人教A版人教A版(2019)数学必修第一册三角函数的应用学案

三角函数的应用

核心知识点一：描述简谐运动的物理量

在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数中的常数有关：

A：它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅；

T:，它是做简谐运动的往复运动一次所需要的时间，称为周期；

f:，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率；

：称为相位；

：x=0时的相位称为初相

核心知识点二：利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤

第一步：阅读理解，审清题意。

读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题。

第二步：收集、整理数据，建立数学模型。

根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化。

第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答。

第四步：将所得结论转译成实际问题的答案。

例题1  已知电流I与时间t的关系为I＝Asin（ωt＋φ）。

（1）如图所示的是I＝Asin（ωt＋φ）（ω>0，|φ|<）在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin（ωt＋φ）的解析式；

（2）如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin（ωt＋φ）都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

解：（1）由图可知A＝300，设t1＝－，t2＝，

则周期T＝2（t2－t1）＝2＝。

∴ω＝＝150π。

又当t＝时，I＝0，即sin＝0，

而|φ|<，∴φ＝。

故所求的解析式为I＝300sin。

（2）依题意知，周期T≤，即≤（ω>0），

∴ω≥300π>942，又ω∈N*，

故所求最小正整数ω＝943。

总结提升：

此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径。

例题2  某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟。如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：

（1）当此人第四次距离地面米时用了多少分钟？

（2）当此人距离地面不低于（59＋）米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？

解：（1）如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t分钟时距地面y米，则α＝t＝t。

由y＝108－－cost

＝－49cost＋59（t≥0）。

令－49cost＋59＝，得cost＝，

∴t＝2kπ±，

故t＝18k±3，k∈Z，故t＝3，15，21，33。

故当此人第四次距离地面米时用了33分钟。

（2）由题意得－49cost＋59≥59＋，

即cost≤－。

故不妨在第一个周期内求即可，

所以≤t≤，解得≤t≤，

故－＝3。

因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌。

总结提升：解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：

（1）认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；

（2）建立三角函数模型，将实际问题数学化；

（3）利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；

（4）根据实际问题的意义，得出实际问题的解；

（5）将所得结论返回、转译成实际问题的答案。

例题3  据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低，为5千元，则7月份的出厂价格为____________元。

答案：6000

解析：作出函数简图如图：

三角函数模型为y＝Asin（ωx＋φ）＋B，

由题意知A＝（9000－5000）＝2000，B＝7000，

T＝2×（9－3）＝12，

∴ω＝＝。

将（3,9000）看成函数图象的第二个特殊点，

则有×3＋φ＝，∴φ＝0，

故f（x）＝2000sinx＋7000（1≤x≤12，x∈N*）。

∴f（7）＝2000×sin＋7000＝6000（元）。

故7月份的出厂价格为6000元。

总结提升：

三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题。

1. 三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型。三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象（运动）有着广泛的应用。

2. 三角函数模型构建的步骤

（1）收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象。

（2）制作散点图，选择函数模型进行拟合。

（3）利用三角函数模型解决实际问题。

（4）根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验。

（答题时间：40分钟）

1. 如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是（　　）

A. 该质点的振动周期为0.7 s

B. 该质点的振幅为－5 cm

C. 该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大

D. 该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零

2. 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f（x）的解析式为（　　）

A. f（x）＝2sin＋7（1≤x≤12，x∈N*）

B. f（x）＝9sin（1≤x≤12，x∈N*）

C. f（x）＝2sinx＋7（1≤x≤12，x∈N*）

D. f（x）＝2sin＋7（1≤x≤12，x∈N*）

3. 商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F（t）＝50＋4sin（t≥0），则人流量是增加的时间段为（　　）

A. [0，5]  B. [5，10]

C. [10，15]  D. [15，20]

4. 如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系y＝Asin（ωx＋φ）＋2，则有（　　）

A. ω＝，A＝3    B. ω＝，A＝3

C. ω＝，A＝5    D. ω＝，A＝5

5. 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（　　）

A. 5     B. 6      C. 8      D. 10

6. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin（100πt＋），那么单摆来回摆一次所需的时间为（　　）

A. s    B. s     C. 50 s      D. 100 s

7. 电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I＝Asin（ωt＋）（A>0，ω≠0）的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是________安。

8. 设某人的血压满足函数式p（t）＝115＋25sin（160πt），其中p（t）为血压（mmHg），t为时间（min），则此人每分钟心跳的次数是________。

9. 下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h（m）在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为________________。

10. 如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b（0<φ<）。

（1）求这一天的最大用电量及最小用电量；

（2）写出这段曲线的函数解析式。

1. 答案：D

解析：该质点的振动周期为T＝2×（0.7－0.3）＝0.8（s），故A是错误的；该质点的振幅为5 cm，故B是错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，故C是错误的。故选D。

2. 答案：A

解析：令x＝3可排除D，令x＝7可排除B，由A＝＝2可排除C。

或由题意，可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×（7－3）＝8，∴ω＝。

∴f（x）＝2sin＋7。

∵当x＝3时，y＝9，

∴2sin＋7＝9，即sin＝1。

∵|φ|＜，∴φ＝－。

∴f（x）＝2sin＋7（1≤x≤12，x∈N*）。

3. 答案：C

解析：由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z知，函数F（t）的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z。当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C。

4. 答案：A

解析：由题目可知最大值为5，所以5＝A×1＋2⇒A＝3。

T＝15 s，则ω＝。故选A。

5. 答案：C

解析：由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5。

∴ymax＝k＋3＝8。

6. 答案：A

7. 答案：5

解析：由图象可知A＝10，

周期T＝2×（－）＝，

∴ω＝＝100π，∴I＝10sin（100πt＋），

当t＝秒时，I＝10sin（2π＋）＝5（安）。

8. 答案：80

解析：T＝＝（分），f＝＝80（次/分）。

9. 答案：h＝－6sin t，t∈[0，24）

解析：根据题图设h＝Asin（ωt＋φ），则A＝6，T＝12，＝12，∴ω＝。点（6，0）为“五点”作图法中的第一点，∴×6＋φ＝0，∴φ＝－π，∴h＝6sin（t－π）＝－6sin t，t∈[0，24）。

10. 解：（1）最大用电量为50万kW·h，

最小用电量为30万kW·h。

（2）观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin（ωx＋φ）＋b的半个周期的图象，

∴A＝×（50－30）＝10，b＝×（50＋30）＝40。

∵×＝14－8，

∴ω＝。∴y＝10sin＋40。

将x＝8，y＝30代入上式，

又∵0<φ<，∴φ＝。

∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8，14]。