人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理复习练习题

专题01 基础巩固 + 技能提升

【基础巩固】

1. （2021·河南南阳期末）如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，则小正方形的边长为（    ）

A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm

2. 已知三角形的三边长a、b、c满足＋ ＋|c－|＝0，则三角形的形状是（    ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定

3.（2021·山西临汾市期末）如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ）

A． B． C． D．

4.（2020·河南南阳期末）《九章算术》奠定了中国传统数学的基本框架，是中国古代最重要的数学著作之一．其中第九卷《勾股》章节中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”．意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子底部3尺远，问原处还有多高的竹子？（备注：1丈尺）这个问题的答案是（　　　）

A．4尺 B．4.5尺 C．4.55尺 D．5尺

5．（2021·福建泉州市期末）如图，等腰中，，，点D是底边的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E、F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为（      ）

A．6 B．8 C．10 D．12

6.（2021·平顶山市期末）如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（    ）．

A．6 B．12 C．16 D．18

7．（2021·开封市期末）若的三边长a、b、c满足，那么是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．钝角三角形

8.（2021·福建厦门市期末）为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中为中心，，，，是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线上与点相距处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9. （2020·南阳期末）如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心、正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是__________．

10．（2021·洛阳市期末）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，，点在边上，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长是______cm．

11.（2021·江苏镇江市期末）如图，在中，，点在射线上，且，则_______．

12. （2021·重庆期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm．

13.（2019·江苏徐州市期中）如图的实线部分是由 Rt△ABC 经过两次折叠得到的，首先将 Rt△ABC 沿 BD 折叠，使点 C落在斜边上的点 C′处，再沿 DE 折叠，使点 A 落在 DC′的延长线上的点 A′处．若图中∠C=90°，DE=3cm，BD=4cm，则 DC′的长为_____.

14.（2019·吉林长春市月考）如图，一棵大树在一次强烈的台风中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，则大树在折断之前高为___________米．

15.（2021·江苏镇江市期末）如图，平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“格点”，如：

点A、点B．请利用图中的“格点”完成下列作图或解答．

（1）点A的坐标为      ；

（2）在第三象限内标出“格点”C，使得CA=CB；

（3）在（2）的基础上，标出“格点”D，使得△DCB≌△ABC；

（4）点E是y轴上一点，连接AE、BE，当AE+BE取最小值时，点E的坐标为      ．

16.（2020·成都月考）如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是重庆市第九十四中学，AP＝160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．

（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．

（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？

17.（2021·社旗县月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

（1）求的度数．

（2）海港受台风影响吗？为什么？

（3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？

18.（2021·新乡市期末）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？

19.（2020·长春市期末）已知长方形纸片ABCD，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．

（1）△BEF是等腰三角形吗？若是，请说明理由；

（2）若AB=4，AD=8，求BE的长．

20. 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．

请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：

（1）如图②．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AC=3，BC=4，求CD的长；

（2）如图③．在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点P在AD上，点M在AC上．若AC=6，BC=8，则PC+PM的最小值为　　．

21.阅读理解：

（问题情境）

教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？

（探索新知）

从面积的角度思考，不难发现：

大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．

从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．

（初步运用）

（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝　　；

（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为　　；

（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．

（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　　．

（迁移运用）

如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？

带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．

知识补充：

如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．

22．（2020·四川成都市期中）如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找或的长度，显然是转化为求或的斜边长．

下面：以求为例来说明如何解决：

从坐标系中发现：，．所以，，所以由勾股定理可得：．

下面请你参与：

（1）在图①中：________，________，________．

（2）在图②中：设，，试用，，，表示________，________，________．

（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：已知：，，为坐标轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形．请求出点的坐标．

【拓展提升】

1. （2021·重庆渝北区期末）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理（如图），若的斜边，，则图中线段的长为______．

2.（2020·浙江嘉兴市期末）如图，内有一定点P，且，在上有一动点Q，上有一动点R，若周长最小，则最小周长是___________．

3．（2021·浙江湖州市期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若图2中阴影部分的面积是5，则两个较小正方形重叠部分的面积为____.

4．（2021·浙江宁波期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，点在轴上运动，以为边作等腰，（点，，呈顺时针排列），当点在轴上运动时，点也随之运动．在点的运动过程中，的最小值为______．

5．（2021·江苏扬州市期末）如图，和都是等腰直角三角形，若∠ACB=∠DCE=90°，，，则______．

6.（2020·湖北武汉市期末）如图，在中，，，平分交于，于，交的延长线于，连接，给出四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．（2020·达州市期中）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为60m，现有一卡车在公路MN上以10km/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音声的影响，请你算出该学校受影响的时间为多长？

8.（2021·福建泉州市期末）如图，中，是边上的高，将沿所在的直线翻折，使点落在边上的点处．

（1）若，求的面积；

（2）求证：．

9.（2020·浙江绍兴市）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”.

（1）判断下列两个命题是真命题还是假命器（填“真”或“假”）

①等边三角形必存在“和谐分割线”

②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”．

命题①是_______命题，命题②是______命题；

（2）如图2，．，，，试探索是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度：若不存在，请说明理由．

10.（2020·南通市）如图，△ABC中，AB＝6cm，AC＝4cm，BC＝2cm，点P以1cm/s的速度从点B出发沿边BA→AC运动到点C停止，运动时间为ts，点Q是线段BP的中点．

（1）若CP⊥AB时，求t的值；

（2）若△BCQ是直角三角形时，求t的值；

11.（2020·福建泉州市月考）如图，中，，，，若动点P从点C开始，以每秒2个单位的速度按的路径运动一周．设出发的时间为t秒．

（1）若秒时，求的周长．

（2）若是直角三角形，请直接写出时间t的取值范围．

（3）是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，求出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

12.（2019·福建省福州期中）大家见过形如x+y＝z，这样的三元一次方程，并且知道x＝3，y＝4，z＝7就是适合该方程的一个正整数解，法国数学家费尔马早在17世纪还研究过形如x2+y2＝z2的方程．

（1）请写出方程x2+y2＝z2的两组正整数解：　   　．

（2）研究直角三角形和勾股数时，我国古代数学专著（九章算术）给出了如下数：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），（其中m＞n，m，n是奇数），那么，以a，b，c为三边的三角形为直角三角形，请你加以验证．

13．（2020·浙江期末）如图1，在中，，．点D在边AB上，，且，CE交边AB于点F，连接BE．

（1）若，，求线段AD的长；

（2）如图2，若，求的度数；

（3）若，写出线段AC，CD，BE长度之间的等量关系，并说明理由．

14．（2021·四川成都期末）如图，已知等边，点是边上的一点，连接，以为边在右侧作等边，连接．

（1）求证：；

（2）若，时，求的长；

（3）过点作，交于点，若，试判断的形状，并说明理由．

15．（2021·浙江杭州期末）如图，在中，，，．

（1）求BC边上的高线长；

（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将折叠得到，连接PA、PE、PF．

①如图2，当时，求AP的长；

②如图3，当点P落在BC上时，求证：．