新教材人教A版步步高学习笔记【学案+同步课件】章末检测试卷(四)

章末检测试卷(四)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．函数f(x)＝2ax－1－1(a>0，且a≠1)恒过定点(　　)

A．(1，－1)   B．(1,1)

C．(0,1)   D．(0，－1)

答案　B

解析　由题意知，x－1＝0，即x＝1，

此时f(x)＝2a0－1＝1，

所以函数恒过定点(1,1)．

2．函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　由得即1≤x<.

3．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是(　　)

A．[0,1]   B．[1,2]

C．[－2，－1]   D．[－1,0]

答案　D

解析　∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝－1＝－<0，

f(0)＝30－02＝1>0，

∴f(－1)·f(0)<0，∴有零点的区间是[－1,0]．

4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(　　)

A．y＝ax＋b   B．y＝ax2＋bx＋c

C．y＝aex＋b   D．y＝aln x＋b

答案　B

解析　从所给的散点图可看出函数的变化趋势是先增后减，所以该函数模型是二次函数．

5．设a＝20.2，b＝－0.3，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<b<c   B．b<a<c

C．b<c<a   D．c<a<b

答案　D

解析　因为a＝20.2>20＝1，

b＝－0.3＝20.3>20.2，

c＝log0.20.3<log0.20.2＝1，

所以c<a<b.

6．设函数f(x)＝ln(2＋x)－ln(2－x)，则f(x)是(　　)

A．奇函数，且在(0,2)上单调递增

B．奇函数，且在(0,2)上单调递减

C．偶函数，且在(0,2)上单调递增

D．偶函数，且在(0,2)上单调递减

答案　A

解析　依题意，解得－2＜x＜2，即f(x)的定义域为(－2,2)，

因为f(－x)＝ln(2－x)－ln(2＋x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数，

又y＝ln(2＋x)在(0,2)上单调递增，y＝ln(2－x)在(0,2)上单调递减，则y＝－ln(2－x)在(0,2)上单调递增，

所以f(x)在(0,2)上单调递增．

7．函数f(x)＝的图象大致为(　　)

答案　A

解析　当x<1时，1－x>0，f(x)＝>0，故排除B，C；

当x>1时，1－x<0，f(x)＝<0，故排除D.

8.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)

A．{x|－1＜x≤0}

B．{x|－1≤x≤1}

C．{x|－1＜x≤1}

D．{x|－1＜x≤2}

答案　C

解析　令g(x)＝log2(x＋1)，作函数g(x)的图象如图，g(x)的定义域为x>－1，

结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为

{x|－1<x≤1}．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9．设集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{y|y＝lg x}，则下列关系中正确的有(　　)

A．A∪B＝B   B．A∩B＝∅

C．A＝B   D．A⊆B

答案　AD

解析　由题意知集合A＝{x|x>0}，B＝{y|y∈R}，所以A⊆B，A∪B＝B.

10．若直线y＝3a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a可以是(　　)

A．2  B.  C.  D.

答案　CD

解析　由题意，直线y＝3a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，

当0＜a＜1时，y＝|ax－1|的图象如图(1)所示，

由已知得0＜3a＜1，∴0＜a＜；

当a＞1时，y＝|ax－1|的图象如图(2)所示，

由已知可得0＜3a＜1，

∴0＜a＜，结合a＞1可得a无解．

综上可知，a的取值范围为.

11．设f(x)＝若f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值可以是(　　)

A.  B．1  C．－1  D．2

答案　AB

12．对于在函数f(x)定义域内的任意x1，x2(x1≠x2)，当f(x)＝lg x时，下述结论中正确的是(　　)

A．f(0)＝1

B．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)

C．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)

D.＞0

答案　CD

解析　A选项，函数的定义域为(0，＋∞)，故f(0)无意义，错；

B选项，f(x1＋x2)＝lg(x1＋x2)，f(x1)·f(x2)＝lg x1·lg x2，而lg(x1＋x2)≠lg x1·lg x2，错；

C选项，f(x1·x2)＝lg(x1·x2)＝lg x1＋lg x2＝f(x1)＋f(x2)，对；

D选项，f(x)＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，则＞0，对．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知4m＝2，lg x＝m，则x＝________.

答案　

14．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.

答案　1

解析　由f(x)为偶函数及y＝x为奇函数，知y＝ln(x＋)为奇函数，

所以ln(－x＋)＋ln(x＋)

＝ln(a＋x2－x2)＝ln a＝0，

解得a＝1.

15．关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根大于1，另一个根小于1，则a的取值范围是________．

答案　(－∞，2)

解析　设f(x)＝3x2－5x＋a.

由题意知，f(1)<0，

即－2＋a<0，∴a<2.

16．函数y＝f(x)满足(1)定义域为R；(2)偶函数；(3)在(－∞，0)上为减函数．请写出满足上述三个条件的一个函数式________．(开放题，答案不唯一，正确即可)

答案　y＝x2(答案不唯一)

解析　由y＝x2关于y轴对称且定义域为R，在(－∞，0)上为减函数，

所以y＝x2满足题设．

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)(1)计算：＋(lg 5)0＋；

(2)解方程：log3(6x－9)＝3.

解　(1)原式＝＋(lg 5)0＋ ＝＋1＋＝4.

(2)由方程log3(6x－9)＝3得6x－9＝33＝27，

∴6x＝36＝62，∴x＝2.

经检验，x＝2是原方程的解．

∴原方程的解为x＝2.

18．(12分)已知函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m有两个零点，且都大于2，求实数m的取值范围．

解　函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m有两个大于2的零点，即方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0有两个不相等的实数解，且都大于2.

结合图象可知

解得－5<m<－4.

故实数m的取值范围是(－5，－4)．

19．(12分)已知函数y＝log4(2x＋3－x2)．

(1)求函数的定义域；

(2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值．

解　(1)由真数2x＋3－x2>0，

解得－1<x<3，

所以函数的定义域为{x|－1<x<3}．

(2)将原函数分解为y＝log4u，u＝2x＋3－x2两个函数．因为u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4≤4，

所以当x＝1时，u取得最大值4，

又y＝log4u为增函数，

所以y＝log4(2x＋3－x2)≤log44＝1.

所以y的最大值为1，

此时x＝1.

20．(12分)已知定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，当x∈[－1,0]时的解析式为f(x)＝－(a∈R)．

(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式；

(2)求f(x)在[0,1]上的最大值．

解　(1)因为f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，所以f(0)＝0，即1－a＝0，得a＝1.设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]，∴f(x)＝－f(－x)＝－＝2x－4x，即当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－4x.

(2)f(x)＝2x－4x＝－2＋，其中2x∈[1,2]，所以当2x＝1，即x＝0时，f(x)的最大值为0.

21．(12分)某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备．已知购买该新型设备需要3万元，之后每生产x万件产品，还需另外投入原料费及其他费用f(x)万元，产量不同其费用也不同，且f(x)＝已知每件产品的售价为8元，且生产的该产品可以全部卖出．

(1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；

(2)该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？

解　(1)当0＜x＜10时，W(x)＝8x－x2－3＝－x2＋8x－3.

当x≥10时，W(x)＝8x－(9x＋lg x－41)－3＝－x－lg x＋38.

故W(x)＝

(2)当0＜x＜10时，W(x)＝－x2＋8x－3

＝－(x－8)2＋29，

所以当x＝8时，W(x)取得最大值，且最大值为29；

当x≥10时，W(x)＝－x－lg x＋38，此时W(x)单调递减，

所以当x＝10时，W(x)取得最大值，且最大值为27.

综上，当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元．

22．(12分)已知函数f(x)＝1－.

(1)判断函数f(x)在R上的单调性，并用单调性的定义证明；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；

(3)若f(－2x2＋x)＋f(－2x2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围．

解　(1)函数f(x)是增函数，任取x1，x2∈R，不妨设x1＜x2，

f(x1)－f(x2)＝，

∵x1＜x2，

∴＜0，又＋1＞0,＋1＞0，

∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

∴函数f(x)是R上的增函数．

(2)函数f(x)为奇函数，证明如下：

由解析式可得f(x)＝，且定义域为R关于原点对称，

f(－x)＝＝＝－f(x)，

∴函数f(x)是定义域上的奇函数．

(3)f(－2x2＋x)＋f(－2x2－k)＜0等价于f(－2x2＋x)＜－f(－2x2－k)＝f(2x2＋k)，

∵f(x)是R上的增函数，

∴－2x2＋x＜2x2＋k，即4x2－x＋k＞0恒成立，

由Δ＝1－16k＜0，解得k＞.