人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用授课ppt课件

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2.2.4　均值不等式及其应用
课前预习 课中探究 课堂评价
探究点一　均值不等式的特殊应用探究点二　证明不等式探究点三　均值不等式在实际问题中的应用探究点四　均值不等式在恒成立问题中的应用
第2课时　均值不等式的应用
1.熟练掌握均值不等式及其变形的应用.2.能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题,进一步加深对均值不等式成立的条件的理解.3.能够运用均值不等式解决实际生活中的应用问题.
知识点一　利用均值不等式证明不等式或求最值
利用均值不等式证明不等式或求最值时,要先观察题中不等式的结构特征,若不能直接使用均值不等式,则考虑对代数式进行拆、并、配等变形,使之达到能使用均值不等式的形式.
知识点二　利用均值不等式解决实际问题的一般步骤
(1)读懂题意,设出变量,列出函数关系式;(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)在题目要求的范围内,求出函数的最大值或最小值;(4)写出符合实际情况的答案.
探究点一　均值不等式的特殊应用
角度1　“常值代换法”求最值
(2)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是　　　　. 
[素养小结]常值代换法求最值的步骤:(1)根据已知条件或其变形确定定值(常值);(2)把确定的定值(常值)变形为1;(3)把“1”的表达式与要求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;(4)利用基本不等式求解最值.
(2)[2021·沈阳二中高一月考] 已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为　　　　. 
[素养小结]在解含有两个变元的式子的最值问题时,通过代换的方法减少变元,把问题化为两个或一个变元的问题,再使用均值不等式求解.
[素养小结](1)利用均值不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果.(2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到.
探究点三　均值不等式在实际问题中的应用
变式 如图2-2-1,要设计一张矩形广告牌,该广告牌内有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏目的面积之和为45 m2,四周空白的宽度为0.5 m,两栏目之间的中缝空白的宽度为0.25 m,设广告牌的高为x m.(1)用含x的表达式表示广告牌的面积S;(2)求广告牌的面积的最小值.
[素养小结]在应用均值不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法:(1)理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)根据实际背景写出答案.
探究点四　均值不等式在恒成立问题中的应用
[素养小结]解决恒成立问题的常用策略:(1)a≤A恒成立⇔a≤A的最小值.(2)a≥A恒成立⇔a≥A的最大值.注意:A表示关于x的代数式.
1.用均值不等式证明不等式,要分析不等式的左右结构特征,通过拆(添)项创设一个满足均值不等式的条件:一是创设一个应用均值不等式的条件(如正数、定值等);二是创设一个使等号成立的条件.