【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)必修第一册 高一上册数学期中押题模拟卷（含解析）

2022-2023年高一上学期期中模拟卷

数  学 ·全解全析

一．选择题（共8小题）

1．已知，，则　　

A． B．， C． D．，0，

【分析】求出集合，利用交集定义能求出．

【解答】解：，

，0，，

则，．

故选：．

【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．下列各组函数表示相同函数的是　　

A．和 

B．和 

C．和 

D．和

【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．

【解答】解：．，定义域是，的定义域为，，两个函数的定义域不相同，不是相同函数，

．的定义域为，，定义域为，两个函数的定义域不相同，不是相同函数， 

．，两个函数的定义域都是，对应法则相同，是相同函数，

．，定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是相同函数，

故选：．

【点评】本题主要考查相同函数的判断，结合两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，是基础题．

3．“”是“，”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据、的取值情况可解决此题．

【解答】解：由可得、中至少有一个为正， “”是“，”的必要不充分条件．

故选：．

【点评】本题考查充分、必要条件的判断方法，考查数学推理能力，属于基础题．

4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是　　

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 

C．甲车以80千米小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 

D．某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【分析】过横轴上某一点做纵轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同速度下的三个车的不同的燃油效率，过纵轴上某一点做横轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同燃油效率下的三个车的不同的速度，利用这一点就可以很快解决问题．涉及到将图形语言转化为数学语言的能力和简单的逻辑推理能力．

【解答】解：对于，由图象可知当速度大于 时，乙车的燃油效率大于，当速度大于 时，消耗 1 升汽油，乙车的行驶距离大于，故 错误；

对于，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗 1 升汽油，甲车的行驶路程最远，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故 错误；

对于，由图象可知当速度为 时，甲车的燃油效率为，即甲车行驶 时，耗油 1 升，故行驶 1 小时，路程为，燃油为 8 升，故 错误；

对于，由图象可知当速度小于 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，用丙车比用乙车更省油，故 正确；

故选：．

【点评】本题目对考查学生对图表的认知和解读能力很到位，也能体现学生对函数图象数据的处理能力和培养数学应用意识，也考查学生将图形语言转化为数学语言的能力．

5．已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　　

A．， B．， C．， D．

【分析】由函数的定义域求得的定义域，再由在的定义域内列式求解．

【解答】解：函数的定义域为，，

即，，即的定义域为，，

由，得．

函数的定义域为，．

故选：．

【点评】本题考查抽象函数的定义域及其求法，关键是掌握解决该类问题的方法，是基础题．

6．若“，”为假命题，则的取值范围是　　

A．，， B．，， 

C．， D．

【分析】根据全称命题的定义和性质转化为一元二次函数进行求解即可．

【解答】解：若“，”为假命题，

即“，”为真命题，

则判别式△，

即．

解得或，

故选：．

【点评】本题主要考查全称命题的应用，根据条件转化为一元二次函数进行求解是解决本题的关键．

7．设，，且，函数，，若，则下列判断正确的是　　

A．的最大值为 B． 的最小值为 

C． D．

【分析】根据求出的解析式，利用判断为奇函数，求出、、的关系，写出函数，再判断选项中的命题是否正确．

【解答】解：因为函数，

所以，

又因为，所以为定义域上的奇函数；

所以，即，

由，得，

所以，解得；

所以，且；

对于，时，有最小值，所以选项错误；

对于，时，有最大值，所以选项错误；

对于，的对称轴是，不是，所以不成立，选项错误；

对于，由，得，所以关于对称，选项正确．

故选：．

【点评】本题考查了函数的基本性质应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．

8． 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则　　)

A.         B.                C.           D.

【解答】解：根据题意，为奇函数，则有，且，

又由为偶函数，则有，

故由，即，

，是周期为的周期函数；

又由为奇函数，则，则，

为偶函数，则，

若，则，则，

又由，则，

所以当时，，．

故选：．

二．多选题（共4小题）

9．下列说法正确的是　　

A．若，则 B．若，，则 

C．，则 D．若，则

【分析】根据已知条件，结合作差法，以及特殊值法，即可求解．

【解答】解：对于，，

，即，故正确，

对于，，，

，故正确，

对于，，

，故正确，

对于，当时，，故错误．

故选：．

【点评】本题主要考查不等式的性质，考查作差法，属于基础题．

10．已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得，结合反比例函数的性质以及函数图象平移的规律可得且，分析可得、的关系，据此分析选项可得答案．

【解答】解：根据题意，函数，其定义域为，

若函数在区间上单调递增，

必有且，

即且，

据此分析选项：、、符合；

故选：．

【点评】本题考查函数单调性的判断，注意对函数解析式的变形，属于基础题．

11．下列说法正确的有　　

A．函数在其定义域内是减函数 

B．命题“，”的否定是“，” 

C．两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件 

D．若为奇函数，则为偶函数

【分析】直接利用函数的定义域和单调性和函数的奇偶性的应用判定的结论，利用命题的否定判断的结论，利用充分条件和必要条件判断的结论．

【解答】解：对于：函数的定义域为，，，所以函数在和上都为单调递减函数，故错误；

对于：命题“，”的否定是“，”故正确；

对于：两个三角形全等，则两个三角形必相似，但是两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等，则两个三角形全等是两个三角形相似的充分不必要条件，故错误；

对于：若为奇函数，且函数也为奇函数，则函数则为偶函数，故正确．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：函数的性质，命题的否定，充分条件和必要条件，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．

12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ，其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，其中真命题是　　

A． 

B．任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立 

C．，，不恒成立 

D．不存在三个点，，，，，，使得为等腰直角三角形

【分析】根据所给函数的定义，逐一进行验证判断即可．

【解答】解：对于：因为，且，所以，故选错误；

对于：任取一个不为零的有理数，

若，，，，

即成立；

若，，，，

即成立；

所以任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立，故选项成立；

对于：取，，则，

则，，

即不恒成立，即选项正确；

对于

假设存在三个点，，，，，，

使得为等腰直角三角形（不妨设，且，

有以下3种情况：

①直角顶点，在直线上，斜边在轴上（如图，

即，，，

则由得，又因为为等腰直角三角形，

所以，，，

与相矛盾，即假设不成立；

（图

②直角顶点，在轴上，斜边在直线上（如图，

即，，，

则由得，又因为为等腰直角三角形，

所以，，，

与相矛盾，即假设不成立；

（图

③若轴（如图3或图，

则，则或，

与“、一个为0，一个为1”相矛盾；

（图                                              （图

综上，不存在三个点，，，，，，使得为等腰直角三角形，即选项正确．

故选：．

【点评】本题属于新概念题，考查了分类讨论思想、数形结合思想，选项中作出图象是难点，也是关键点，属于中档题．

三．填空题（共4小题）

13．已知，，若，则的取值范围是 　，　．

【分析】根据，建立条件关系即可求实数的取值范围．

【解答】解：若，则．

则实数的取值范围是，．

故答案为：，．

【点评】本题主要考查集合的子集关系，比较基础．

14．设是定义在上的奇函数，且（2），则（2）（3）　1　．

【分析】由奇函数的性质将已知等式转化为（3）（2），计算可得结论．

【解答】解：因为是定义在上的奇函数，（2），

所以（3）（2），可得（2）（3）．

故答案为：1．

【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于基础题．

15．若函数在上为增函数，则取值范围为　，　．

【分析】由一次函数、二次函数，及增函数的定义便可得到，从而解该不等式组即可得出的取值

【解答】解：在内是增函数；

根据增函数的定义及一次函数、二次函数的单调性得满足：；

解得；

的取值范围为，．

故答案为：，．

【点评】考查增函数的定义，一次函数及二次函数、分段函数的单调性，二次函数的对称轴．

16．已知实数，，，则的最小值是　　．

【分析】可根据得出，然后即可得出，然后根据基本不等式即可求出的最小值．

【解答】解：，

，且，，

，当且仅当，即时取等号，

的最小值是．

故答案为：．

【点评】本题考查了分离常数法的运用，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．

四．解答题（共6小题）

17．已知集合，，．

（1）求；

（2）若，求的取值范围．

【分析】（1）分别求出，，求出的补集，求出即可；

（2）根据集合的包含关系得到关于的不等式组，解出即可．

【解答】解：（1），，

，，，

，；

（2），

解得：，

故的取值范围是．

【点评】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是基础题．

18．已知集合，．

（1）命题，命题，且是的必要非充分条件，求实数的取值范围；

（2）若，都有，求实数的取值范围．

【分析】（1）求出集合的取值范围，根据是的必要非充分条件，即可求得的取值范围，

（2）由若，得不等式的定义域，解关于的不等式，即可求得的取值范围．

【解答】解：（1）．

由是的必要非充分条件知：，，（等号不能同时成立）．

解得．

（2）由，都有，得，，，

令，，，

当时，取最大值为，

．

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．

19．已知函数．

（1）求函数的解析式、定义域；

（2）函数，，，求函数的最小值．

【分析】（1）利用换元法，求解函数的解析式即可．

（2）求解函数的对称轴，通过对称轴与区间的关系，转化求解函数的最小值即可得到结果．

【解答】解：（1）由题，令，则，

，

，，．

（2），，，

当时，函数是增函数，（2），

当时，函数的对称轴在，之间，所以函数的最小值为：，

当时，（4），

综上所述：．

【点评】本题考查函数的最值的求法，函数的解析式的求法，是基本知识的考查．

20．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．

（1）求函数解析式；

（2）画出函数的图象；

（3）当函数有且只有一个零点时，求的值．

【分析】（1）利用分段函数，求函数的解析式．

（2）利用（1）的解析式作出函数的图象．（3）求出的表达式，利用有且只有一个零点时，求的值．

【解答】解：（1）当时，（1分）

当时，（2分）

当时，（3分）

所以（4分）

（2）画图象（4分），如图：（其中图形（3分），规范1分）

（3）当时，，由，解得

因为，所以，即（9分）

当时，直线过点，这两点都在的图象上

当时，直线与射线有一个交点（10分）

当时，直线逆时针旋转时与图象有两个交点，相切时有一个交点，且与射线无交点．（11分）

此时，所以，

所以，解得或．（12分）

当时，，所以在，内．

当．时不在，内，（13分）

当或时，直线与的图象无交点

所以．（14分）

【点评】本题主要考查了分段函数的求法以及函数零点的应用，综合性较强，运算量较大．

21．已知函数为奇函数，又（1），（2）．

（1）求的解析式；

（2）判断函数在上的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论；

（3）试求函数在，上的最小值．

【分析】（1）根据条件建立方程求出，，的值即可．

（2）利用函数单调性的定义进行证明．

（3）利用换元法结合对勾函数的单调性的性质进行判断．

【解答】解：（1）是奇函数，

，

即，得，

则，即，

则，

（1），（2）．

（1），即，

（2），得，

解得，，

得．

（2）当时，设，

则，

，

，，

则，即，即在上的单调递增．

（3），

设，则，则函数在，上是增函数，

当时，函数取得最小值，最小值为．

【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用条件建立方程求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题．

22．已知函数对任意的实数，，都有，且当时，有．

（1）求的值；

（2）求证：在上为增函数；

（3）若（2），且关于的不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围．

【分析】（1）利用赋值法可求解；

（2）结合单调性的定义以及赋值法，可判断出与的大小关系，从而确定单调性；

（3）原式是一个不等式恒成立问题，因此可转化为函数的最值问题求解，结合分类讨论，判断出函数在，上的单调性，求出最值即可．

【解答】解：（1）由，令，则，则；

（2）由可知，任取，，不妨设，

则，

，，，，．

故此，函数为上增函数；

（3）由可知，

．

故此，（2）（1），（1）．

（1）．

又在上是单调增函数，

，，令．

由已知，须有，，．

①当时，即，在，单调递增，

，

，．

②当时，即时，在，先递减后递增，

．

，即．

综上，．

【点评】本题考查抽象函数条件下的函数的单调性的证明，不等式恒成立时的字母范围的求解方法．属于中档题．

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