专题8 一元二次方程——【备考2023】中考数学二轮专题过关练学案（教师版+学生版）

华师大版备考2023中考数学二轮复习 专题8 一元二次方程

一、单选题

1．（2022九上·南海月考）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）

A． B． C． D．

2．（2022九上·武清期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（        ）

A． B． C． D．

3．（2022·泸县模拟）方程的根为（　　）

A．2 B．根号2 C．2 D．根号2

4．（2022九上·襄汾月考）已知某企业2月份的产值为250万元，经过技术革新，月产值不断增加，4月份产值达到360万元，若设该企业产值的月平均增长率为x，则可列方程为（　　）

A． B．

C． D．

5．（2022九上·潞城月考）一元二次方程根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

6．（2022九上·南岗月考）某商品经过两次连续涨价，由原来的每件10元上涨为现在的14.4元，设平均每次涨价的百分比为x，则可列方程（　　）

A． B．

C． D．

7．已知关于的一元二次方程有两个实数根，为自然数，且该方程的根也都是自然数，则符合条件的所有自然数的和为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

8．（2022九上·西安月考）已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（　　）． 

A．1可能是方程的根 B．可能是方程的根

C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根

二、填空题

9．（2022九上·襄汾月考）是关于x的一元二次方程的解，则m=　     　．

10．（2022九上·潞城月考）某小区原有一块长为50米，宽为40米的矩形健身场地，现计划在场内沿四周铺一圈宽度相等的小路，使场地剩余的面积为1824平方米，设这条小路的宽度为x米，则可列方程：　                    　．

11．（2022九上·高陵期中）若关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值为　     　．

12．（2022九上·南开期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　            　．

13．等腰三角形的一边长为2，另外两边长是方程的两个根，则此三角形的周长为　     　．

14．（2022九上·晋江月考）如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有　     　．（填序号）

①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；

②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；

③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；

④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．

三、计算题

15．（2022·泸县模拟）解方程：

四、解答题

16．（2022九上·威远期中）某商店代销一种商品，当每件商品的售价为200元时，月销售量为20件，该商店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每件商品每降价10元时，月销售量就会增加5件.综合考虑各种因素，每售出一件商品共需支付厂家及其他费用80元，为了尽快减少库存，月销售量应不低于40件，求每件商品的售价定为多少元时，该商店每月可获得3000元的利润.

17．（2022九上·和平期中）如图，某小区规划在一个长30 m，宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少m？

18．（2022九上·乐山期中）材料：为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为，

解得，．

当时，无意义，舍去；当时，，解得．

∴原方程的解为，．

问题：利用上述材料的解题方法，解方程．

五、综合题

19．（2022八上·奉贤期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如x2=4和（x-2）（x+3）=0有且只有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同伴方程”.

（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有　         　：（只填写序号即可）

①②x2+4x+4=0       ③

（2）关于x的一元二次方程x2-2x=0与x2+x+m-1=0为“同伴方程”，求m的值；

（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，且与

（x-n）（x+3）=0互为“同伴方程”，求n的值.

20．（2022九上·南海月考）某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元，其销售量就减少10件，

（1）应将每件售价提高多少元时，才能使每天利润为640元？

（2）店主想要获得每天800元的利润，小红同学认为不可能．你同意小红同学的说法吗？请用所学知识说明理由．

21．（2022九上·津南期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．

（1）用含x的式子表示：

　     　，

　          　，

　     　，

（2）当的面积为时，求运动时间；

（3）四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C、是一元二次方程，故本选项符合题意；

D、当时，是一元二次方程，故本选项不符合题意；

故答案为：C

【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。

2．【答案】B

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【解答】解：A．分母含有未知数，不是整式方程，不符合题意；

B．是一元二次方程，符合题意；

C．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；

D．未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意；

故答案为：B

【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。

3．【答案】C

【知识点】直接开平方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：x2-4=0
x2=4，
解之：x=±2.
故答案为：C
【分析】此方程缺一次项，因此利用直接开平方法求出方程的解.

4．【答案】D

【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题

【解析】【解答】解：∵2月份的产值为万元，该企业产值的月平均增长率为x，

∴3月份的产值为万元，

∴4月份的产值为万元，

又∵4月份产值达到万元，

∴可得：．

故答案为：D

【分析】设该企业产值的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可。

5．【答案】C

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】解：∵，，，

∴，

∴

∴该方程有两个不相等的实数根，

故答案为：C

【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。

6．【答案】D

【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题

【解析】【解答】解：设平均每次涨价的百分比为x，

则可列方程，

故答案为：D．

【分析】设平均每次涨价的百分比为x，根据题意直接列出方程即可。

7．【答案】C

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】解：，，，关于的一元二次方程有两个实数根，

，

．

为自然数，且该方程的根也都是自然数，

或3．

符合条件的所有自然数的和为．

故答案为：C．

【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式组求出，再求解即可。

8．【答案】D

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】解：∵方程 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，

∴ 且 ，

∴ ，

当 ，即 时，

∴ 是 的根，故A选项正确，不符合题意；

当 ，即 时，

∴ 是 的根，故B选项正确，不符合题意；

∵ ，

∴ ，

∴ 和 不能同时是方程 的根，故D选项错误，符合题意；

当 时， ，

∴ ，

∴当 ， 时， 是方程 的根，故C选项正确，不符合题意；

故答案为：D.

【分析】根据方程有两个相等的实数根可得△=(2q)2-4(p+1)2=0且p+1≠0，化简可得q=±(p+1)，当q=p+1时，有1+p-q=0，此时x=-1，据此判断A；当q=-(p+1)时，有1+p+q=0，此时x=1，据此判断B；根据p+1≠0可得p+1≠-(p+1)，据此判断D；当x=0时，p=0，q=±1，据此判断C.

9．【答案】2

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵是方程的解，

∴ ，

解得，

故答案为2．

【分析】将代入方程，再求出m的值即可。

10．【答案】

【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题

【解析】【解答】解：设这条小路的宽度为x米，

小路围起来的矩形长为米，宽为米，

依题意得：，

故答案为：．

【分析】设这条小路的宽度为x米，根据“场地剩余的面积为1824平方米”列出方程即可。

11．【答案】3

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有一个根是1，
∴1-m+2=0
解之：m=3.
故答案为：3
【分析】将x=1代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.

12．【答案】且k≠0

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴且，即，

解得且．

故答案为：且k≠0．

【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式组求解即可。

13．【答案】10

【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：根据题意当等腰三角形的腰为2时，

方程有一根等于2，

则，

解得：，

即原方程为，

解得，，

∵不能构成三角形不符合题意；

当等腰三角形的底为2时，

方程的两个根相等，

∴，

解得：，

当时，原方程为，

解得，

则等腰三角形的周长为，

当时，原方程为，

解得，不符合题意；

综上所述：等腰三角形的周长为，

故答案为：10．

【分析】①当等腰三角形的腰为2时，可知方程有一根等于2；②当等腰三角形的底为2时，可知方程的两个根相等，可得△=0，据此分别解答即可.

14．【答案】①④

【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，

∴x（x﹣4）＝0，

∴x1＝0，x2＝4，

则|x1﹣2|＝|x2﹣2|，

故①正确；

②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，

则x1＝﹣1，x2 ，

∵5m＝﹣n，

∴x2＝5，

∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，（x＋1）（mx＋n）＝0是关于2的等距方程；

当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，

故②错误；

③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2＝，

∵方程是2的等距方程，

∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，

则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，

∴x1＝x2或x1+x2＝4，

当x1＝x2时，x1＝x2＝，不能判断a与b之间的关系，

当x1+x2＝4时，即＝4，

∴b＝﹣4a，

故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；

④对于方程px2﹣x+＝0有两根满足x1＝3x2，

由韦达定理得：x1x2＝，x1+x2＝，

∴x1x2＝×＝（x1+x2），

∴3x22＝（3x2+x2）＝3x2，

∴x2＝1或x2＝0（舍去），

∴x1＝3x2＝3，

∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，

即px2﹣x+＝0是关于2的等距方程，故④正确，

故正确的有①④，

故答案为：①④．

【分析】①②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；
③根据方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，且b=-4a（a≠0）得到x1=x2或x1+x2=4，当x1=x2时，x1=x2=，不能判断a与b之间的关系；当x1+x2＝4时，即＝4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；
④根据韦达定理（，）和x1=3x2，得出3x22＝（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用 关于2的等距方程的定义进行判断.

15．【答案】解： ，  ，

， ．

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】先将方程转化为一般形式，可知方程的左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解.

16．【答案】解：设售价定为x元时，该商店可获得月利润3000元，由题意得

，

解得 ，

当x=180时，销售量为 件，

∵每天的销售量应不低于40件，

∴x=180不合题意，舍去，

∴x=140，

答：售价定140元时，该商店可获得月利润3000元．

【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题

【解析】【分析】设售价定为x元时，利用总利润3000=每一件的利润×销售量，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，再根据为了尽快减少库存，月销售量应不低于40件，可得到符合题意的x的值，即可求解.

17．【答案】解：设道路的宽为xm，由题意得：

（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，

整理得：（x﹣2）（x﹣33）=0，

解得x=2或x=33舍去），

答：通道应设计成2米．

【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题

【解析】【分析】设道路的宽为xm，根据题意列出方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，再求解即可。

18．【答案】解：设，

∴=，

解得：y=6或-2，

∴当时，，解得：，，

当时，，即 ，

∵ ，

∴无实数解，

∴的解为，．

【知识点】换元法解一元二次方程

【解析】【分析】利用换元法解原方程，即设，则原方程变形为，解得y=6或-2，从而得或，分别求解对应的x值，即可求得原方程的解.

19．【答案】（1）解：①②

（2）解：一元二次方程 x2-2x=0的解为，
当相同的根是x=0时，m-1=0，解得：m=1，
当相同的根是x=2时，4+2+m-1=0，解得：m=-5，
综上所述： m=1或-5.

（3）解：∵关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，
∴关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根是，
∴（x-n）（x+3）=0 的两个根是，
∵ 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，且与（x-n）（x+3）=0互为“同伴方程”，
∴n=-1或3.

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解析】解：（1）①，
解得：，
②，
解得：，
③，
，
解得：，
∴属于“同伴方程”的有①②.
故答案为：①②.
【分析】（1）利用“同伴方程”的定义一一判断即可；
（2）先求出，再分类讨论求解即可；
（3）先求出（x-n）（x+3）=0 的两个根是，再求解即可。

20．【答案】（1）解：设将每件商品售价提高x元，

则每天可售出该商品的数量为：件，

根据题意得：，

整理得：，

解得：，，

答：每件售价提高2元或6元时，才能使每天利润为元；

（2）解：同意小红同学的说法，理由如下：

设将每件商品售价提高a元，则每天可售出该商品件，

根据题意得：，

整理得：．

，

该方程无解，

小红同学的说法符合题意．

【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题

【解析】【分析】（1）设将每件商品售价提高x元，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设将每件商品售价提高a元，则每天可售出该商品件，根据题意列出方程，再求解即可。

21．【答案】（1）2x；（12-2x）；4x

（2）解：，

，

∴，

解得：或4，

当的面积为时，或4；

（3）解：四边形的面积不能等于172，理由如下：

，

∴，

解得或，

，

四边形的面积不可能等于

【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题

【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，，

∵

，

故答案为：2x；（12-2x）；4x；

【分析】（1）根据题意直接求出代数式即可；
（2）利用三角形的面积公式可得，再将S=32代入，求出x的值即可；
（3）根据题意列出方程，再求出x的值，即可得到x的取值范围。