2020年高中数学新教材同步必修第一册期末检测试卷(二)

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这是一份人教A版 (2019)必修第一册全册综合课后复习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．已知集合A＝{x|1

A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]

答案 D

解析 ∵A＝{x|1

∴A∩B＝{x|1

2．命题：“∀x∈(－1,1)，都有x2<1”的否定是( )

A．∀x∈(－1,1)，都有x2≥1

B．∀x∉(－1,1)，都有x2≥1

C．∃x∈(－1,1)，使得x2≥1

D．∃x∉(－1,1)，使得x2≥1

答案 C

解析命题是全称量词命题，则否定是存在量词命题，即

∃x∈(－1,1)，使得x2≥1.

3．函数f(x)＝eq \r(x＋3)＋eq \f(1,x＋1)的定义域为( )

A．{x|x≥－3且x≠－1}B．{x|x>－3且x≠－1}

C．{x|x≥－1}D．{x|x≥－3}

答案 A

解析要使f(x)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3≥0，,x＋1≠0，))

解得x≥－3，且x≠－1，

∴f(x)的定义域为{x|x≥－3，且x≠－1}．

4．半径为3，圆心角为150°的扇形的弧长为( )

A.eq \f(2π,3) B．2π C.eq \f(5π,6) D.eq \f(5π,2)

答案 D

解析设扇形的弧长为l，因为150°＝eq \f(5π,6) rad，

所以l＝|α|×r＝eq \f(5π,6)×3＝eq \f(5π,2).

5．sin 140°cs 10°＋cs 40°sin 350°等于( )

A.eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)

答案 C

解析 sin 140°cs 10°＋cs 40°sin 350°

＝sin 40°cs 10°－cs 40°sin 10°

＝sin(40°－10°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).

6．函数f(x)＝sin 2x＋eq \r(3)cs 2x的最小正周期为( )

A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C．π D．2π

答案 C

解析 ∵f(x)＝sin 2x＋eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，

∴最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.

7．函数f(x)＝lg3x＋x3－9的零点所在区间是( )

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

答案 C

解析 ∵f(2)＝lg32－1<0，

f(3)＝lg33＋27－9＝19>0，

∴f(2)·f(3)<0，∴函数在区间(2,3)上存在零点．

8．当0≤x≤2时，若a

A．(－∞，－1] B．(－∞，0]

C．(－∞，0) D．(－∞，－1)

答案 D

解析当0≤x≤2时x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，

所以a<－1.

9．函数x＝ln π，y＝lg52，z＝，则x，y，z的大小关系为( )

A．x

C．y

答案 C

解析 x＝ln π>ln e＝1，y＝lg52

z＝eq \f(1,\r(e))>eq \f(1,\r(4))＝eq \f(1,2)，且z<1，故y

10．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为( )

A．－e B．－eq \f(1,e) C．e D.eq \f(1,e)

答案 D

解析 ∵函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，

∴函数f(x)＝ln x，

∵函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，

∴函数g(x)＝－ln x，

∵ g(a)＝1，即－ln a＝1，

∴ a＝eq \f(1,e).

11．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，则“φ＝eq \f(π,6)”是“g(x)为偶函数”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案 A

解析因为函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度后得到函数g(x)的图象，

所以g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋φ＋\f(π,3)))，

因为g(x)为偶函数，

所以φ＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，即φ＝eq \f(π,6)＋kπ(k∈Z)，

因为φ＝eq \f(π,6)可以推导出函数g(x)为偶函数，而函数g(x)为偶函数不能推导出φ＝eq \f(π,6)，

所以“φ＝eq \f(π,6)”是“g(x)为偶函数”的充分不必要条件．

12．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)相邻两条对称轴间的距离为eq \f(3π,2)，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝0，则下列说法正确的是( )

A．ω＝2

B．函数y＝f(x－π)是偶函数

C．函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))对称

D．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))上单调递增

答案 D

解析由题意可得，函数f(x)的最小正周期为T＝2×eq \f(3π,2)＝3π，则ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2,3)，故A错误；

当x＝eq \f(π,2)时，ωx＋φ＝eq \f(2,3)×eq \f(π,2)＋φ＝kπ，

解得φ＝kπ－eq \f(π,3)(k∈Z)，

∵0<φ<π，故取k＝1时，φ＝eq \f(2π,3)，

∴函数的解析式为f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋\f(2π,3)))，

y＝f(x－π)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x－π＋\f(2π,3)))＝2sineq \f(2,3)x，

函数为奇函数，故B错误；

f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)×\f(3π,4)＋\f(2π,3)))＝2sineq \f(7π,6)≠0，

则函数y＝f(x)的图象不关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))对称，故C错误；

当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))时，eq \f(2,3)x＋eq \f(2,3)π∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，

故函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))上单调递增，故D正确．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．lg24＋lg42＝________.

答案 eq \f(5,2)

解析根据题干得到lg24＋lg42＝2＋＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).

14．设x>0，y>0，x＋y＝4，则eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)的最小值为________．

答案 eq \f(9,4)

解析 ∵x＋y＝4，

∴eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))(x＋y)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(y,x)＋\f(4x,y)))，

又x>0，y>0，

则eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y)≥2eq \r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当\f(y,x)＝\f(4x,y)，即x＝\f(4,3)，y＝\f(8,3)时取等号))，

则eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)≥eq \f(1,4)×(5＋4)＝eq \f(9,4).

15．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝3x－1(－3

答案 eq \f(1,3)

解析 ∵f(x)＝f(x＋3)，

∴y＝f(x)表示周期为3的函数，

∴f(2 019)＝f(0)＝3－1＝eq \f(1,3).

16．已知关于x的不等式ax2－bx－c>0的解集是(－2,1)，则不等式cx2－bx－a>0的解集是________．

答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1

解析由ax2－bx－c>0的解集是(－2,1)可知－2和1是方程ax2－bx－c＝0的两根且a<0，

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝－1，,－\f(c,a)＝－2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－a，,c＝2a，))

cx2－bx－a>0⇔2ax2＋ax－a>0，a<0

⇒2x2＋x－1<0⇒x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))).

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知p：eq \f(1,x)<1，q：x2－3ax＋2a2<0(其中a为常数，且a≠0)，

(1)若p为真，求x的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．

解 (1)由eq \f(1,x)<1，得x>1或x<0，

即命题p是真命题时x的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．

(2)由x2－3ax＋2a2<0得(x－a)(x－2a)<0，

若a>0，则a

若a<0，则2a

若p是q的必要不充分条件，

则q对应的集合是p对应集合的真子集，

若a>0，则满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,a≥1，))得a≥1，

若a<0，满足条件．

即实数a的取值范围是a≥1或a<0.

18．(12分)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≤0，,lg2x＋1，x>0.))

(1)作出函数f(x)的图象，并写出单调区间；

(2)若函数y＝f(x)－m有两个零点，求实数m的取值范围．

解 (1)画出函数f(x)的图象，如图所示：

由图象得f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增．

(2)若函数y＝f(x)－m有两个零点，

则f(x)和y＝m有2个交点，

结合图象得1

19．(12分)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(1,3)，其中0<α

(1)求sin 2β的值；

(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值．

解 (1)因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)(sin β－cs β)＝eq \f(1,5)，

所以sin β－cs β＝eq \f(\r(2),5)，

所以(sin β－cs β)2＝sin2β＋cs2β－2sin βcs β＝1－sin 2β＝eq \f(2,25)，

所以sin 2β＝eq \f(23,25).

(2)因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(1,3)，

其中0<α

所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(2\r(6),5)，sin(α＋β)＝eq \f(2\r(2),3)，

所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))

＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))×eq \f(2\r(6),5)＋eq \f(2\r(2),3)×eq \f(1,5)＝eq \f(2\r(2)－\r(6),15).

20．(12分)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－2sin2x＋1.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．

解 (1)f(x)＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cs 2x＋cs 2x

＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).

所以f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π.

(2)因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6))).

当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,6)时，f(x)取得最大值1；

当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(7π,6)，即x＝eq \f(π,2)时，f(x)取得最小值－eq \f(1,2).

21．(12分)2018年是中国改革开放40周年，改革开放40年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进人新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌，40年来我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设，郑州市政府也越来越重视生态系统的重建和维护，若市财政下拨一项专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x(单位：百万元)的函数M(x)(单位：百万元)：M(x)＝eq \f(50x,10＋x)，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x(单位：百万元)的函数N(x)(单位：百万元)：N(x)＝0.2x.

(1)设分配给植绿护绿项目的资金为x(百万元)，则两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y，写出y关于x的函数解析式和定义域；

(2)生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？

解 (1)由题意可得处理污染项目投放资金为(100－x)百万元，

所以N(x)＝0.2(100－x)，

所以y＝eq \f(50x,10＋x)＋0.2(100－x)，x∈[0,100]．

(2)由(1)可得，

y＝eq \f(50x,10＋x)＋0.2(100－x)＝70－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(500,10＋x)＋\f(x,5)))＝72－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(500,10＋x)＋\f(10＋x,5)))≤72－20＝52，

当且仅当eq \f(500,10＋x)＝eq \f(10＋x,5)，即x＝40时等号成立．

此时100－x＝100－40＝60.

∴y的最大值为52百万元，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40百万元，60百万元．

22．(12分)已知函数f(x)＝lg4(2x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数．

(1)求k的值；

(2)若函数g(x)＝＋m·4x－1，x∈[0，lg25]，是否存在实数m使得g(x)的最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

解 (1)由题意，函数f(x)是偶函数可得f(－x)＝f(x)，

所以lg4(2x＋1)＋kx＝lg4(2－x＋1)－kx，

即lg4eq \f(2x＋1,2－x＋1)＝－2kx，即eq \f(1,2)x＝－2kx对一切x∈R恒成立，

解得k＝－eq \f(1,4).

(2)由(1)知，g(x)＝2x＋m·4x，

令t＝2x∈[1,5]，则h(t)＝mt2＋t，

①当m＝0时，h(t)＝t在[1,5]上单调递增，

∴h(t)min＝h(1)＝1，不符合题意；

②当m>0时，h(t)图象的对称轴t＝－eq \f(1,2m)<0，

则h(t)在[1,5]上单调递增，

∴h(t)min＝h(1)＝0，∴m＝－1(舍);

③当m<0时，h(t)图象的对称轴t＝－eq \f(1,2m)，

(ⅰ)当－eq \f(1,2m)<3，即m<－eq \f(1,6)时，

h(t)min＝h(5)＝0，

∴25m＋5＝0，∴m＝－eq \f(1,5)；

(ⅱ)当－eq \f(1,2m)≥3，即－eq \f(1,6)≤m<0时，

h(t)min＝h(1)＝0，

∴m＋1＝0，∴m＝－1(舍)，

综上，存在m＝－eq \f(1,5)使得g(x)的最小值为0.