2020年高中数学新教材同步必修第一册 期中检测试卷

这是一份高中人教A版 (2019)全册综合综合训练题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟 满分：150分)


一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)


1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合 A∩(∁UB)等于( )


A．{2,5} B．{3,6}


C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}


考点 交并补集的综合问题


题点 有限集合的交并补运算


答案 A


解析 根据补集的定义可得∁UB＝{2,5,8}，


所以A∩(∁UB)＝{2,5}，故选A.


2．不等式eq \f(3x－1,2－x)≥1的解集是( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,4)≤x≤2)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,4)≤x<2))))


C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤\f(3,4)或x>2)))) D．{x|x<2}


答案 B


解析 eq \f(3x－1,2－x)≥1⇔eq \f(3x－1,2－x)－1≥0⇔eq \f(4x－3,2－x)≥0


⇔eq \f(x－\f(3,4),x－2)≤0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))x－2≤0，,x－2≠0))


解得eq \f(3,4)≤x<2.故选B.


3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )


A．充要条件 B．充分不必要条件


C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件


答案 A


解析 因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，


所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．


4．命题“∃x∈R,1

A．∀x∈R,1

B．∃x∈R,1

C．∃x∈R，f(x)≤1或f(x)>2


D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2


答案 D


解析 根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知原命题的否定形式为“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．


5．若a，b，c为实数，则下列命题错误的是( )


A．若ac2>bc2，则a>b


B．若a

C．若a>b>0，则eq \f(1,a)

D．若ad>0，则ac

答案 B


解析 对于A，若ac2>bc2，则a>b，故正确；


对于B，根据不等式的性质，若ab2，故错误；


对于C，若a>b>0，则eq \f(a,ab)>eq \f(b,ab)，即eq \f(1,b)>eq \f(1,a)，故正确；


对于D，若ad>0，则ac

6．不等式ax2＋2ax＋1≤0的解集为∅，则实数a的取值范围是( )


A．(0,1) B．[0,1]


C．[0,1) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)


答案 C


解析 由题意知，不等式ax2＋2ax＋1>0恒成立，


当a＝0时，1>0，不等式恒成立，


当a≠0时，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0，))解得0

综上有0≤a<1，故选C.


7．函数f(x)＝2x＋eq \f(8,x－1)(x>1)，则f(x)的最小值为( )


A．8 B．6 C．4 D．10


答案 D


解析 f(x)＝2(x－1)＋eq \f(8,x－1)＋2


≥2eq \r(2x－1·\f(8,x－1))＋2＝10，


当且仅当2(x－1)＝eq \f(8,x－1)，即x＝3时取等号，


所以当x＝3时，f(x)min＝10，故选D.


8．若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)的值为( )


A．10 B．－10 C．－15 D．15


答案 C


解析 ∵f(x)在[3,6]上为增函数，


∴f(6)＝8，f(3)＝－1，


∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－15.


9．定义在R上的奇函数f(x)，满足f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)>0的解集为( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,2)或x>\f(1,2)))))


B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0

C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0

D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\f(1,2)))))


答案 B


解析 y＝f(x)的草图如图，





xf(x)>0的解集为


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).


10．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )








答案 D


解析 依题意可知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；


当4

当8

11．函数f(x)＝eq \f(1＋x,2＋x)(x>0)的值域是( )


A．(－∞，1) B．(1，＋∞)


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))


答案 C


解析 ∵f(x)＝eq \f(1＋x,2＋x)＝eq \f(x＋2－1,x＋2)


＝1－eq \f(1,x＋2)在(0，＋∞)上为增函数，


∴f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).


12．设非空数集M同时满足条件：①M中不含元素－1,0,1；②若a∈M，则eq \f(1＋a,1－a)∈M.则下列结论正确的是( )


A．集合M中至多有2个元素


B．集合M中至多有3个元素


C．集合M中有且仅有4个元素


D．集合M中至少有4个元素


答案 D


解析 因为a∈M，eq \f(1＋a,1－a)∈M，


所以eq \f(1＋\f(1＋a,1－a),1－\f(1＋a,1－a))＝－eq \f(1,a)∈M，


所以eq \f(1＋\f(1,－a),1－\f(1,－a))＝eq \f(a－1,a＋1)∈M，


又因为eq \f(1＋\f(a－1,a＋1),1－\f(a－1,a＋1))＝a，


所以集合M中必同时含有a，－eq \f(1,a)，eq \f(1＋a,1－a)，eq \f(a－1,a＋1)这4个元素，


由a的不确定性可知，集合M中至少有4个元素．


二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)


13．已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．


答案 1


解析 由A∩B＝{1}知，1∈B，


又因为a2＋3≥3，所以a＝1.


14．有下列三个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x∈N*，x为29的约数．其中真命题为________．(填序号)


答案 ①③


解析 对于①，这是全称量词命题，


因为Δ＝(－3)2－4×2×4<0，


所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；


对于②，这是全称量词命题，


因为当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；


对于③，这是存在量词命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以③为真命题．


15．正数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．


答案 [6，＋∞)


解析 因为a>0，b>0，eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝1，


所以a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(9,b)))＝10＋eq \f(b,a)＋eq \f(9a,b)


≥10＋2eq \r(9)＝16，


当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(9a,b)即a＝4，b＝12时，等号成立，


由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，


即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立．


又设f(x)＝x2－4x－2＝(x－2)2－6，


所以f(x)的最小值为－6，


所以－6≥－m，即m≥6.


16．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．


答案 6


解析 在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的图象，如图所示，不难看出函数f(x)在x＝2时取得最大值，最大值为6.





三、解答题(本大题共6小题，共70分)


17．(10分)设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，且A∩B＝{2}．


(1)求a的值及集合A，B；


(2)设全集U＝A∪B，求(∁UA)∪(∁UB)．


解 (1)由交集的概念易得2是方程2x2＋ax＋2＝0和x2＋3x＋2a＝0的公共解，则a＝－5，此时A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，B＝{－5,2}．


(2)由并集的概念易得U＝A∪B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－5，\f(1,2)，2)).


由补集的概念易得∁UA＝{－5}，∁UB＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).


所以(∁UA)∪(∁UB)＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－5，\f(1,2))).


18．(12分)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：实数x满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x－6≤0，,x2＋2x－8>0，))若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．


解 解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x－6≤0，,x2＋2x－8>0，))得2

∴q：20时，不等式x2－4ax＋3a2<0的解集为{x|a

∴p：a

∵p是q的必要不充分条件，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤2，,3a>3，))解得1

当a<0时，不等式x2－4ax＋3a2<0的解集为{x|3a

∴p：3a

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a≤2，,a>3，))此时无解．


综上所述，a的取值范围是(1,2]．


19．(12分)已知关于x的不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．


(1)求a，b的值；


(2)解关于x的不等式：ax2－(ac＋b)x＋bx<0.


解 (1)∵不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，


∴a>0，且方程ax2－3x＋2＝0的两个根是1和b.


由根与系数的关系，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋b＝\f(3,a)，,1·b＝\f(2,a)，))解得a＝1，b＝2.


(2)∵a＝1，b＝2，


∴ax2－(ac＋b)x＋bx<0，即x2－(c＋2)x＋2x<0，


即x(x－c)<0.


∴当c>0时，解得0

当c＝0时，不等式无解；


当c<0时，解得c

综上，当c>0时，不等式的解集是(0，c)；


当c＝0时，不等式的解集是∅；


当c<0时，不等式的解集是(c,0)．


20．(12分)为迎接2019年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：p＝3－eq \f(2,x＋1)(其中0≤x≤a，a为正常数)．已知生产该产品还需投入成本(10＋2p)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(20,p)))元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．


(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；


(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．


解 (1)由题意知，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(20,p)))p－x－(10＋2p)，


将p＝3－eq \f(2,x＋1)代入化简得y＝16－eq \f(4,x＋1)－x(0≤x≤a)．


(2)当a≥1时，y＝17－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,x＋1)＋x＋1))≤17－2eq \r(\f(4,x＋1)×x＋1)＝13，


当且仅当eq \f(4,x＋1)＝x＋1，即x＝1时，上式取等号．


当0

所以当x＝a时，y取最大值为16－eq \f(4,a＋1)－a.


所以当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大为13万元．


当0

21．(12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－2)2＋2.


(1)求函数f(x)在R上的解析式；


(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；


(3)若方程f(x)－k＝0有四个解，求实数k的取值范围．


解 (1)若x<0，则－x>0，


f(x)＝f(－x)＝－(－x－2)2＋2＝－(x＋2)2＋2，


则f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－22＋2，x≥0，,－x＋22＋2，x<0.))


(2)图象如图所示，





(3)由于方程f(x)－k＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与直线y＝k的交点的横坐标，观察函数y＝f(x)图象与直线y＝k的交点情况可知，当－2

22．(12分)已知函数f(x)＝2x＋b，g(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，h(x)＝eq \f(gx,fx).对任意的x∈R，恒有f(x)≤g(x)成立．


(1)如果h(x)为奇函数，求b，c满足的条件；


(2)在(1)的条件下，若h(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数c的取值范围．


解 (1)设h(x)＝eq \f(gx,fx)的定义域为D，


因为h(x)为奇函数，所以对任意x∈D，h(－x)＝－h(x)成立，解得b＝0.


因为对任意的x∈R，恒有f(x)≤g(x)成立，


所以对任意的x∈R，恒有2x＋b≤x2＋bx＋c，


即x2＋(b－2)x＋c－b≥0对任意的x∈R恒成立．


由(b－2)2－4(c－b)≤0，得c≥eq \f(b2,4)＋1，即c≥1.


于是b，c满足的条件为b＝0，c≥1.


(2)当b＝0时，h(x)＝eq \f(gx,fx)＝eq \f(x2＋c,2x)＝eq \f(1,2)x＋eq \f(c,2x)(c≥1)．


因为h(x)在[2，＋∞)上为增函数，


所以任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1

h(x2)－h(x1)＝eq \f(1,2)(x2－x1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(c,x1x2)))>0恒成立，


即任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x10恒成立，也就是c

综合(1)，得实数c的取值范围是[1,4]．