人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法课堂教学课件ppt

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2.2.3　一元二次不等式的解法
课前预习 课中探究 课堂评价
探究点一　不含参数的一元二次不等式的解法探究点二　简单的分式不等式的解法探究点三　求解含参数的一元二次不等式问题探究点四　一元二次不等式与一元二次方程的关系
1.能从实际情境中抽象出一元二次不等式,了解一元二次不等式的现实意义.2.会用因式分解法和配方法解一元二次不等式.3.会解简单的分式不等式.
知识点一　一元二次不等式的概念
一般地,形如　　　　　　　的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“　　　　”“　　　　”“　　　　”等. 
知识点二　一元二次不等式的解法
1. 因式分解法解一元二次不等式
一般地,如果x10的解集是　　　　　　　　　. 
(-∞,x1)∪(x2,+∞)
2. 配方法解一元二次不等式
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)kx2-x+1≥0是关于x的一元二次不等式.(　 )(2)不等式m2x+2x-3<0是关于x的一元二次不等式.(　 )(3)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解.(　 )
[解析] (1)当k=0时,该不等式不是一元二次不等式.
[解析] (2)因为x的最高次数是1,所以m2x+2x-3<0不是关于x的一元二次不等式.
[解析] (3)当a>0时,任意实数x都能使不等式ax2+1>0成立,所以不等式ax2+1>0的解集是R.
[解析] (4)因为x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以不等式x2-2x+1≤0的解集是{1}.
[解析] (5)易知正确.
例1 (1)用因式分解法求下列不等式的解集.①(x-1)2>3x-3;②-x2+7x>6.
探究点一　不含参数的一元二次不等式的解法
解:(1)①因为(x-1)2-(3x-3)=(x-1)(x-1-3)=(x-1)(x-4),所以原不等式等价于(x-1)(x-4)>0,解得x>4或x<1,因此所求解集为(-∞,1)∪(4,+∞).②原不等式等价于x2-7x+6<0,即(x-6)(x-1)<0,解得1(2)用配方法求解下列不等式的解集.①(x-1)2<3x-4; ②-2x2+3x-2<0.
变式 用适当方法求下列不等式的解集.(1)x2-6x>9+2x;(2)3x2-6x-2>0;(3)x2+5x-4<0.
[素养小结]解不含参数的一元二次不等式的方法:(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积的形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.(2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始终大于或等于零,则不等式的解集易得.(3)若上述两种方法均不易解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法.
探究点二　简单的分式不等式的解法
例3 (1)解关于x的不等式:x2-(a+1)x+a<0.(2)将(1)中原不等式改为ax2-(a+1)x+1<0,求不等式的解集.
探究点三　求解含参数的一元二次不等式问题
解:(1)由x2-(a+1)x+a=0,得(x-a)(x-1)=0, 解得x1=a,x2=1.①当a>1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为{x|1[素养小结](1)如果二次项系数含参,则要对其与0的大小关系进行比较,其正负值决定了解集的形式是封闭型还是开放型的,常常也可以根据解集的形式判断二次项系数的正负;(2)如果一次项系数或常数项含参数,要对两个根的大小或Δ与0的关系进行分类讨论.(3)明确一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系.
探究点四　一元二次不等式与一元二次方程的关系
拓展 若关于x的不等式ax2+2x+2>0在R上恒成立,求实数a的取值范围.
3. 已知关于x的不等式kx2-3kx+2k+1≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是(　 )A.[0,4]B.[0,3]C.(-∞,0]∪[3,+∞)D.(-∞,0]∪[4,+∞)
4. (多选题)下列不等式的解集不是空集的是 (　 )A.x2-x+1>0B.-2x2+x+1>0 C.2x-x2>5 D.x2+x>2
[解析] 因为x=0满足选项A,B中的不等式,所以这两个不等式的解集不是空集.因为x=2满足选项D中的不等式,所以这个不等式的解集不是空集.因为x2-2x+5=(x-1)2+4≥4,所以x2-2x+5<0不成立,即2x-x2>5的解集是空集.
对含参一元二次不等式常用的分类方法1.按x2的系数a的符号分类,即a>0,a=0,a<0.
例1 解不等式ax2+(a+2)x+1>0.
分析:本题中二次项系数含有参数,因为Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,故只需对二次项系数进行分类讨论.
2.按判别式Δ的符号分类,即Δ>0,Δ=0,Δ<0.
例2 解不等式x2+ax+4>0.