高中数学新教材同步必修第一册 章末、期中、期末检测试卷

再练一课(范围：5.5～5.6)

1．已知函数f(x)＝sin，则下列结论错误的是(　　)

A．f(x)的最小正周期为π

B．f(x)的图象关于直线x＝对称

C．f(x)的一个零点为

D．f(x)在区间上单调递减

答案　B

解析　函数f(x)＝sin，周期为T＝＝π，故A正确；令2x＋＝＋kπ，k∈Z⇒对称轴为x＝－＋，k∈Z，x＝不是对称轴，故B不正确；令2x＋＝kπ，k∈Z⇒函数零点为x＝－＋，k∈Z，当k＝1时，得到一个零点为；由2x＋∈，k∈Z，得单调递减区间为，k∈Z，区间是其中的一个子区间，故D正确．故选B.

2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(≈1.73)(　　)

A．6平方米  B．9平方米　C．12平方米  D．15平方米

答案　B

解析　如图，由题意可得∠AOB＝，OA＝4，在Rt△AOD中，

可得∠AOD＝，∠DAO＝，

OD＝AO＝×4＝2，

可得矢＝4－2＝2，

由AD＝AO·sin＝4×＝2，

可得弦＝2AD＝2×2＝4，

所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(4×2＋22)＝4＋2≈9平方米．

故选B.

3．已知cos－sin α＝，则sin的值为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　D

解析　∵cos－sin α＝，

∴cos α－sin α＝，cos α－sin α＝，

∴sin＝sin α－cos α＝－.

故选D.

4．函数f(x)＝sin x·cos的图象的一条对称轴方程是(　　)

A．x＝  B．x＝　C．x＝  D．x＝

答案　B

解析　f(x)＝sin x·cos

＝sin x·cos x－sin2x

＝sin 2x－

＝sin 2x＋cos 2x－

＝sin－，

∴f(x)＝sin－，

令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，

解得x＝＋(k∈Z)，k＝0时，x＝，

故选B.

5．已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＋1，则(　　)

A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3

B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4

C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

答案　B

解析　∵f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＋1

＝sin 2x＋cos 2x＋2＝2sin＋2，

∴最大值为4，T＝＝π.

故选B.

6．若sin＝，则cos 2x＝________.

答案　－

解析　由诱导公式得sin＝－cos x＝，

故cos x＝－.

由二倍角公式得cos 2x＝2cos2x－1＝22－1＝－.

7．函数f(x)＝sin x＋cos x在[0，π]上的单调递减区间为________．

答案　

解析　由题意得f(x)＝2sin，

由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，

令k＝0得≤x≤，

因为x∈[0，π]，所以函数的单调递减区间为.

8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 3x的图象，只需将f(x)的图象向右平移________个单位长度．

答案　

解析　∵只与平移有关，没有改变函数图象的形状，

∴ω＝3，

又函数的图象在减区间内与x轴的交点是，

∴3×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.

又|φ|<.

于是φ＝，则f(x)＝sin，

故g(x)＝sin 3x＝sin，

∴函数f(x)的图象要向右平移个单位长度．

9．已知函数f(x)＝4cos xsin＋1，

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

解　(1)f(x)＝4cos xsin＋1

＝4cos x＋1

＝2sin xcos x－2cos2x＋1

＝sin 2x－cos 2x

＝2sin，

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

故函数的单调递增区间为，k∈Z.

(2)因为－≤x≤，所以－≤2x－≤，

当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝2，

当2x－＝－，即x＝－时，f(x)min＝－.

10．己知函数f(x)＝coscos.

(1)求f 的值；

(2)将f(x)的图象上所有点向左平移m(m>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象，若y＝g(x)的图象关于点对称，求当m取最小值时，函数y＝g(x)的单调递增区间．

解　(1)f ＝coscos＝cos cos ＝.

(2)f(x)＝sincos＝sin.

将y＝f(x)向左平移m(m>0)个单位长度，

得到y＝g(x)＝sin.

∵y＝g(x)的图象关于点对称，

∴sin＝0，

∴＋2m＝kπ，k∈Z，∴m＝π－，k∈Z，

∵m>0，∴当k＝1时，m有最小值.

由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得，k∈Z.

∴函数的单调递增区间是，k∈Z.

11．函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为(　　)

A．[2π，4π]   B.

C.   D.

答案　C

解析　由题意得ω＋≥，ω＋<，∴≤ω<，故选C.

12．设ω>0，函数y＝sin－1的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)

A.  B.  C.  D．3

答案　D

解析　∵图象向左平移个单位长度后与原图象重合，

∴是整数个周期，

∴＝kT＝k·，k∈N*，

∴ω＝3k，k∈N*，

又ω>0，

∴ω的最小值是3，故选D.

13．若函数y＝2cos ωx在区间上单调递减，且有最小值1，则ω的值可以是(　　)

A．2  B.  C．3  D.

答案　B

解析　由y＝2cos ωx在上是单调递减的，且有最小值1，则有f ＝1，

即2×cos＝1，cos＝，检验各选项，得出B项符合．故选B.

14．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期是4π，则ω＝________，若f ＝，则cos θ＝________.

答案　　－

解析　∵函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期是＝4π，则ω＝，f(x)＝sin；

若f ＝sin＝cos ＝，

则cos θ＝2cos2－1＝－.

15．函数f(x)＝sincos＋cos2x－log2|x|－的零点个数为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　B

解析　由已知f(x)＝sincos＋cos2x－log2|x|－

＝cos 2x＋－log2|x|－

＝cos 2x－log2|x|，

令f(x)＝0，即cos 2x＝log2|x|，

在同一坐标系中画出函数y＝cos 2x和y＝log2|x|的图象，

如图所示，两个函数图象有两个不同的交点，

所以函数f(x)的零点个数为2，故选B.

16．已知函数f(x)＝cos x＋m(m∈R)，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象，且y＝g(x)在区间内的最小值为.

(1)求m的值；

(2)在锐角三角形ABC中，若g＝－＋，求sin A＋cos B的取值范围．

解　(1)∵f(x)＝cos x(sin x－cos x)＋m

＝sin 2x－cos 2x＋m－

＝sin＋m－.

∴g(x)＝sin＋m－

＝sin＋m－.

∵x∈，则2x＋∈.

当2x＋＝时，g(x)在上取得最小值＋m－＝，

解得m＝.

(2)∵g＝sin＋－＝－＋，

∴sin＝，

∵C∈，则C＋∈，

∴C＋＝，即C＝.

∴sin A＋cos B＝sin A＋cos

＝sin A－cos A＋sin A＝sin A－cos A

＝sin.

∵△ABC是锐角三角形，

则解得<A<.

∴A－∈，

∴<sin<，

即<sin<.

∴sin A＋cos B的取值范围是.