人教版八年级下册第十六章 二次根式综合与测试巩固练习

专题01 二次根式及其运算知识讲义

【相关概念】

二次根式：

形如（a≥0）的式子叫做二次根式.

a为被开方数，a可以是数字或代数式.

代数式：

含有字母的数学表达式称为代数式.

整式、分式均为代数式.

最简二次根式：

1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

2、被开方数的因数是整数，因式是整式.

同类二次根式：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.

【二次根式运算】

乘法

（a≥0，b≥0）

除法

（a≥0，b＞0）

加（减）法

先把各根式化成最简根式，再合并同类根式

分母有理化

【二次根式性质】

双重非负性：≥0，a≥0

非负数：|a|，a2n，

【二次根式应用】

因式的内移和外移：

（1）负号不能移到根号下；（2）根号下的负号不能移到根号外.

【题型一】二次根式有意义条件

例1. （2020·河北承德市期末）若有意义，则m能取的最小整数值是（    ）

A．m = 0 B．m = 1 C．m = 2 D．m = 3

例2. （2020·上海市静安区）如果，那么x的取值范围是_______．

例3．（2019·北京期末）如果，那么的取值范围是______.

【题型二】同类二次根式

例4. （2020·上海市期中）如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是________．

例5. 若两个最简二次根式与能够合并，则_________．

例6. 最简二次根式与是同类二次根式，则＝________．

【题型三】变式考查

例7. （2020·浙江宁波市期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（    ）

A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数

例8. （1）已知是整数，求自然数所有可能的值；

（2）已知是整数，求正整数的最小值．

例9．（2020·四川武外月考）若，则x=__________．

【题型四】二次根式运算

例10．（2020·南通市月考）一个等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的周长为(       )

A． B．

C．或 D．无法确定

例11．计算：．

例12．（2020·福建省泉州月考）已知，x的整数部分为a，小数部分为b，求的值．

例13．（2020·广东佛山市月考）先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：

  ，请完成下列问题：

(1)的有理化因式是           ；

(2)化去式子分母中的根号：               ．（直接写结果）

(3)      （填或）

(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：

例14. 若a，b都是正整数，且a＜b，与是可以合并的二次根式，是否存在a，b，使＋＝？若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

例15．（2019·辽宁大连市期中）[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：

           ；

           ；

            ；

……

[发现]根据你的阅读回答下列问题：

（1）请根据上面式子的规律填空：

            （n为正整数）；

（2）请证明(1) 中你所发现的规律．

[应用]请直接写出下面式子的结果：

       ．

【题型五】化简求值

例16. （2021·江苏南通市期末）化简的结果是（    ）

A． B． C． D．1

例17．（2020·浙江杭州期中）实数a，b在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ）

A． B． C． D．

例18．若数轴上表示数的点在原点的左边，则化简的结果是（    ）

A． B． C． D．

例19．（2020·温州月考）下列四个式子中，与的值相等的是（   ）

A． B． C． D．

例20．下列给出的四个命题：

①若 ，则；②若a2﹣5a+5=0，则 ；

③

其中是真命题是            

【题型六】阅读材料

例21．（2021·北京延庆区期末）我们规定用（a，b）表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（a ＞ 0，b ＞ 0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．

例如：（4，1）的一对“对称数对”为（，1）和（1，）；

（1）数对（9，3）的一对“对称数对”是         ；

（2）若数对（3，y）的一对“对称数对”相同，则y的值为        ；

（3）若数对（x，2）的一个“对称数对”是（，1），则x的值为        ；

（4）若数对（a，b）的一个“对称数对”是（，），求ab的值．

例22. 阅读理解：

 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．

 例如：化简．

 解：将分子、分母同乘以得：．

  类比应用：

 （1）化简：               ；

 （2）化简：                ．

  拓展延伸：

  宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．

（1）黄金矩形ABCD的长BC=             ；

（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；

（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为            ．

例23. （2019·四川月考）阅读下列材料，然后回答问题．

①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab  3 ，求 a2   b2 ．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y  ab ，则 a 2  b2  (a  b)2  2ab  x2 2y  4 610．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．

（1）计算：

（2）已知 m 是正整数， a ，b 且 2a2 1823ab  2b2  2019 ．求 m．

（3）已知，则的值为     

例24.（2020·湖南怀化市期末）同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：，反之，，∴，∴

求：（1）；

（2）；

（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．

例25．（2020·安徽安庆市）阅读理解题，下面我们观察：

反之，

所以，所以

完成下列各题：

（1）在实数范围内因式分解：；

（2）化简：；

（3）化简：．