专题7 不等式与不等式组——【备考2023】中考数学二轮专题过关练学案（教师版+学生版）

华师大版备考2023中考数学二轮复习 专题7 不等式与不等式组

一、单选题

1．（2022八上·海曙期中）设，则下面不等式正确的是（　　） 

A． B．

C． D．

【答案】C

【知识点】不等式的性质

【解析】【解答】解： A、 当 ， 时，符合 ，但是此时 ，故本选项不符合题意；

B、 ，

，

，故本选项不符合题意；

C、 ，

，

，故本选项符合题意；

D、 ，

，

，本选项不符合题意.

故答案为：C.

【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一一判断得出答案.

2．（2022八上·温州期中）如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（　　） 

A． B． C． D．

【答案】A

【知识点】在数轴上表示不等式的解集

【解析】【解答】解：由题意，得： ，

故答案为：A.

【分析】据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”即可判断得出答案.

3．（2022八上·瑞安月考）已知实数p和q，若满足p<q，则有(　　) 

A．p+1>q+1 B．-p<-q C．3p>3q D．<

【答案】D

【知识点】不等式的性质

【解析】【解答】解：A、∵p＜q，
∴p+1＜q+1，故A不符合题意；
B、∵p＜q，
∴-p＞-q，故B不符合题意；
C、∵p＜q，
∴3p＜3q，故C不符合题意；
D、∵p＜q，
∴，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用不等式的性质1，可对A作出判断；利用不等式的性质3，可对B作出判断；利用不等式的性质2，可对C，D作出判断.

4．（2022八上·慈溪期中）下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解（　　）

A．2 B． C．-  D．﹣3

【答案】D

【知识点】解一元一次不等式

【解析】【解答】解：解不等式2（x﹣1）+3＜0，得x＜﹣ ，

 因为只有﹣3＜﹣ ，

 所以只有﹣3是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解，

 故答案为：D.

【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤可得不等式的解集，据此判断.

5．（2022八上·威远期中）下列命题真命题的个数有（　　）

①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；③若，则；④同位角相等；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

【答案】C

【知识点】垂线段最短；点到直线的距离；平行公理及推论；平行线的性质；真命题与假命题；不等式的性质

【解析】【解答】解：①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题；
②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，是真命题；
③若a＞b，则-a＜-b，c-a＜c-b，是假命题；
④同位角相等，错误；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离，是假命题；
真命题只有一个.
故答案为：C

【分析】经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可对①作出判断；利用垂线段最短，可对②作出判断；利用不等式的性质1和3，可对③作出判断；利用平行线的性质，可对④作出判断；利用点到直线的距离定义，可对⑤作出判断；由此可得到是真命题的个数.

6．（2022七上·浦东新期中）若不等式组的解集为，则的值是（　　） 

A．-3 B．-2 C．-1 D．0

【答案】C

【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组

【解析】【解答】解：

解不等式①得： ，

解不等式②得： ，

∵不等式组的解集为： ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为：C．

【分析】先解不等式组，再结合不等式组的解集为，可得，求出a、b的值，最后将a、b的值代入计算即可。

7．（2022八上·义乌期中）若，则下列各式中一定成立的是(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【知识点】不等式的性质

【解析】【解答】解：∵a＜b，
∴-a＞-b，a-3＜b-3，＜，
∴B选项、C选项错误，D选项正确，
∵c2≥0，
∴当c=0时，ac2=bc2=0，
∴A选项错误.
故答案为：D.

【分析】根据不等式的基本性质，因为a＜b，所以-a＞-b，a-3＜b-3，＜，可判断B选项、C选项、D选项；当c=0时，ac2=bc2=0，可判断A选项，据此逐项判断即可.

8．（2022七下·井研期末）已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（　　）

A．﹣2＜a＜﹣1 B．﹣2＜a≤﹣1 C．﹣2≤a＜﹣1 D．﹣2≤a≤1

【答案】C

【知识点】一元一次不等式组的特殊解

【解析】【解答】解：∵的整数解共有3个，
∴不等式组有解，即a＜x＜1.5，
∴不等式组的整数解是1，0，-1，
∴-2≤a＜-1.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的整数解共有3个可知不等式组有解，解得a＜x＜1.5，从而得不等式组的整数解解是1，0，-1，因此-2≤a＜-1，即可得出正确答案.

9．（2022·西湖模拟）已知 ， 均为关于x的函数，当 时，函数值分别为 ， ，若对于实数a，当 时，都有 ，则称 ， 为亲函数，则以下函数 和 是亲函数的是（　　） 

A． ，  B． ，

C． ，  D． ，

【答案】D

【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；不等式的性质

【解析】【解答】解：A、∵y1＝x2+1，y2＝-，
∴y1-y2＝x2+1+，
∵0＜x＜1时，x2+1＞1且＞1，
∴y1-y2＞2，
∴A选项不符合题意；
B、∵y1＝x2+1，y2＝2x-1，
∴y1-y2＝x2+1-2x+1=（x-1）2+1，
∵0＜x＜1时，（x-1）2+1＞1，
∴y1-y2＞1，
∴B选项不符合题意；
C、∵y1＝x2-1，y2＝-，
∴y1-y2＝x2-1+=x2+-1，
∵0＜x＜时，x2＞0且-1＞2，
∴y1-y2＞2，
∴C选项不符合题意；
D、∵y1＝x2-1，y2＝2x-1，
∴y1-y2＝x2-1-2x+1=（x-2）2-1
∵0＜x＜1时，-1＜（x-2）2-1＜0，
∴D选项符合题意.
故答案为：D.

【分析】先分别表示每个选项两个函数的差的关系式，再利用不等式性质求得差值的范围，最后根据“亲函数”定义判断即可得出正确答案.

二、填空题

10．（2022八上·海曙期中）关于的一元一次不等式的解集为，则的值为　     　.

【答案】8

【知识点】解一元一次不等式

【解析】【解答】解： 关于 的一元一次不等式 ，即 的解集为 ，

，

解得： .

故答案为：8.

【分析】将字母a作为常数根据解不等式的步骤解关于x的不等式，进而结合题干所给不等式的解集，可得关于字母a的方程，求解即可.

11．（2022九上·南岗月考）不等式组的解集是　     　．

【答案】

【知识点】解一元一次不等式组

【解析】【解答】解：

解①得：，

解②得：，

∴不等式组的解集为．

【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。   

12．（2022七上·温州期中）小于的正整数有　     　个.

【答案】3

【知识点】估算无理数的大小；不等式的性质

【解析】【解答】解：，

，

，即，

∴小于的正整数有3个，

故答案为：3.

【分析】由于4＜5＜9，根据被开方数越大，其算术平方根就越大可得，进而根据不等式的性质，在不等式的两边同时加上1，不等号的方向不改变可得，据此就不难找出小于的正整数了.

13．（2022八上·杭州期中）“x的2倍减7的差不大于-1”可列关系式为　         　.

【答案】

【知识点】列一元一次不等式

【解析】【解答】解：“x的2倍减7的差不大于-1”可列关系式为.

故答案为：.

【分析】x的2倍可表示为2x，x的2倍减7可表示为2x-7，不大于可表示为≤，据此不难列出不等式.

14．（2022七上·海曙期中）已知的整数部分是的小数部分是n，则　     　.

【答案】

【知识点】估算无理数的大小；实数的运算；不等式的性质

【解析】【解答】解：∵，

∴的整数部分是，，

∵的整数部分是的小数部分是n，

∴，，

∴，

故答案为：.

【分析】利用估算无理数大小的方法可得，进而根据不等式的性质得，据此即可得出m、n的值，再求和即可.

15．（2022七下·通州期末）若x=3，y=b；x=a，y=都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，且3a-2b=2c2+2c-10，则关于x的不等式c2x-3a＞10x+2b的解集是　     　．

【答案】x＜-5

【知识点】二元一次方程的解；解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组

【解析】【解答】解：∵x=3，y=b；x=a，y=都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，

∴

①+②得：

3a-2b=2c2+2c-10，

②-①得：

即

c2x-3a＞10x+2b

即

解得

故答案为：.
【分析】把x=3，y=b；x=a，y=分别代入3x-2y=c可得与，结合3a-2b=2c2+2c-10， 求得c2=6， 3a+2b=20，将其代入不等式，再解关于x的不等式，即可求解.

三、计算题

16．（2022八上·杭州期中）解下列不等式

（1）；

（2）．

【答案】（1）  解： ，

，

；

（2）  解： ，

，

，

，

．

【知识点】解一元一次不等式

【解析】【分析】（1）根据解不等式的步骤，先移项，将未知数的项移到不等式左边，常数项移到不等式右边，再合并同类项即可得出不等式的解集；
（2）先去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可.

17．（2022七上·奉贤期中）解不等式组：

【答案】解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴原不等式组的解集为：．

【知识点】解一元一次不等式组

【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。 

四、解答题

18．（2022八上·吴兴期中）若x＜y，且（a-3）x＞（a-3）y，求a的取值范围.

【答案】解：∵x＜y ，（a-3）x＞（a-3）y，
∴a-3＜0
∴a＜3.

【知识点】不等式的性质

【解析】【分析】根据不等式的基本性质，即不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变，由x＜y ，（a-3）x＞（a-3）y，可得a-3＜0，即可求得a的范围.

19．（2022七上·鄞州期中）规定：用符号表示一个不大于实数x的最大整数，例如：，，，．按这个规定，求．

【答案】解：∵，

∴，

∴，

∴

【知识点】估算无理数的大小；定义新运算；不等式的性质

【解析】【分析】根据估算无理数大小的方法可得3<<4，根据不等式的性质求出--1的范围，然后结合定义的新运算进行解答.

20．（2022八上·青田期中）解不等式组 ，并把解集表示在数轴上.

【答案】解：

解不等式①得：

解不等式②得：

∴不等式组的解集为.

在数轴上表示如下：

【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组

【解析】【分析】分别解出不等式组中每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定出不等式组的解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，将解集在数轴上表示出来即可.

五、综合题

21．（2022九上·义乌期中）某商店购进了600个冬奥纪念品，进价每个6元，原计划以每个10元的价格每天销售200个，三天可以售完.实际销售中，销售价格与销售数量都有变化，市场调研显示，该产品每降低1元，可多售出50个，设第二天的销售单价降低x元（0＜x＜4），这批旅游纪念品三天的销售总利润为y元，三天的销售情况如表：请解决以下问题：

（1）用含x的代数式表示第二天的销售数量；

（2）求这批旅游纪念品三天的销售总利润y关于x的函数表达式；

（3）若第三天销售数量不超过前两天销售数量之和的，求这批旅游纪念品三天的销售总利润的最大值是多少？

【答案】（1）解：∵产品每降低1元，可多售出50个，

∴第2天的销售量为200+50x，

故答案为：50x+200；

（2）解：根据题意得：y＝200×（10﹣6）+（10﹣6﹣x）（50x+200）+（4﹣6）[600﹣200﹣（50x+200）]

＝800+（4﹣x）（50x+200）﹣2（200﹣50x）

＝﹣50x2+100x+1200，

∴y关于x的函数表达式为y＝﹣50x2+100x+1200；

（3）解：根据题意得：200﹣50x≤ （200+50x+200），

解得x≥2，

又∵0＜x＜4，

∴2≤x＜4，

由（2）知，y＝﹣50x2+100x+1200＝﹣50（x﹣1）2+1250，

∵﹣50＜0，

∴当x＞1时，y随x的增大而减小，

∴当x＝2时，y最大，最大值为1200，

答：这批旅游纪念品三天的销售总利润的最大值是1200元.

【知识点】一元一次不等式组的应用；二次函数的实际应用-销售问题

【解析】【分析】（1）根据“ 该产品每降低1元，可多售出50个 ”， 设第二天的销售单价降低x元 ，则可多销售50x个，用原来每天的销售数量+因为降价多销售的数量即可得出答案；
（2）根据单个的利润乘以销售数量等于总利润及第一天的销售总利润+第二天的销售总利润+第三天的销售总利润=销售完这批冬奥纪念品的总利润，即可建立出y与x的函数关系式；
（3）根据第三天销售数量不超过前两天销售数量之和的，建立不等式，结合 0＜x＜4求解可得x的取值范围，然后根据二次函数的性质即可解决问题.

22．（2022八上·岳麓开学考）若不等式组只有个正整数解为自然数，则称这个不等式组为阶不等式组． 

我们规定：当时，这个不等式组为阶不等式组．

例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．

不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．

请根据定义完成下列问题：

（1） 是　     　阶不等式；是　     　阶不等式组；

（2）若关于的不等式组是4阶不等式组，求的取值范围；

（3）关于的不等式组的正整数解有，，，，其中

如果是阶不等式组，且关于的方程的解是的正整数解，请求出的值以及的取值范围．

【答案】（1）0；1

（2）解：解不等式组得： ， 

由题意得： 有4个正整数解，为：1，2，3，4，

，

解得： ；

（3）解：由题意得， 是正整数，且 有 个正整数解， 

， ，

．

【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；定义新运算

【解析】【解答】解：（1） 没有正整数解，

是 阶不等式；

由 得 ，

有1个正整数解，

是1阶不等式组，

故答案为：0，1；

【分析】（1）求出不等式组的解集，然后结合“n阶不等式 ”的概念进行判断；
（2）求出不等式组的解集，结合不等式组是4阶不等式组可得2a的范围，求解可得a的范围；
（3）由题意得m是正整数，且p≤x<m有(m-3)个正整数解，则2<p≤3，=5，求解可得m的值.