第2章 一元二次方程辅导讲义5：一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）

一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）

【学习目标】

1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；

2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；

3. 能应用根的判别式判断一元二次方程求根的情况，通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．

【要点梳理】

要点一、公式法解一元二次方程

1.一元二次方程的求根公式
　一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式 

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即

　　①当时，原方程有两个不等的实数根；
　　②当时，原方程有两个相等的实数根；
　　③当时，原方程没有实数根.

要点诠释：

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.

3.一元二次方程根的判别式的逆用    

在方程中，

（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；

（2）方程有两个相等的实数根=0；

（3）方程没有实数根﹤0.

要点诠释：

（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；

（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0.

4.用公式法解一元二次方程的步骤
　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　　　 ①把一元二次方程化为一般形式；
　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）；
　　　 ③求出的值；
　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解；
　　　 　若，则原方程无实根.
要点诠释：

（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.

（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.

    ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.

② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.

③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.
要点二、因式分解法解一元二次方程

1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为0；
　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

要点诠释：
   （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次           

因式的积；

（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；

（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.

【典型例题】

类型一、公式法解一元二次方程

1.用公式法解下列方程．

(1) x2+3x+1=0；        (2)；   (3) 2x2+3x-1=0．

【答案与解析】

(1) a=1，b=3，c=1

∴x==．

∴x1=，x2=．

(2)原方程化为一般形式，得．

∵，，，

∴．

∴，即，．

     (3) ∵a=2，b=3，c=﹣1

∴b2﹣4ac=17＞0

∴x=

∴x1=，x2=．

【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．

举一反三：

【变式】用公式法解方程： x2﹣3x﹣2=0．

【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；

∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；

∴x==，

∴x1=，x2=．

2．用公式法解下列方程：

(1) 2x2+x=2；      

(2) 3x2﹣6x﹣2=0；  

(3)（2015•黄陂区校级模拟）x2﹣3x﹣7=0．

【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.

【答案与解析】

解：(1)∵2x2+x﹣2=0，

∴a=2，b=1，c=﹣2，

∴x===，

∴x1=，x2=．

(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，

∴b2﹣4ac=36+24=60＞0，

∴x=，

∴x1=，x2=     

（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．

∴b2﹣4ac=9+28=37.

x= = ，

解得 x1=，x2=．

【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．

举一反三：

【变式】用公式法解下列方程： ；

【答案】解：移项，得．

∵ ，，，，

∴ ，

∴ ，．

类型二、因式分解法解一元二次方程

3．（2016•凉山州模拟）解方程:

（1）2x2﹣3x﹣2=0；

（2）x（2x+3）﹣2x﹣3=0．

【思路点拨】（1）利用因式分解法解方程；（2）先变形得到x（2x+3）﹣（2x+3）=0，然后利用因式分解法解方程．

【答案与解析】

解：（1）（2x+1）（x﹣2）=0，

2x+1=0或x﹣2=0，

所以x1=﹣，x2=2；

（2）x（2x+3）﹣（2x+3）=0，

（2x+3）（x﹣1）=0，

2x+3=0或x﹣1=0，

所以x1=﹣，x2=1．

【总结升华】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了.

4．解下列一元二次方程：

  (1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；         (2)．

【答案与解析】

(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，

(2x+1+2)2＝0．

           即，

∴  ．

(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，

即(x-1)(x+2)＝0，

所以，．

【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如(1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x＝1这个根．

举一反三：

【变式】（2015•泗洪县校级模拟）解方程：

（1）2x2﹣x﹣1=0

（2）（x﹣2）2=6﹣3x．

【答案】解：（1）2x2﹣x﹣1=0

∴（2x+1）（x﹣1）=0，

∴x﹣1=0，2x+1=0，

解得：x1=1，x2=﹣；

（2）（x﹣2）2=6﹣3x．

方程变形得：（x﹣2）2+3（x﹣2）=0，

∴（x﹣2）（x﹣2+3）=0，

∴x﹣2=0，x+1=0，

解得：x1=2，x2=﹣1．

5．探究下表中的奥秘，并完成填空：

将你发现的结论一般化，并写出来．

【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．

【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）．

发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，则

ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．

【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．