人教A版人教A版(2019)数学必修第一册专题：函数的周期性与对称性学案

这是一份数学人教A版 (2019)全册综合优秀学案，共16页。

专题：函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性核心知识


重点
函数的周期性、对称性概念的理解
难点
函数的周期性、对称性概念的理解
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等、难





核心知识点一：函数的对称性
1. 对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称
2. 轴对称：
关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）
3. 中心对称
（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）
（2）函数图象关于点中心对称
练习1：已知的图象关于点成中心对称，写出该函数几何特征的代数形式。
解：的图象关于点成中心对称的代数含义：
取和为的两个值，如和，其对应的函数值的和为
符号语言：

核心知识点二：函数的周期性
1. 定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期。
对定义的理解：周期为T的函数的自变量取差为T或-T的两个值和时，对应的函数值相等。

引例1：若函数满足，怎么理解？
分析：这个等式从左往右看，可以理解为函数取了两个自变量、，
当自变量增加2个单位时，对应的函数值相等，这两个自变量的特征也可以理解为差为常数（这里是2或-2）
根据周期函数概念，我们知道的一个正周期为2

引例2：若函数满足，则有什么性质呢？
分析：（1）等式变形为 ①
∴的自变量增加2个单位后所得到的函数值的相反数加2与原函数值相等
（2）据此性质，我们不难得出， ②
（3）由①②可知，
这个等式的含义是取和这两个自变量的值的时候，其对应的函数值总相等。因此：的一个正周期为4.

练习2：已知函数满足下列条件，分别理解其含义
（1）
（2）

分析：（1）自变量增加2个单位，函数值相等，周期为2
（2）自变量增加两个单位，函数值相反，再增加2个单位，函数值相等，故周期为4
2. 函数周期性的判定：
（1）：可得为周期函数，其周期
（2）的周期
分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：
所以有：，即周期
注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期
（3）的周期
分析：

1. 对称性概念的理解：
（1）关于点对称：函数图象关于点中心对称
（2）关于直线对称：函数图象关于直线x=a对称
2. 周期性概念的理解：
对于这个定义的理解一定不要形式化，要从函数思维逻辑的层面进行分析.要能够从分析其代数特征：函数的自变量分别取和时函数值相等；其几何特征是横坐标相差，纵坐标相等，因此，在间隔个单位的函数图象重复出。


（答题时间：20分钟）
1. 若函数fx的图象与函数gx=10x的图象关于直线y=x对称，则f100=（ ）
A. 10 B. -1 C. 2 D. -2
2. 若函数为奇函数，则实数的值为（　　）
A. B. C. D.
3. 已知函数f（x）=log2|2x-a|（a∈R）满足f（x+1）=f（1-x），则f（0）=（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1





1. 答案：C
解析：fx与gx关于y=x对称⇒fx为gx的反函数，
∴fx=lgx⇒f100=lg100=2.
2. 答案：B
解析：为奇函数，。
当时，，
又时，，故选B。
3. 答案：B
解析：由于f（x+1）=f（1-x），所以x=1是f（x）图象的对称轴
又y=log2|2x|是偶函数，其图象关于y轴对称
将y=log2|2x|的图象向右平移1个单位，可得f（x）的图象，则a=2
所以f（x）=log2|2x-2|，则有f（0）=log2|-2|=1故选：B




函数的周期性与对称性综合训练

典例一：周期性应用
例题1 （1）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为
f（x）＝则f＋f＝________。
（2）已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）＝2－，且对任意的x都有f（x＋2）＝，则f（2 020）＝________。
（3）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋4）＝f（x－2）。若当x∈[－3,0]时，f（x）＝6－x，则f（919）＝________
答案：（1）；（2）－2－；（3）6
解析：（1）由于函数f（x）是周期为4的奇函数，
所以f＋f＝f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin＝。
（2）由f（x＋2）＝，得f（x＋4）＝＝f（x），所以函数f（x）的周期为4，所以f（2 020）＝f（4）。因为f（2＋2）＝，所以f（4）＝＝－＝－2－。
故f（2 020）＝－2－。
（3）∵f（x＋4）＝f（x－2），∴f（（x＋2）＋4）＝f（（x＋2）－2），即f（x＋6）＝f（x），
∴f（x）是周期为6的周期函数，∴f（919）＝f（153×6＋1）＝f（1）。
又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（1）＝f（－1）＝6，即f（919）＝6.

总结提升：
函数周期的常见结论：
设函数y＝f（x），x∈R，a>0。
（1）若f（x＋a）＝f（x－a），则函数的周期为2a；
（2）若f（x＋a）＝－f（x），则函数的周期为2a；
（3）若f（x＋a）＝，则函数的周期为2a；
（4）若f（x＋a）＝，则函数的周期为2a；
（5）若函数f（x）是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；
（6）若函数f（x）是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.

典例二：对称性应用
例题2　（1）已知函数f（x）满足f（1-x）=f（1+x），当时，函数f（x）单调递减，设a=f（log412）,b=f（log133）,c=f（log39），则a,b,c的大小关系是（ ）
A. a （2）已知函数f（x-1）（x∈R）是偶函数，且函数f（x）的图象关于点（1,0）成中心对称，当x∈[-1,1]时，f（x）=x-1，则f（2019）=（　　）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 2
答案：（1）B （2）D
解析：（1）根据题意，函数fx满足f1-x=f1+x，则函数fx关于直线x=1对称，
又由当时，函数fx单调递减，则函数在1,+∞上单调递增，
又由a=flog412=f-log42=f-12=f52，b=flog133=f-1=f3，
c=flog39=f2，则有c （2）根据题意，函数f（x-1）（x∈R）是偶函数，则函数f（x）的对称轴为x=-1，则有f（x）=f（-2-x），
又由函数f（x）的图象关于点（1,0）成中心对称，则f（x）=-f（2-x），则有f（-2-x）=-f（2-x），即f（x+4）=-f（x），
变形可得f（x+8）=f（x），则函数是周期为8的周期函数，f（2019）=f（3+252×8）=f（3）=-f（-1）=-（-1-1）=2；
故选D。
总结提升：
（1）对称轴常见类型
①
②的图象关于直线对称
③的图象关于直线对称
④的图象关于直线对称
（2）对称中心常见类型
①
②的图象关于点对称
③的图象关于点对称
④的图象关于点对称
（3）周期与对称性的区分
若，则具有周期性；
若，则具有对称性。
“内同表示周期性，内反表示对称性”。


1. 对称性：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：
（1）可利用对称性求得某些点的函数值；
（2）在作图时可作出一侧图象，再利用对称性得到另一半图象；
（3）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；
在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同。
2. 函数周期性：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。
（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值；
（2）图象：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图象可利用周期性进行“复制+粘贴”；
（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在，上单调增（减），则在，上单调增（减）；
（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴（或对称中心），
则存在无数条对称轴，其通式为。
注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法。


（答题时间：30分钟）

1. 函数f（x）满足：①y=f（x+1）为偶函数：②在[1,+∞）上为增函数.若x2>-1，且x1+x2<-2，则f（-x1）与f（-x2）的大小关系是（　　）
A. f（-x1）>f（-x2） B. f（-x1） C. f（-x1）≤f（-x2） D. 不能确定
2. 函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，如图所示，则方程（f（x））2-5f（x）+6=0的所有根之和为（ ）

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
3. 已知函数f（x）在[3,+∞）上单调递减，且f（x+3）是偶函数，则a=f（0.31.1），b=f（30.5），c=f（0）的大小关系是（ ）
A. a>b>c B. b>c>a C. c>b>a D. b>a>c
4. 已知定义在上的奇函数，当时，，则_________。
5. 已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则______。




1. 答案：A
解析：根据题意，函数f（x）满足y=f（x+1）为偶函数，则函数f（x）的对称轴为x=1，则有f（x）=f（2-x），
又由f（x）在[1,+∞）上为增函数，则f（x）在（-∞,1）上为减函数，
若x2>-1，则-x2<1，又由x1+x2<-2，则x1+2<-x2<1，
则有f（x1+2）>f（-x2），又由f（-x1）=f（2+x1），则f（-x1）>f（-x2），故选：A。
2. 答案：A
解析：因为（f（x））2-5f（x）+6=0，所以f（x）=2或3，
由函数y=f（x）的图象得f（x）=2有两个根x1，x2，且两个根关于直线x=2对称，所以x1+x2=2×2=4，
同理f（x）=3的两个根的和为x3+x4=2×2=4，所以方程（f（x））2-5f（x）+6=0的所有根之和为4+4=8故选：A
3. 答案：D
解析：由f（x+3）是偶函数可得其图象的对称轴为x=0，
所以函数f（x）的图象关于直线x=3对称。
又函数f（x）在[3,+∞）上单调递减，所以函数f（x）在（-∞,3]上单调递增。
因为0<0.31.1<30.5<3，所以f0a>c。故选D。
4. 答案：3
解析：因为，又为定义在上的奇函数，所以
5. 答案：
解析：∵f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，
∴f（）＝f（﹣8）＝f（）＝﹣f（）
∵x∈（0，2）时，f（x）＝4x，
∴f（）＝﹣2，
∵f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，
∴f（-2）＝f（﹣2+4）＝f（2），同时f（﹣2）＝﹣f（2），
∴f（2）＝0，
∴f（）+f（2）＝﹣2。
故答案为：﹣2。
函数图象变换

重点
掌握函数图象变换的几种方法
难点
理解图象变换与函数解析式之间的内在联系
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等





1. 画函数图的方法：
（1）描点法：为了通过描少量点就能得到比较准确的图象，常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质进行讨论；
（2）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出图象；
（3）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的函数的要先变形，并注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响。
2. 图象变换
（1）平移变换
①水平平移：y＝f（x±a）（a＞0）的图象，可由y＝f（x）的图象向左（＋）或向右（－）平移a个单位而得到。
②竖直平移：y＝f（x）±b（b＞0）的图象，可由y＝f（x）的图象向上（＋）或向下（－）平移b个单位而得到。
（2）对称变换
①y＝f（－x）与y＝f（x）的图象关于y轴对称。
②y＝－f（x）与y＝f（x）的图象关于x轴对称。
③y＝－f（－x）与y＝f（x）的图象关于原点对称。
④y＝f－1（x）与y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称。
（3）翻折变换
①作为y＝f（x）的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f（x）|的图象。
②作为y＝f（x）在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得到y＝f（|x|）的图象。
（4）伸缩变换
①y＝af（x）（a＞0）的图象，可将y＝f（x）图象上每点的纵坐标伸（a＞1时）缩（a＜1时）到原来的a倍。
②y＝f（ax）（a＞0）的图象，可将y＝f（x）的图象上每点的横坐标伸（a＜1时）缩（a＞1时）到原来的。


典例一：平移变换
例题1 为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象（　　）
A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位
答案：A
解析：（1）∵y＝sin 3x＋cos 3x＝cos
＝cos，

【点拨】解答本题的关键是将原函数化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）的形式，再根据图象平移规律求解。

总结提升：
①左右平移
把函数的全部图象沿轴方向向左（）或向右（）平移个单位即可得到函数的图象
②上下平移
把函数的全部图象沿轴方向向上（）或向下（）平移个单位即可得到函数的图象

典例二：翻折变换
例题2 画出下列函数的图象。
（1） （2）
答案：
（1）
（2）

总结提升：
①关于形如的图象画法：
当时，；当时，。
为偶函数，关于轴对称，即把时的图象画出，然后时的图象与的图象关于轴对称即可得到所求图象。
②关于形如的图象画法
当时，；当时，
先画出的全部图象，然后把的图象轴下方全部关于轴翻折上去，原轴上方的图象保持不变，轴下方的图象去掉不要即可得到所求图象。

典例三：对称变换
例题3 设求函数的解析式及其定义域，并分别作出它们的图象。
答案：

总结提升：
关于轴对称：
关于轴对称：
关于原点对称：

典例四：伸缩变换
例题4 将的图象通过怎样的变换可以得到的图象？
答案：将的解析式变到的解析式，就是将变到4x，因为在这一变化过程中，实质是把x换成6x，所以只需将图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），就可得到的图象。
总结提升：
（1）将函数的全部图象中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到函数的图象。
（2）将函数的全部图象中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长或缩短为原来的倍得到函数的图象。





（答题时间：30分钟）
1. 为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有的点（ ）
A. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
2. 函数的图象大致是（ ）

3. 函数的图象可能是（ ）

4. 函数的图象大致是（ ）

5. 为了得到函数y＝sin（x＋1）的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点（　　）
A. 向左平行移动1个单位长度
B. 向右平行移动1个单位长度
C. 向左平行移动π个单位长度
D. 向右平行移动π个单位长度
6. 将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A. y＝f（x）是奇函数
B. y＝f（x）的周期为π
C. y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
D. y＝f（x）的图象关于点对称




1. 答案：A
2. 答案：C
3. 答案：B
解析：函数定义域为，且，所以函数为偶函数，图象关于轴对称。由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增。故选B。
4. 答案：A
5. 答案：A
解析：根据平移法则“左加右减”可知，将函数y＝sin x的图象上所有的点向左平移1个单位长度，即可得到函数y＝sin（x＋1）的图象。
6. 答案：D
解析：将函数y＝sin x的图象向左平移个单位后，得到函数y＝f（x）＝sin（x＋）的图象，即f（x）＝cos x。由余弦函数的图象与性质知，f（x）是偶函数，其最小正周期为2π，且图象关于直线x＝kπ（k∈Z）对称，关于点（k∈Z）对称，故选D。