>1 时， kx+4
即 (k-1)x-b+4<0 ，
∴关于x的不等式 (k-1)x-b+4<0 的解集是 x>1 ．
故答案为：C．
【分析】将不等式(k-1)x-b+4<0变形为kx+4
A．-43或x<-4
【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知：
不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为： -4
【分析】利用一次函数和二次函数的图象与性质求解集即可。
3．二次函数y=x2-2x-3．若y>-3，则自变量x的取值范围是（ ）
A．x<0或x>2 B．x<1或x>3 C．0
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：当y=-3时，x2-2x-3=-3
∴x2-2x=0，
解之：x1=2，x2=0，
∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当y＞-3时，x的取值范围为x＜0或x＞2.
故答案为：A
【分析】将y=-3代入函数解析式，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用函数解析式可得到抛物线的开口向上，可得到y＞-3时，可得到x的取值范围.
4．（2022九上·青田期中）如图，二次函数y1=-x2+bx+c与一次函数y2=kx+2的图象交于点A(-1，3)和点B(4，m)，要使y1
A．-1-1
C．x<4 D．x<-1或x>4
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵y1
根据图象可知当x<-1或x>4时，直线在抛物线的上方，
∴x<-1或x>4，
故答案为：D.
【分析】根据图象可知当x<-1或x>4时，直线在抛物线的上方，据此即得结论.
5．（2022九上·霍邱月考）如图，等腰△ABC的顶点A在原点固定，且始终有AC=BC，当顶点C在函数y=kx (x>0)的图象上从上到下运动时，顶点B在x轴的正半轴上移动，则△ABC的面积大小变化情况是( )
A．一直不变 B．先增大后减小
C．先减小后增大 D．先增大后不变
【答案】A
【知识点】反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵等腰三角形ABC的顶点A在原点， 顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=kx (x>0)的图象上从上到下运动，AC=BC，
设点C的坐标为（a，ka），
∴S△ABC=12×2a×ka=k，
∴△ABC的面积大小不变，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出S△ABC=12×2a×ka=k，再计算求解即可。
6．（2022八上·太原期中）课堂上，同学们研究正比例函数y=-x的图象时，得到如下四个结论，其中错误的是（ ）
A．当x=0时，y=0，所以函数y=-x的图象经过原点
B．点P(t，-t)一定在函数y=-x的图象上
C．当x>0时，y<0，当x<0时，y>0，所以函数y=-x的图象经过二、四象限
D．将函数y=-x的图象向左平移2个单位，即可得到函数y=-x+2的图象
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与几何变换；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A．当x=0时，y=0，所以函数y=-x的图象经过(0，0)，即经过原点，A不符合题意；
B．当x=t时，y=-t，则P(t，-t)一定在函数y=-x的图象上，B不符合题意；
C．当x>0时，y=-x<0；当x<0时，y=-x>0，则函数y=-x的图象经过二、四象限，C不符合题意；
D．将函数y=-x的图象向左平移2个单位，即可得到函数y=-(x+2)=-x-2的图象，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据正比例函数的图象和性质及图象上点的坐标特征进行分析即可。
7．（2022九上·津南期中）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（ ）
A．-15
C．x<-1且x>5 D．x＜－1或x＞5
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集：
由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）．
由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5．
故答案为：D．
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，再结合函数图象直接求解即可。
8．（2022九上·金华月考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=-x+4 与坐标轴交于 A，B 两点，OC⊥AB 于点 C，P 是线段 OC 上的一个动点，连接 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 45°，得到线段 AP＇，连接 CP＇，则线段 CP＇的最小值为（ ）
A．22 B．22-2 C．2 D．2-1
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；一次函数-动态几何问题；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵直线 y=-x+4与坐标轴交于 A，B 两点，
∴A（0，4），B（4，0），
∴OA=OB=4，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∵OC⊥AB，
∴C为AB的中点，
∴C（2，2），
又∵点P是线段OC上动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45°得到线段AP'
∴P'的运动轨迹也是线段，
当P在O点时和P在C点时，则P'的起点与终点分别为N和M，
∴P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，如下图所示：
∴当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小，
在△AOB中，AO＝OB＝4，
∴AN=4，AB＝42 ，
∴NB＝42-4，
又∵Rt△NHB是等腰直角三角形，
∴NB=2HB，
∴HB＝4−22 ，
∴CP'＝OB−HB−2＝4−（4−22）−2＝22−2．
故答案为：B.
【分析】由直线 y=-x+4与坐标轴交于 A，B 两点可得出点A、B坐标，易得△OAB是等腰直角三角形，
利用中点坐标公式求得点C坐标；由题意可得P'的运动轨迹也是线段，当P在O点时和P在C点时，则可确定P'的起点与终点分别为N和M，从而得出点P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小；再利用等腰直角三角形性质分别求出NB、HB的长，最后通过点C的坐标及线段和差关系，即可求得CP'的最小值.
9．（2022九上·萧山月考）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．-2
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，
即x2﹣4x+3=0，
解得x=1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y=x+m1与C2相切时，
令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1=0，
△=﹣8m1﹣15=0，
解得m1=-158，
当y=x+m2过点B时，
即0=3+m2，
m2=﹣3，
当-3
考点：二次函数的图象．
【分析】先求出A、B的坐标，然后根据平移求出C2的解析式，分别求出直线 y=x+m与抛物线C2的相切时m的值以及直线y=x+m过点B时的m值，结合图象即可求解.
10．（2022九上·舟山月考）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（-1，0），（3，0），直线y=kx+m经过点（-1，0），直线y=kx+m与抛物线y=ax2+bx+c另一个交点的横坐标是4，它们的图象如图所示，有以下结论：①抛物线对称轴是x=1；②a-b+c=0；③-1
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（-1，0），（3，0），
∴对称轴为x=-1+32=1，故①正确；
当x=-1时a-b+c=0，故②正确；
当-1＜x＜3时，ax2+bx+c＜0，故③正确；
∵抛物线经过点（-1，0），（3，0），a=12，
设函数解析式为y=12x+1x-3=12x2-x-32，
当x=4时y=12×42-4-32=52，
∴两函数图象的另一个交点坐标为4，52
∴-k+b=04k+b=52
解之：k=12b=12，故④正确；
∴正确结论的序号为①②③④.
故答案为：D
【分析】利用抛物线与x轴的两交点坐标可求出抛物线的对称轴，可对①作出判断；由x=-1可知y=0，可对②作出判断；观察图象，可知当-1＜x＜3时的图象在x轴的下方，可对③作出判断；利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出当x=4时的y的值，可得到两函数图象的另一个交点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式，可得到k的值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号，即可求解.
二、填空题
11．（2022九上·齐齐哈尔月考）如图，正比例函数y=x与反比例函数y=1x的图像相交于A、C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，则四边形ABCD面积为 .
【答案】2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：联立方程组y=xy=1x
得A（1，1），C（-1，-1 ）.
所以SΔADB=12×(1+|-1|)×1=1，SΔBCD=12×(1+|-1|)×|-1|=1，
所以S四边形ABCD=SΔADB+SΔBCD=1+1=2
【分析】联立方程组求出点A、C的坐标，再求出SΔADB=12×(1+|-1|)×1=1，SΔBCD=12×(1+|-1|)×|-1|=1，最后利用割补法求出四边形ABCD面积即可。
12．（2022七上·咸阳月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+1与直线y=-3x+m相交于点P，若点P的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组y=2x+1y=-3x+m的解是 。
【答案】x=1y=3
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可得直线 l1 和直线 l2 交点坐标是 (1，3) ，
∴ 方程组组 y=2x+by=-3x+6 的解为 x=1y=3
故答案为：x=1y=3.
【分析】利用两函数图象的交点坐标就是关于x，y的一元二次方程组的解，据此可得答案.
13．（2022九上·舟山月考）如图，已知点A1，A2，…，A2020在函数y=x2位于第二象限的图象上，点B1，B2，…，B2020在函数y=x2位于第一象限的图象上，点C1，C2，…，C2020在y轴的正半轴上，若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2，…，C2021A2022C2022B2022都是正方形，则正方形C2021A2022C2022B2022的对角线长为 ．
【答案】20222
【知识点】勾股定理；正方形的性质；探索数与式的规律；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解： ∵OA1C1B1是正方形，
∴OB1与y轴的夹角为45°，
∴OB1的解析式为y=x，
联立y=xy=x2，解得x=0y=0或x=1y=1，
∴点B1（1，1），
∴OB1=2，
∵OA1C1B1是正方形，
∴OC1=2OB1=2，
∵C1A2C2B2是正方形，
∴C1B2的解析式为y=x+2，
联立y=x+2y=x2， 解得x=-1y=1或x=2y=4，
∴点B2（2，4），
∴ C1B2=22+4-22=22，
∵C1A2C2B2是正方形，
∴C1C2=2C1B2=4，
∴C2B3的解析式为y=x+(4+2)=x+6，
联立y=x+6y=x2， 解得x=-2y=4或x=3y=9，
∴∴点B3（3，9），
∴C2B3=32+9-62=32，
依此类推，正方形C2021A2022C2022B2022的对角线长为20222.
故答案为：20222.
【分析】 根据正方形对角线平分一组对角可得OB1与y轴的夹角为45°，得出OB1的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B1的坐标，然后求出OB1的长，再根据正方形的性质求出OC1的长，同理求出C1B2、C2B3的长，再根据边长的变化规律解答即可.
14．（2022九上·温州期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴是直线x=-1，与x轴的一个交点为(-5，0)，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2(x1
【答案】-8
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴是直线x=-1，与x轴的一个交点为(-5，0)，
∴抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴的一个另交点为(3，0)，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-5，x2=3，
∴x1-x2=-5-3=-8.
故答案为：-8.
【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴两交点到对称轴距离相等，据此可得抛物线与x轴的另一个交点坐标，进而根据求方程ax2+bx+c=0的解，就是求抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，可得x1与x2的值，最后再根据有理数的减法法则算出答案即可.
15．（2022九上·温州月考）“水晶晶南浔”的美食文化中以特有的双交面出名，盛面的瓷碗截面图如图1所示，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），点E是抛物线的顶点，碗底高EF＝1cm，碗底宽AB＝23cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD＝83cm，此时面汤最大深度EG＝6cm，将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤如图2，当∠ABK＝30°时停止，此时液面CH宽为 cm；碗内面汤的最大深度是 cm．
【答案】323；433
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象与几何变换；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：以F为原点，直线AB为x轴， 直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
由题意知，
F(0，0)，E(0，1)，C(43，7)，D(-43，7) ，
设抛物线的解析式为： y=ax2+1，
把点C (43，7)代入得，
7=a(43)2+1，
解得：a=18
∴y=18x2+1，
将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，
当∠ABK = 30°时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为30°，即∠DCH= 30°，
设直线CH的解析式为y= kx+b，与y轴交于点G，如图，
由题意知：点C (43， 7)，
∵∠DCH=30°， CK=43，
：KG=43tan30° =4，
∴FG=3，
即点G (0，3)，
∴7=43k+b3=0+b，
解得：k=33b=3，
∴直线CH的解析式为：y=33x+3，
由y=33x+3y=18x2+1，解得x=43y=7或x=-433y=53
∴H（-433，53）
∴CH=43+4332+7-532=325.
把直线CH： y= 33 x+3，向下平移m个单位得到直线l1： y=33x- m， 当直线l1与抛物线只有一个交点时，两平行线之间的距离最大，过G作GJ⊥l1，交l1于点J，与y轴交于点M，GJ的长即为碗内面汤的最大深度，
联立y=18x2+1y=33x-m，
整理为：18x2-33x+1+m=0，
∵只要一个交点，
∴△=0，
即b2-4ac=-332-4×18×1+m=0，
解得m=-13，
∴直线l1的解析式为：y=33x+13，
∴点M （0，13），
GM=3 -13=83，
∵CH与水平面的夹角为30°，
∴直线l1与水平面的夹角为30°，即∠MGJ= 30°，
∴在Rt△GMJ中，
GJ= GMcos30°= 83×32=433，
即碗内面汤的最大深度为：433.
故答案为：323、433.
【分析】以F为原点，直线AB为x轴， 直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，由题意可得点E、F、C、D的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，易得∠DCH=30°，根据三角函数的概念可得FG，表示出点G的坐标，然后求出直线CH的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点H的坐标，利用两点间距离公式可得CH，根据一次函数图象的几何变换可得l1： y=33x- m， 当直线l1与抛物线只有一个交点时，两平行线之间的距离最大，过G作GJ⊥l1，交l1于点J，与y轴交于点M，GJ的长即为碗内面汤的最大深度，联立直线l1与抛物线解析式并结合△=0可得m的值，进而可得直线l1的解析式，然后令x=0，求出y的值，进而可得点M的坐标，求出GM，然后利用三角函数的概念可得GJ，据此解答.
三、解答题
16．（2022九上·蓬安期中）指出抛物线y=3x2-6x-9的开口方向：写出抛物线的顶点坐标、对称轴方程；当x满足什么条件时，y随x的增大而增大大？当x满足什么条件时，y取最小值多少？当x满足什么条件时，y<0？当x满足什么条件时，y>0？
【答案】解：∵抛物线解析式为y=3x2-6x-9=3(x-1)2-12，a=3>0，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(1，-12)，对称轴为直线x=1，
∴当x≥1时，y随x的增大而大；
当x=1，y取最小值-12；
令y=0，则3x2-6x-9=0，解得x=-1或x=3，
∵抛物线开口向上，
∴当-1
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】根据抛物线的解析式可得其图象开口向上，顶点坐标为（1，-12），对称轴为直线x=1，据此可得函数的增减性以及最值，令y=0，求出x的值，进而不难得到y>0、y<0对应的x的范围.
17．（2021九上·兰陵期中）如图，直线y=-12x+2与x轴、y轴分别交于B、A两点，Q是线段AB上的动点（不与A、B重合），将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°得到点Q'，连接OQ'，求OQ'的最小值．
【答案】解：作QM⊥x轴于点M，Q'N⊥x轴于N，
∵∠PMQ=∠PNQ'=∠QPQ'=90°，
∴∠QPM+∠NPQ'=∠PQ'N+∠NPQ'，
∴∠QPM=∠PQ'N，
在△PQM和△Q'PN中，
∠PMQ=∠PNQ'∠QPM=∠PQ'NPQ=PQ'，
∴△PQM≅△Q'PN(AAS)，
∴PN=QM，Q'N=PM，
设Q(m，-12m+2)，
∴PM=|m-1|，QM=|-12m+2|，
∴ON=|3-12m|，
∴Q'(3-12m，1-m)，
∴OQ'2=(3-12m)2+(1-m)2=54m2-5m+10=54(m-2)2+5，
当m=2时，OQ'2有最小值为5，
∴OQ'的最小值为5
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】作QM⊥x轴于点M，Q'N⊥x轴于N，先利用“AAS”证明△PQM≅△Q'PN可得PN=QM，Q'N=PM，设Q(m，-12m+2)，再求出OQ'2=(3-12m)2+(1-m)2=54m2-5m+10=54(m-2)2+5，最后利用二次函数的性质求解即可。
18．（2021八下·乐山期末）已知P（2，n）为反比例函数y= 4x （x>0）图象上的一点．将直线y=-2x沿x轴向右平移过点P时，交x轴于点Q，若点M为y轴上一个动点，求PM+QM的最小值。
【答案】解：如图，
∵P（2，n）为y= 4x 点
∴n= 42 =2即P（2，2）
又将直线y=-2x平移
则平移后的直线为y=-2x+b
∴2=-2×2+b得b=6
即平移后的直线为y=-2x+6
∴Q（3，0）
∴Q（3，0）关于y轴对称点Q'（-3，0）
∴PQ'= 52+22=29
则PM+QM的最小值为 29
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【分析】先将点P的横坐标代入y= 4x （x>0）求出点P的纵坐标，进而得到点P的坐标，再由平移结合点P的坐标得到平移后的一次函数解析式，进而得到点Q的坐标，再由对称结合勾股定理即可求解.
四、综合题
19．（2022八上·黄浦期中）已知：如图，直线y=2x上有一点P(2，a)，直线y=kx(0
（1）求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）．
（2）过点P分别作PA⊥y轴，PB⊥x轴，过点Q分别作QC⊥x轴，如果△OPQ的面积等于△BPQ的面积的两倍，请求出k的值．
（3）在（2）的条件下，在直线OQ上是否存在点D，使S△OCD=12？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点 P(2，a) 在直线 y=2x 上
∴a=2×2=4 ，
∴P(2，4) ，
∵点 Q(b，2) 在直线 y=kx(0
解得 b=2k ，
∴Q(2k，2) ，
（2）解：∵0
∵P(2，4) ， Q(b，2) ，
∴B(2，0) ， C(b，0) ，
∴PB=4 ， QC=2 ， BC=|b-2|=b-2 ， OC=|b|=b ，
S△OPQ=S△OPB+S梯形PBQC-S△OQC
=12×BO×PB+12(PB+QC)×BC-12×QC×OC
=12×2×4+12(4+2)×|b-2|-12×2×|b|
=4+3(b-2)-b
=2b-2 ，
S△BPQ=S梯形PBQC-S△BQC
=12(4+2)×|b-2|-12×2×|b-2|
=2|b-2|
=2b-4 ，
∵△OPQ 的面积等于 △BPQ 的面积的两倍
∴2b-2 =2×(2b-4) ，
即 2b=6 ，
解得 b=3 ，则 k=2b=23 ，
（3）解：当 k=23 时， b=3 ，则 Q(3，2) ， OQ 的解析式为 y=23x ，
∴C(3，0) ，
∴OC=3 ，
∵S△OCD=12 ，
∴12OC×|yD|=12 ，
∴12×3×|yD|=12 ，
解得 yD=±8 ，
∴当 y=8 时， x=3×82=12 ，
∴D(12，8) ，
当 y=-8 时， x=-12 ，
∴D(-12，-8) ；
综上所述，点 D 的坐标为 D(12，8) 或 D(-12，-8) ．
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与几何变换；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用待定系数法得出点P的坐标，再将其代入得出b的值，即可得出点Q的坐标；
（2）由（1）得出PB=4 ， QC=2 ， BC=|b-2|=b-2 ， OC=|b|=b ，根据△OPQ 的面积等于 △BPQ 的面积的两倍，求出b的值，即可求解；
（3）在（2）的条件下，直线 OQ 的解析式为 y=23x ，得出点C的坐标，由S△OCD=12 ，得出点D的纵坐标，代入即可得出答案。
20．（2022·淮安）如图（1），二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，直线l经过B、C两点.
（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；
（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；
（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP＋4DQ的值最小时，直接写出DQ的长.
【答案】（1）解：将点B(3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c
∴-9+3b+c=0c=3
解得b=2c=3
∴y=-x2+2x+3
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴顶点坐标(1，4)；
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴3k+b=0b=3
解得k=-1b=3
∴y=-x+3，
设P(t，-t+3)，则M(t，-t2+2t+3)，N(2-t，-t2+2t+3)，
∴PM=|t2-3t|，MN=|2-2t|，
∵PM=12MN，
∴|t2-3t|=12|2-2t|，
∴t2-3t=12(2-2t)或t2-3t=-12(2-2t)，
当t2-3t=12(2-2t)时， 整理得t2-2t-1=0，
解得t1=1+2，t2=1-2，
当t2-3t=-12(2-2t)时，整理得t2-4t+1=0，
解得t3=2+3，t4=2-3，
∴P点横坐标为1+2或1-2或2+3或2-3；
（3）解：DQ=5104
【知识点】平行线分线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】（3）解：∵C(0，3)，D点与C点关于x轴对称，
∴D(0，-3)，
令y=0，则-x2+2x+3=0，
解得x=-1或x=3，
∴A(-1，0)，
∴AB=4，
∵AQ=3PQ，
∴Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，
∴QG∥BC，
∴AQAP=AGBA，
∴34=AG4，
∴AG=3，
∴G(2，0)，
∵OB=OC，
∴∠OBC=45°，
作A点关于GQ的对称点A'，连接AD与AP交于点Q，
∵AQ=A'Q，
∴AQ+DQ=A'Q+DQ⩾A'D，
∴3AP+4DQ=4(DQ+34AP)=4(DQ+AQ)⩾4A'D，
∵∠QGA=∠CBO=45°，AA'⊥QG，
∴∠A'AG=45°，
∵AG=A'G，
∴∠AA'G=45°，
∴∠AGA'=90°，
∴A'(2，3)，
设直线DA'的解析式为y=kx+b，
∴b=-32k+b=3，
解得k=3b=-3，
∴y=3x-3，
同理可求直线QG的解析式为y=-x+2，
联立方程组y=-x+2y=3x-3，
解得x=54y=34，
∴Q(54，34)，
∵D(0，-3)，
∴DQ=(54-0)2+[34-(-3)]2=2516+22516=5104.
【分析】（1）将点B、C的坐标代入y=-x2+bx+c，可得关于b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而即可得出抛物线的解析式，进而将解析式配成成顶点式，即可得出其顶点坐标；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式， 根据函数图象上点的坐标特点，设P(t，-t+3)，则M(t，-t2+2t+3)，N(2-t，-t2+2t+3)， 根据两点间的距离公式表示出PM、MN、进而根据 PM=12MN 列出方程组，求解可得t的值，据此即可求出点P的坐标；
（3）根据关于x轴对称的点的坐标特点求出点D的坐标，令抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可得点A的坐标，Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，根据平行线分线段成比例定理建立方程，求解可得AG的长，从而得出点G的坐标；作A点关于GQ的对称点A'，连接AD与AP交于点Q，则3AP+4DQ=4(DQ+34AP)=4(DQ+AQ)⩾4A'D，利用对称性及∠OBC=45°，可求出点A'的坐标，利用待定系数法求出直线DA'的解析式，将直线DA'与直线QG的解析式联立，求解得出点Q的坐标，最后根据平面内两点间的距离公式求出DQ的长.
21．（2022九上·奉贤期中）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像经过点A、B(-1，0)，反比例函数y=6x的图像也经过点A，且点A横坐标是2．
（1）求一次函数的解析式．
（2）点C是x轴正半轴上的一点，连接AC，tan∠ACB=34，过点C作CE⊥x轴分别交反比例函数y=6x和一次函数y=kx+b(k≠0)的图像于点D、E，求点D、E的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接AD，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像上是否存在一点F使得△EAD和△ECF相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵反比例函数y=6x的图像经过点A，且点A横坐标是2，
∴yA=62=3，即A(2，3)．
∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图像经过点A、B(-1，0)，
∴3=2k+b0=-k+b，
解得：k=1b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
（2）解：如图，过点A作AH⊥x轴于点H．
∴tan∠ACB=AHCH=34．
∵A(2，3)，
∴AH=3，OH=2
∴CH=4，
∴OC=OH+CH=6，
∴C(6，0)．
∵xC=xD=xE=6．
∴yD=6xD=1，yE=xE+1=7，
∴D(6，1)，E(6，7)；
（3）存在，(43，73)或(34，74)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）∵点F在一次函数y=x+1的图像上，
∴可设F(t，t+1)．
∵A(2，3)，D(6，1)，E(6，7)，C(6，0)，
∴AE=(xA-xE)2+(yA-yE)2=(2-6)2+(3-7)2=42，EF=(xE-xF)2+(yE-yF)2=(6-t)2+(7-t-1)2=2×|6-t|，DE=yE-yD=7-1=6，CE=yE-yC=7-0=7．
∵△EAD和△ECF中，∠AED和∠FEC必相等，
∴可分类讨论：①当∠EAD=∠EFC时，即此时△EAD∽△EFC，如图，
∴EAEF=EDEC，即422×|6-t|=67．
∵此时t<6，
∴422×(6-t)=67，
解得：t=43，
∴F(43，73)；
②当∠EAD=∠ECF时，即此时△EAD∽△ECF，如图，
∴EAEC=EDEF，即427=62×|6-t|．
∵此时t<6，
∴427=62×(6-t)，
解得：t=34，
∴F(34，74)．
综上可知，存在一点F使得△EAD和△ECF相似，点F坐标为(43，73)或(34，74)．
【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）过点A作AH⊥x轴于点H，先求出点C的坐标，再结合xC=xD=xE=6，可得 yD=6xD=1，yE=xE+1=7， 从而可得D(6，1)，E(6，7)；
（3）分两种情况：①当∠EAD=∠EFC时，即此时△EAD∽△EFC，②当∠EAD=∠ECF时，即此时△EAD∽△ECF，再分别画出图象并利用相似三角形的性质求解即可。
华师大版备考2023中考数学二轮复习 专题16 函数的综合运用
一、单选题
1．（2022八上·怀宁期中）如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式(k-1)x-b+4<0的解集是（ ）
A．x>-2 B．x>0 C．x>1 D．x<1
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解： 由图象可知当 x>1 时， kx+4
即 (k-1)x-b+4<0 ，
∴关于x的不等式 (k-1)x-b+4<0 的解集是 x>1 ．
故答案为：C．
【分析】将不等式(k-1)x-b+4<0变形为kx+4
A．-4
【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知：
不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为： -4
【分析】利用一次函数和二次函数的图象与性质求解集即可。
3．二次函数y=x2-2x-3．若y>-3，则自变量x的取值范围是（ ）
A．x<0或x>2 B．x<1或x>3 C．0
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：当y=-3时，x2-2x-3=-3
∴x2-2x=0，
解之：x1=2，x2=0，
∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当y＞-3时，x的取值范围为x＜0或x＞2.
故答案为：A
【分析】将y=-3代入函数解析式，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用函数解析式可得到抛物线的开口向上，可得到y＞-3时，可得到x的取值范围.
4．（2022九上·青田期中）如图，二次函数y1=-x2+bx+c与一次函数y2=kx+2的图象交于点A(-1，3)和点B(4，m)，要使y1
A．-1
C．x<4 D．x<-1或x>4
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵y1
根据图象可知当x<-1或x>4时，直线在抛物线的上方，
∴x<-1或x>4，
故答案为：D.
【分析】根据图象可知当x<-1或x>4时，直线在抛物线的上方，据此即得结论.
5．（2022九上·霍邱月考）如图，等腰△ABC的顶点A在原点固定，且始终有AC=BC，当顶点C在函数y=kx (x>0)的图象上从上到下运动时，顶点B在x轴的正半轴上移动，则△ABC的面积大小变化情况是( )
A．一直不变 B．先增大后减小
C．先减小后增大 D．先增大后不变
【答案】A
【知识点】反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵等腰三角形ABC的顶点A在原点， 顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=kx (x>0)的图象上从上到下运动，AC=BC，
设点C的坐标为（a，ka），
∴S△ABC=12×2a×ka=k，
∴△ABC的面积大小不变，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出S△ABC=12×2a×ka=k，再计算求解即可。
6．（2022八上·太原期中）课堂上，同学们研究正比例函数y=-x的图象时，得到如下四个结论，其中错误的是（ ）
A．当x=0时，y=0，所以函数y=-x的图象经过原点
B．点P(t，-t)一定在函数y=-x的图象上
C．当x>0时，y<0，当x<0时，y>0，所以函数y=-x的图象经过二、四象限
D．将函数y=-x的图象向左平移2个单位，即可得到函数y=-x+2的图象
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与几何变换；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A．当x=0时，y=0，所以函数y=-x的图象经过(0，0)，即经过原点，A不符合题意；
B．当x=t时，y=-t，则P(t，-t)一定在函数y=-x的图象上，B不符合题意；
C．当x>0时，y=-x<0；当x<0时，y=-x>0，则函数y=-x的图象经过二、四象限，C不符合题意；
D．将函数y=-x的图象向左平移2个单位，即可得到函数y=-(x+2)=-x-2的图象，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据正比例函数的图象和性质及图象上点的坐标特征进行分析即可。
7．（2022九上·津南期中）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（ ）
A．-1
C．x<-1且x>5 D．x＜－1或x＞5
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集：
由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）．
由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5．
故答案为：D．
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，再结合函数图象直接求解即可。
8．（2022九上·金华月考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=-x+4 与坐标轴交于 A，B 两点，OC⊥AB 于点 C，P 是线段 OC 上的一个动点，连接 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 45°，得到线段 AP＇，连接 CP＇，则线段 CP＇的最小值为（ ）
A．22 B．22-2 C．2 D．2-1
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；一次函数-动态几何问题；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵直线 y=-x+4与坐标轴交于 A，B 两点，
∴A（0，4），B（4，0），
∴OA=OB=4，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∵OC⊥AB，
∴C为AB的中点，
∴C（2，2），
又∵点P是线段OC上动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45°得到线段AP'
∴P'的运动轨迹也是线段，
当P在O点时和P在C点时，则P'的起点与终点分别为N和M，
∴P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，如下图所示：
∴当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小，
在△AOB中，AO＝OB＝4，
∴AN=4，AB＝42 ，
∴NB＝42-4，
又∵Rt△NHB是等腰直角三角形，
∴NB=2HB，
∴HB＝4−22 ，
∴CP'＝OB−HB−2＝4−（4−22）−2＝22−2．
故答案为：B.
【分析】由直线 y=-x+4与坐标轴交于 A，B 两点可得出点A、B坐标，易得△OAB是等腰直角三角形，
利用中点坐标公式求得点C坐标；由题意可得P'的运动轨迹也是线段，当P在O点时和P在C点时，则可确定P'的起点与终点分别为N和M，从而得出点P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小；再利用等腰直角三角形性质分别求出NB、HB的长，最后通过点C的坐标及线段和差关系，即可求得CP'的最小值.
9．（2022九上·萧山月考）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．-2
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，
即x2﹣4x+3=0，
解得x=1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y=x+m1与C2相切时，
令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1=0，
△=﹣8m1﹣15=0，
解得m1=-158，
当y=x+m2过点B时，
即0=3+m2，
m2=﹣3，
当-3
考点：二次函数的图象．
【分析】先求出A、B的坐标，然后根据平移求出C2的解析式，分别求出直线 y=x+m与抛物线C2的相切时m的值以及直线y=x+m过点B时的m值，结合图象即可求解.
10．（2022九上·舟山月考）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（-1，0），（3，0），直线y=kx+m经过点（-1，0），直线y=kx+m与抛物线y=ax2+bx+c另一个交点的横坐标是4，它们的图象如图所示，有以下结论：①抛物线对称轴是x=1；②a-b+c=0；③-1
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（-1，0），（3，0），
∴对称轴为x=-1+32=1，故①正确；
当x=-1时a-b+c=0，故②正确；
当-1＜x＜3时，ax2+bx+c＜0，故③正确；
∵抛物线经过点（-1，0），（3，0），a=12，
设函数解析式为y=12x+1x-3=12x2-x-32，
当x=4时y=12×42-4-32=52，
∴两函数图象的另一个交点坐标为4，52
∴-k+b=04k+b=52
解之：k=12b=12，故④正确；
∴正确结论的序号为①②③④.
故答案为：D
【分析】利用抛物线与x轴的两交点坐标可求出抛物线的对称轴，可对①作出判断；由x=-1可知y=0，可对②作出判断；观察图象，可知当-1＜x＜3时的图象在x轴的下方，可对③作出判断；利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出当x=4时的y的值，可得到两函数图象的另一个交点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式，可得到k的值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号，即可求解.
二、填空题
11．（2022九上·齐齐哈尔月考）如图，正比例函数y=x与反比例函数y=1x的图像相交于A、C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，则四边形ABCD面积为 .
【答案】2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：联立方程组y=xy=1x
得A（1，1），C（-1，-1 ）.
所以SΔADB=12×(1+|-1|)×1=1，SΔBCD=12×(1+|-1|)×|-1|=1，
所以S四边形ABCD=SΔADB+SΔBCD=1+1=2
【分析】联立方程组求出点A、C的坐标，再求出SΔADB=12×(1+|-1|)×1=1，SΔBCD=12×(1+|-1|)×|-1|=1，最后利用割补法求出四边形ABCD面积即可。
12．（2022七上·咸阳月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+1与直线y=-3x+m相交于点P，若点P的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组y=2x+1y=-3x+m的解是 。
【答案】x=1y=3
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可得直线 l1 和直线 l2 交点坐标是 (1，3) ，
∴ 方程组组 y=2x+by=-3x+6 的解为 x=1y=3
故答案为：x=1y=3.
【分析】利用两函数图象的交点坐标就是关于x，y的一元二次方程组的解，据此可得答案.
13．（2022九上·舟山月考）如图，已知点A1，A2，…，A2020在函数y=x2位于第二象限的图象上，点B1，B2，…，B2020在函数y=x2位于第一象限的图象上，点C1，C2，…，C2020在y轴的正半轴上，若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2，…，C2021A2022C2022B2022都是正方形，则正方形C2021A2022C2022B2022的对角线长为 ．
【答案】20222
【知识点】勾股定理；正方形的性质；探索数与式的规律；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解： ∵OA1C1B1是正方形，
∴OB1与y轴的夹角为45°，
∴OB1的解析式为y=x，
联立y=xy=x2，解得x=0y=0或x=1y=1，
∴点B1（1，1），
∴OB1=2，
∵OA1C1B1是正方形，
∴OC1=2OB1=2，
∵C1A2C2B2是正方形，
∴C1B2的解析式为y=x+2，
联立y=x+2y=x2， 解得x=-1y=1或x=2y=4，
∴点B2（2，4），
∴ C1B2=22+4-22=22，
∵C1A2C2B2是正方形，
∴C1C2=2C1B2=4，
∴C2B3的解析式为y=x+(4+2)=x+6，
联立y=x+6y=x2， 解得x=-2y=4或x=3y=9，
∴∴点B3（3，9），
∴C2B3=32+9-62=32，
依此类推，正方形C2021A2022C2022B2022的对角线长为20222.
故答案为：20222.
【分析】 根据正方形对角线平分一组对角可得OB1与y轴的夹角为45°，得出OB1的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B1的坐标，然后求出OB1的长，再根据正方形的性质求出OC1的长，同理求出C1B2、C2B3的长，再根据边长的变化规律解答即可.
14．（2022九上·温州期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴是直线x=-1，与x轴的一个交点为(-5，0)，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2(x1
【答案】-8
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴是直线x=-1，与x轴的一个交点为(-5，0)，
∴抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴的一个另交点为(3，0)，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-5，x2=3，
∴x1-x2=-5-3=-8.
故答案为：-8.
【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴两交点到对称轴距离相等，据此可得抛物线与x轴的另一个交点坐标，进而根据求方程ax2+bx+c=0的解，就是求抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，可得x1与x2的值，最后再根据有理数的减法法则算出答案即可.
15．（2022九上·温州月考）“水晶晶南浔”的美食文化中以特有的双交面出名，盛面的瓷碗截面图如图1所示，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），点E是抛物线的顶点，碗底高EF＝1cm，碗底宽AB＝23cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD＝83cm，此时面汤最大深度EG＝6cm，将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤如图2，当∠ABK＝30°时停止，此时液面CH宽为 cm；碗内面汤的最大深度是 cm．
【答案】323；433
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象与几何变换；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：以F为原点，直线AB为x轴， 直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
由题意知，
F(0，0)，E(0，1)，C(43，7)，D(-43，7) ，
设抛物线的解析式为： y=ax2+1，
把点C (43，7)代入得，
7=a(43)2+1，
解得：a=18
∴y=18x2+1，
将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，
当∠ABK = 30°时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为30°，即∠DCH= 30°，
设直线CH的解析式为y= kx+b，与y轴交于点G，如图，
由题意知：点C (43， 7)，
∵∠DCH=30°， CK=43，
：KG=43tan30° =4，
∴FG=3，
即点G (0，3)，
∴7=43k+b3=0+b，
解得：k=33b=3，
∴直线CH的解析式为：y=33x+3，
由y=33x+3y=18x2+1，解得x=43y=7或x=-433y=53
∴H（-433，53）
∴CH=43+4332+7-532=325.
把直线CH： y= 33 x+3，向下平移m个单位得到直线l1： y=33x- m， 当直线l1与抛物线只有一个交点时，两平行线之间的距离最大，过G作GJ⊥l1，交l1于点J，与y轴交于点M，GJ的长即为碗内面汤的最大深度，
联立y=18x2+1y=33x-m，
整理为：18x2-33x+1+m=0，
∵只要一个交点，
∴△=0，
即b2-4ac=-332-4×18×1+m=0，
解得m=-13，
∴直线l1的解析式为：y=33x+13，
∴点M （0，13），
GM=3 -13=83，
∵CH与水平面的夹角为30°，
∴直线l1与水平面的夹角为30°，即∠MGJ= 30°，
∴在Rt△GMJ中，
GJ= GMcos30°= 83×32=433，
即碗内面汤的最大深度为：433.
故答案为：323、433.
【分析】以F为原点，直线AB为x轴， 直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，由题意可得点E、F、C、D的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，易得∠DCH=30°，根据三角函数的概念可得FG，表示出点G的坐标，然后求出直线CH的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点H的坐标，利用两点间距离公式可得CH，根据一次函数图象的几何变换可得l1： y=33x- m， 当直线l1与抛物线只有一个交点时，两平行线之间的距离最大，过G作GJ⊥l1，交l1于点J，与y轴交于点M，GJ的长即为碗内面汤的最大深度，联立直线l1与抛物线解析式并结合△=0可得m的值，进而可得直线l1的解析式，然后令x=0，求出y的值，进而可得点M的坐标，求出GM，然后利用三角函数的概念可得GJ，据此解答.
三、解答题
16．（2022九上·蓬安期中）指出抛物线y=3x2-6x-9的开口方向：写出抛物线的顶点坐标、对称轴方程；当x满足什么条件时，y随x的增大而增大大？当x满足什么条件时，y取最小值多少？当x满足什么条件时，y<0？当x满足什么条件时，y>0？
【答案】解：∵抛物线解析式为y=3x2-6x-9=3(x-1)2-12，a=3>0，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(1，-12)，对称轴为直线x=1，
∴当x≥1时，y随x的增大而大；
当x=1，y取最小值-12；
令y=0，则3x2-6x-9=0，解得x=-1或x=3，
∵抛物线开口向上，
∴当-1
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】根据抛物线的解析式可得其图象开口向上，顶点坐标为（1，-12），对称轴为直线x=1，据此可得函数的增减性以及最值，令y=0，求出x的值，进而不难得到y>0、y<0对应的x的范围.
17．（2021九上·兰陵期中）如图，直线y=-12x+2与x轴、y轴分别交于B、A两点，Q是线段AB上的动点（不与A、B重合），将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°得到点Q'，连接OQ'，求OQ'的最小值．
【答案】解：作QM⊥x轴于点M，Q'N⊥x轴于N，
∵∠PMQ=∠PNQ'=∠QPQ'=90°，
∴∠QPM+∠NPQ'=∠PQ'N+∠NPQ'，
∴∠QPM=∠PQ'N，
在△PQM和△Q'PN中，
∠PMQ=∠PNQ'∠QPM=∠PQ'NPQ=PQ'，
∴△PQM≅△Q'PN(AAS)，
∴PN=QM，Q'N=PM，
设Q(m，-12m+2)，
∴PM=|m-1|，QM=|-12m+2|，
∴ON=|3-12m|，
∴Q'(3-12m，1-m)，
∴OQ'2=(3-12m)2+(1-m)2=54m2-5m+10=54(m-2)2+5，
当m=2时，OQ'2有最小值为5，
∴OQ'的最小值为5
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】作QM⊥x轴于点M，Q'N⊥x轴于N，先利用“AAS”证明△PQM≅△Q'PN可得PN=QM，Q'N=PM，设Q(m，-12m+2)，再求出OQ'2=(3-12m)2+(1-m)2=54m2-5m+10=54(m-2)2+5，最后利用二次函数的性质求解即可。
18．（2021八下·乐山期末）已知P（2，n）为反比例函数y= 4x （x>0）图象上的一点．将直线y=-2x沿x轴向右平移过点P时，交x轴于点Q，若点M为y轴上一个动点，求PM+QM的最小值。
【答案】解：如图，
∵P（2，n）为y= 4x 点
∴n= 42 =2即P（2，2）
又将直线y=-2x平移
则平移后的直线为y=-2x+b
∴2=-2×2+b得b=6
即平移后的直线为y=-2x+6
∴Q（3，0）
∴Q（3，0）关于y轴对称点Q'（-3，0）
∴PQ'= 52+22=29
则PM+QM的最小值为 29
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【分析】先将点P的横坐标代入y= 4x （x>0）求出点P的纵坐标，进而得到点P的坐标，再由平移结合点P的坐标得到平移后的一次函数解析式，进而得到点Q的坐标，再由对称结合勾股定理即可求解.
四、综合题
19．（2022八上·黄浦期中）已知：如图，直线y=2x上有一点P(2，a)，直线y=kx(0
（1）求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）．
（2）过点P分别作PA⊥y轴，PB⊥x轴，过点Q分别作QC⊥x轴，如果△OPQ的面积等于△BPQ的面积的两倍，请求出k的值．
（3）在（2）的条件下，在直线OQ上是否存在点D，使S△OCD=12？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点 P(2，a) 在直线 y=2x 上
∴a=2×2=4 ，
∴P(2，4) ，
∵点 Q(b，2) 在直线 y=kx(0
解得 b=2k ，
∴Q(2k，2) ，
（2）解：∵0
∵P(2，4) ， Q(b，2) ，
∴B(2，0) ， C(b，0) ，
∴PB=4 ， QC=2 ， BC=|b-2|=b-2 ， OC=|b|=b ，
S△OPQ=S△OPB+S梯形PBQC-S△OQC
=12×BO×PB+12(PB+QC)×BC-12×QC×OC
=12×2×4+12(4+2)×|b-2|-12×2×|b|
=4+3(b-2)-b
=2b-2 ，
S△BPQ=S梯形PBQC-S△BQC
=12(4+2)×|b-2|-12×2×|b-2|
=2|b-2|
=2b-4 ，
∵△OPQ 的面积等于 △BPQ 的面积的两倍
∴2b-2 =2×(2b-4) ，
即 2b=6 ，
解得 b=3 ，则 k=2b=23 ，
（3）解：当 k=23 时， b=3 ，则 Q(3，2) ， OQ 的解析式为 y=23x ，
∴C(3，0) ，
∴OC=3 ，
∵S△OCD=12 ，
∴12OC×|yD|=12 ，
∴12×3×|yD|=12 ，
解得 yD=±8 ，
∴当 y=8 时， x=3×82=12 ，
∴D(12，8) ，
当 y=-8 时， x=-12 ，
∴D(-12，-8) ；
综上所述，点 D 的坐标为 D(12，8) 或 D(-12，-8) ．
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与几何变换；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用待定系数法得出点P的坐标，再将其代入得出b的值，即可得出点Q的坐标；
（2）由（1）得出PB=4 ， QC=2 ， BC=|b-2|=b-2 ， OC=|b|=b ，根据△OPQ 的面积等于 △BPQ 的面积的两倍，求出b的值，即可求解；
（3）在（2）的条件下，直线 OQ 的解析式为 y=23x ，得出点C的坐标，由S△OCD=12 ，得出点D的纵坐标，代入即可得出答案。
20．（2022·淮安）如图（1），二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，直线l经过B、C两点.
（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；
（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；
（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP＋4DQ的值最小时，直接写出DQ的长.
【答案】（1）解：将点B(3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c
∴-9+3b+c=0c=3
解得b=2c=3
∴y=-x2+2x+3
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴顶点坐标(1，4)；
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴3k+b=0b=3
解得k=-1b=3
∴y=-x+3，
设P(t，-t+3)，则M(t，-t2+2t+3)，N(2-t，-t2+2t+3)，
∴PM=|t2-3t|，MN=|2-2t|，
∵PM=12MN，
∴|t2-3t|=12|2-2t|，
∴t2-3t=12(2-2t)或t2-3t=-12(2-2t)，
当t2-3t=12(2-2t)时， 整理得t2-2t-1=0，
解得t1=1+2，t2=1-2，
当t2-3t=-12(2-2t)时，整理得t2-4t+1=0，
解得t3=2+3，t4=2-3，
∴P点横坐标为1+2或1-2或2+3或2-3；
（3）解：DQ=5104
【知识点】平行线分线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】（3）解：∵C(0，3)，D点与C点关于x轴对称，
∴D(0，-3)，
令y=0，则-x2+2x+3=0，
解得x=-1或x=3，
∴A(-1，0)，
∴AB=4，
∵AQ=3PQ，
∴Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，
∴QG∥BC，
∴AQAP=AGBA，
∴34=AG4，
∴AG=3，
∴G(2，0)，
∵OB=OC，
∴∠OBC=45°，
作A点关于GQ的对称点A'，连接AD与AP交于点Q，
∵AQ=A'Q，
∴AQ+DQ=A'Q+DQ⩾A'D，
∴3AP+4DQ=4(DQ+34AP)=4(DQ+AQ)⩾4A'D，
∵∠QGA=∠CBO=45°，AA'⊥QG，
∴∠A'AG=45°，
∵AG=A'G，
∴∠AA'G=45°，
∴∠AGA'=90°，
∴A'(2，3)，
设直线DA'的解析式为y=kx+b，
∴b=-32k+b=3，
解得k=3b=-3，
∴y=3x-3，
同理可求直线QG的解析式为y=-x+2，
联立方程组y=-x+2y=3x-3，
解得x=54y=34，
∴Q(54，34)，
∵D(0，-3)，
∴DQ=(54-0)2+[34-(-3)]2=2516+22516=5104.
【分析】（1）将点B、C的坐标代入y=-x2+bx+c，可得关于b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而即可得出抛物线的解析式，进而将解析式配成成顶点式，即可得出其顶点坐标；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式， 根据函数图象上点的坐标特点，设P(t，-t+3)，则M(t，-t2+2t+3)，N(2-t，-t2+2t+3)， 根据两点间的距离公式表示出PM、MN、进而根据 PM=12MN 列出方程组，求解可得t的值，据此即可求出点P的坐标；
（3）根据关于x轴对称的点的坐标特点求出点D的坐标，令抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可得点A的坐标，Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，根据平行线分线段成比例定理建立方程，求解可得AG的长，从而得出点G的坐标；作A点关于GQ的对称点A'，连接AD与AP交于点Q，则3AP+4DQ=4(DQ+34AP)=4(DQ+AQ)⩾4A'D，利用对称性及∠OBC=45°，可求出点A'的坐标，利用待定系数法求出直线DA'的解析式，将直线DA'与直线QG的解析式联立，求解得出点Q的坐标，最后根据平面内两点间的距离公式求出DQ的长.
21．（2022九上·奉贤期中）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像经过点A、B(-1，0)，反比例函数y=6x的图像也经过点A，且点A横坐标是2．
（1）求一次函数的解析式．
（2）点C是x轴正半轴上的一点，连接AC，tan∠ACB=34，过点C作CE⊥x轴分别交反比例函数y=6x和一次函数y=kx+b(k≠0)的图像于点D、E，求点D、E的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接AD，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像上是否存在一点F使得△EAD和△ECF相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵反比例函数y=6x的图像经过点A，且点A横坐标是2，
∴yA=62=3，即A(2，3)．
∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图像经过点A、B(-1，0)，
∴3=2k+b0=-k+b，
解得：k=1b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
（2）解：如图，过点A作AH⊥x轴于点H．
∴tan∠ACB=AHCH=34．
∵A(2，3)，
∴AH=3，OH=2
∴CH=4，
∴OC=OH+CH=6，
∴C(6，0)．
∵xC=xD=xE=6．
∴yD=6xD=1，yE=xE+1=7，
∴D(6，1)，E(6，7)；
（3）存在，(43，73)或(34，74)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）∵点F在一次函数y=x+1的图像上，
∴可设F(t，t+1)．
∵A(2，3)，D(6，1)，E(6，7)，C(6，0)，
∴AE=(xA-xE)2+(yA-yE)2=(2-6)2+(3-7)2=42，EF=(xE-xF)2+(yE-yF)2=(6-t)2+(7-t-1)2=2×|6-t|，DE=yE-yD=7-1=6，CE=yE-yC=7-0=7．
∵△EAD和△ECF中，∠AED和∠FEC必相等，
∴可分类讨论：①当∠EAD=∠EFC时，即此时△EAD∽△EFC，如图，
∴EAEF=EDEC，即422×|6-t|=67．
∵此时t<6，
∴422×(6-t)=67，
解得：t=43，
∴F(43，73)；
②当∠EAD=∠ECF时，即此时△EAD∽△ECF，如图，
∴EAEC=EDEF，即427=62×|6-t|．
∵此时t<6，
∴427=62×(6-t)，
解得：t=34，
∴F(34，74)．
综上可知，存在一点F使得△EAD和△ECF相似，点F坐标为(43，73)或(34，74)．
【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）过点A作AH⊥x轴于点H，先求出点C的坐标，再结合xC=xD=xE=6，可得 yD=6xD=1，yE=xE+1=7， 从而可得D(6，1)，E(6，7)；
（3）分两种情况：①当∠EAD=∠EFC时，即此时△EAD∽△EFC，②当∠EAD=∠ECF时，即此时△EAD∽△ECF，再分别画出图象并利用相似三角形的性质求解即可。
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