2.7 解二元一次方程组（加减消元法）浙教版数学七年级下册学案

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专题2.7 解二元一次方程组（加减消元法）（知识讲解）【学习目标】1. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法； 2. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；3．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．【要点梳理】要点一、加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．特别说明：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；(4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．要点二、选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．【典型例题】类型一、解二元一次方程组➽➼加减消元法解二元一次方程组 1．用加减消元法解下列方程组：     （2）    （3）     （4）【答案】（1）    （2）    （3）    （4）【分析】（1）直接利用加法进行消元即可求解；（2）直接利用减法进行消元即可求解；（3）将方程整理后，直接利用加减消元法求解；（4）将方程整理后，直接利用加减消元法求解．解：（1）由得：将代入中得：∴原方程组的解为（2）得：将代入中得：∴原方程组的解为（3）得：③得：将代入中得：∴原方程组的解为（4）；得：得：将代入中得：∴原方程组的解为【点拨】本题主要考查了加减消元法，熟练掌握加减消元法是解答此题的关键．举一反三：【变式】用加减消元法解下列方程组：      （2）           （4） 【答案】（1）     （2）     （3）     （4） 【分析】(1) 利用加减消元法，将方程①+②，即可求解；利用加减消元法，将方程②-①×2，即可求解；利用加减消元法，将方程①-②，即可求解；方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．解：(1) ①+②得：9x=45，即x=5，把x=5代入①得：y=2，则方程组的解为；②-①×2得：13y=65，即y=5，把y=5代入②得：x=则方程组的解为；①-②得：12y=-36，即y=-3，把y=-3代入①得：x=则方程组的解为；方程组整理得：①-②得：4y=28，即y=7，把y=7代入①得：x=5，则方程组的解为．【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，做题的关键是当未知数系数相等时将方程相减，未知数系数相反时将方程相加．2．解下列方程组：； （2） ．【答案】（1）； （2）．【分析】（1）先把方程组中的两方程化为不含括号的方程，再用加减消元法或代入消元法求解即可；（2）先把方程组中的两方程化为不含分母及括号的方程，再用加减消元法或代入消元法求解即可．解：（1）原方程组可化为：，①＋②得：，解得：，把代入①得：，解得：，故此方程组的解为：；（2）原方程可化为：，①×3−②得，，解得，把代入①得：，解得：，故此方程组的解为．【点拨】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法是解答此题的关键．举一反三：【变式】解下列方程组； （2） ．【答案】（1） ； （2） ．【分析】（1）先将原方程组变形，再利用加减消元法求解即可；（2）先将原方程组进行整理，然后利用加减消元法求解即可．解：（1）原方程组变形得，，由①×3得，6x+9y=6③，③+②得，10x=5，解得x=,将x=代入①得，1+3y=2，解得y=，∴原方程组的解为；（2）原方程组整理得，，由①×3得，15x+3y=108③，③－②得，14x=112，解得x=8，将x=8代入①得，40+y=36，解得y=-4，∴原方程组的解为．【点拨】本题主要考查了利用加减消元法解二元一次方程组，掌握基本步骤是解题的关键．类型二、解二元一次方程组➽➼用适合的方法解二元一次方程3．解方程组： （用代入消元法）； (2) （用加减消元法）【答案】(1) (2) 【分析】（1）把②代入①，得，求出y，再把y＝3代入①求出x即可；（2）①×2-②得出16x＝10，求出x，再把x代入①求出y即可．（1）解：，把②代入①，得，解得：，把代入②，得x＝1﹣5×3，即y＝-14，所以原方程组的解是；（2）解：，①×3+②，得14x＝28，解得：x=2，把x=2代入①，得＝9，解得：y=-1，所以原方程组的解是．【点拨】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．举一反三：【变式】解下列二元一次方程组：(1) ； (2) 【答案】（1）；（2）.【分析】（1）把①变形为代入②求出x的值，再把x的值代入求出y的值即可；（2）原方程组可化为，再运用加减消元法解方程组即可.解：（1) 由①得，，③把③代入②，得，解得，把代入③，得，所以原方程组的解为原方程组可化为，得，解得，把代入①，得，解得，所以原方程组的解为【点拨】本题考查了解二元一次方程组的应用，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．类型二、解二元一次方程组➽➼纠错问题4．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下．解法一：由，得．______解法二：由，得，③_______把代入，得．________反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处的横线上打“”，并改正．请选择一种你喜欢的方法，完成解答．【答案】(1) ，，， (2) ，【分析】（1）解法一的左边两个整式相减结果是，所以计算过程有误，正确的结果是．(2) 利用二元一次方程组的解法加减消元和代入消元，可以消去一个未知数，最后解一元一次方程求出结果．（1）解：解法一有错误，解法二正确由，得“”改正：由，得故答案为：，，，（2）解：由得解得把代入，得解得∴原方程组的解：【点拨】本题考查了二元一次方程组解法，二元一次方程组的解法有代入法和加减法，掌握两种解法的步骤是解题的关键．举一反三：【变式】用加减法解方程组其解题过程如下：，得，解得.把号代入①，得，解得.所以这个方程组的解为.上述解题过程是否正确？若不正确，请写出正确的解题过程.【答案】不正确,见分析【分析】①－②，指的是方程①的左边－方程②的左边=方程①的右边-方程②的右边，即（3x－4y）－（3x－2y）=4－8，整理得，由此可判断题目的解题过程错误，再按照加减法解方程组的方法步骤求解即可.解：不正确，正确的解题过程如下：①－②，得，解得.将代入①，得，解得.所以原方程组的解为【点拨】本题考查了加减法解二元一次方程组的知识，在用加减消元法解方程组时，要特别注意两式相减时符号的变化，就像本题，属于解方程组时的易错点.类型四、解二元一次方程组➽➼整体消元法解二元一次方程组5．先阅读，再解方程组.解方程组时，设，，则原方程组变为，整理，得，解这个方程组，得，即.解得.请用这种方法解下面的方程组：.【答案】【分析】根据举例，结合换元法a=x+y，b=x-y，可得方程组；解方程，可以得到a，b的值，代入所设，组成关于x，y的方程组，解方程组即可.解：设，，则原方程组变为，解得，所以，解得.【点拨】此题考查二元一次方程组的解法，解题关键在于可以根据举例的换元法，结合加减消元法进行解答.举一反三：【变式1】阅读探索解方程组解：设a1x，b2y，原方程组可变为解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法．（1）拓展提高运用上述方法解下列方程组：（2）能力运用已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为_______．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设=x，=y，可得出关于x、y的方程组，即可求出x、y的值，进而可求出a、b的值；（2）设5（m+3）=x，3（n-2）=y，根据已知方程组的解确定出m、n的值即可.解：（1）设=x，=y，原方程组可变形为，解得：，即，解得：.（2）设5（m+3）=x，3（n-2）=y，原方程组可变形为：，∵关于x，y的方程组的解为，∴，解得：.故答案为【点拨】本题考查解二元一次方程组，正确理解并熟练掌握换元法是解题关键.【变式2】若关于x,y 的二元一次方程组的解是,则关于x, y 的方程组的解是多少? 此题解法上的技巧是什么? 试根据两个方程组的特点加以分析并求解．【答案】 试题分析：本题主要的就是考查了学生对二元一次方程组的解法的理解掌握及运用的情况，观察两个方程的特点，用整体代入的思想即可求出解.解：根据题意，由整体思想得， ，①+②得，2x=8,∴x=4;把x=4代入①得4+y=7,∴y=3; ∴原方程组的解是.类型五、解二元一次方程组➽➼同解原理6．若关于x，y的二元一次方程组和有相同的解，求：（1）这两个方程组的解；（2）代数式的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由两个方程组同解可得，解方程组可得答案；（2）把代入两个系数未知的方程可得：，解方程组求解的值，即可得到答案．解：（1）由题意得：①+②得： 把代入①得： 所以这两个方程组的解是： （2）把代入可得：，③④得： 把代入③得： 所以： 【点拨】本题考查的是同解方程，二元一次方程组的解法，代数式的值，乘方符号的确定，掌握以上知识是解题的关键．举一反三：【变式1】已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2015的值．【答案】1.【分析】由两个方程组中不含a、b的两个方程可组成一个新的方程组，可求得x、y的值，再代入含有a、b的两个方程，可得到关于a、b的方程组，可求得a、b的值，代入计算即可．解：方程组与有相同的解，∴由①、③可得方程组，解得，再把代入②、④可得方程组，解得，∴（2a+b）2015=（2-1）2015=1．【点拨】本题主要考查方程组的解法，利用方程组的解相同求得方程组中x、y的值是解题的关键．【变式2】已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式的平方根．【答案】【分析】重新组合二元一次方程组，并解出x、y的值，再把x、y的值代入新的方程组，求出a、b的值，代入再求的平方根解：①×2+②×3得，13x=39，x=3，把x=3代入①得，y=1，∴此方程组的解为，把x=3，y=1，代入，，解得：，故【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解方程组，重新组合新的方程组是解题关键．