【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)必修第一册 4.4《对数函数》培优分阶练（含解析）
展开4.4 对数函数
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1.函数与函数的图象的交点的个数为( )
答案
解析 分别画出函数(红色曲线)与函数(蓝色曲线)的图象，如图所示
由图象可知，函数与函数的图象的交点的个数有个，
故选：.
2.函数 ( )
A．是偶函数，在区间上单调递增 B．是偶函数，在区间上单调递减
C．是奇函数，在区间上单调递增 D．是奇函数，在区间上单调递减
答案
解析 函数定义域为，而，所以该函数为偶函数，
在上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增；故选.
3.设，则的大小关系是( )
答案
解析 ，．故选：．
4. 已知在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是( )
答案
解析 在上为单调递增函数；
；解得，；
实数的取值范围为．故选：．
已知函数是上的奇函数，且满足，当时，，则方程解的个数是( )
答案 B
解析 函数是上的奇函数，，
由，可得，的周期．
作出在同一坐标系中画和图象，
从图象不难看出，其交点个数个，
故选：．
二、多选题
6. 关于函数有以下4个结论，正确的是( )
A.该函数是偶函数； B.定义域为；
C.递增区间为； D.最小值为；
答案
解析 函数的定义域为，故错误；
，故不是偶函数，故错误；
令，则，
由的单调递增区间为；
为增函数，故函数的递增区间为，故正确；
当时函数取最小值为，故正确；
故正确结论的序号是：．
三、填空题
7.不等式的解是 ．
答案
解析 不等式，即不等式，，
8.设函数，若函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
答案
解析 时，，时，，
函数的值域为，，
实数的取值范围是．
9.已知函数，若，则 ．
答案
解析 由题意，函数，
，
，，即，可得，
则.
四、解答题
10.已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)求使的的取值范围．
答案 (1) (2) 奇函数 (3) 当时，；当时，.
解析 (1)由，得，故函数的定义域为．
(2) ，
又由(1)知函数的定义域关于原点对称，
函数是奇函数．
(3)当时，由，得，解得；
当时，
由，得，解得．
故当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是.
11.已知函数
(1)当时．求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求的取值范围．
答案 (1) (2) .
解析 (1)
令时，
此时，．，
，
所以函数的值域为；
(2) 对于恒成立，
即对恒成立，对恒成立，
易知在上单调递增，，．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1.设，，则下列叙述正确的是( )
．若，则 B．若，则
．若，则 D．若，则
答案
解析 与均为增函数，
故在上为增函数，
故，
即，
即，
故选：．
2.已知，则( )
答案
解析 ；
又；；
．故选：．
3.设，已知，则( )
答案
解析 易知在定义域上是增函数，而，且；
故，即．
，即，
显然，，
，，故选：．
4.已知函数，，则图象交于两点，则( )
答案
解析 不妨设，
作出和的图象，由图象知，，
则，
则
，
即，即，即，
故选：．
5. 已知是方程的解，是方程的解，函数，则( )
答案
解析 设直线的方程为：，设与，分别相交于两点，
与互为反函数，
它们的图象关于直线对称，
由题意得：点与点关于直线对称，
的中点在直线上，
，即，
，
，
其对称轴方程为：，
在上单调递增，
，故选：．
二、多选题
6. 函数，则下列关于函数的说法正确的是( )
A．函数在区间上是减函数 B．值域为
C．图象关于原点对称 D．有反函数
答案
解析 因为函数，所以，解得，
故的定义域为，
因为函数，
因为函数在上是增函数，是增函数，
由复合函数的单调性可知函数为增函数，故错误；
因为，所以，则，
所以，即的值域为，故正确；
，
所以函数为奇函数，故图象关于原点对称，故正确；
，，，互换的位置，可得，
即的反函数为，故正确．
故选：．
三、填空题
7.关于函数有下列说法：
(1)函数的图象关于轴对称；
(2)函数的最小值是；
(3)当时，是增函数，当时，是减函数；
(4)在区间上是增函数；
(5)无最大值，也无最小值．
其中正确的命题序号是 ．
答案 (1)，(2)，(4)
解析 函数，，
故函数为偶函数，其图象关于轴对称；故(1)正确；
当时，函数取最小值，无最大值，故(2)正确，(5)错误；
当时，，在上为减函数，在上是增函数；
当时，，在上为减函数，在上是增函数；
故(3)错误，(4)正确；
故答案为：(1)，(2)，(4)．
8.若满足，满足，则等于 .
答案
解析 由题意①， ②，
所以，故有．
故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标．
再根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，
故曲线和曲线的图象交点关于直线对称．
即点和点构成的线段的中点在直线上，
即，求得，
9. 已知，且，试比较的大小 ．
答案
解析 设，，则，
，，
，
，
，，
，即．
四、解答题
10.已知函数．
(1)当[]时，求该函数的值域；
(2)令，求在上的最值．
答案 (1)
(2) ①当时，；；
②当时，；
③当时，；
④当时，.
解析 (1)函数，
令，，
此时有，对称轴，
当时，取得最小值：；函数取得最大值：．
．
(2)，
令，，则，
此时有，
①当时，；；
②当时，；
③当时，；
④当时，.
11.设函数，实数，关于的方程的根为，关于的方程的根为，记．
(1)当时，求的值；
(2)若，且当变化时，记．
①求函数的表达式； ②求函数的最大值．
答案 (1) (2)① ②
解析 (1)当，时，由，得，或，
由题意得
由，得，或，
由题意得，
则
(2)若，由，得，则或，
则，，
由，得，或．
则，
则
①，
使函数有意义，则必须满足，即且，
又，所以函数的定义域为；
②当时，取得最大值，最大值为.
培优第三阶——高考沙场点兵
1. (2021•天津)设，，，则三者大小关系为( )
A． B． C． D．
答案 D
解析 ，，
，，
，，
，
故选：．
2.(2020•新课标Ⅰ)若，则( )
A． B． C． D．
答案 B
解析 因为；
因为，
所以，
令，由指对数函数的单调性可得在内单调递增；
且；
故选：．
3.(2022•柯桥区模拟)定义在上的偶函数满足，当时，若在区间内，函数有个零点，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 由题意知，函数为偶函数，且，
令替换，则，
所以，函数是以为周期的函数．
当时，，所以，
即当时，，
因为函数在上有个零点，
所以方程在上有个根，
即函数图像与在上有个不同的交点，如下图：
由图可知，，即，解得，
又当时，函数图像与在上有个不同的交点，不符合题意，
故的取值范围为．
故选：．
4. (2022•松江区二模)已知函数，是定义在上的奇函数，且满足，
当时，．则当时，方程实根的个数为 ．
答案 506
解析 函数的图象关于对称，且，
可得在单调递减，
由，图象关于对称，
又可得，所以函数的周期为的周期函数，
当时，．可知函数在上单调递增，且，
所以当时，有个实根，
当时，有个实根，由函数周期性可知在的每个周期内有个实根，
故时，方程实根的个数为个．
故答案为：506．
