数学八年级下册18.2.1 矩形复习练习题

这是一份数学八年级下册18.2.1 矩形复习练习题，文件包含专题05矩形与折叠重点知识及与中点相关题型基础巩固+技能提升解析版docx、专题05矩形与折叠重点知识及与中点相关题型基础巩固+技能提升原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。

专题05 基础巩固 + 技能提升
【基础巩固】
1.（2020·贵州毕节期末）如图，将矩形纸片沿其对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点，若，，则图中阴影部分的周长为（ ）

A．10 B．13 C．17 D．20
【答案】D.
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，
∵∠B′EC=∠DEA，
∴△AED≌△CEB′
∴EA=EC，
阴影部分的周长=AD+DE+EA+EB′+B′C+EC
=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C
=AD+DC+AB′+B′C
=3+7+7+3
=20，
故答案为：D．
2．（2021·广东深圳市期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G．下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④AD2＋AE2＝4AG2，其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C.
【解析】解：连接EC，

∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，故①正确；
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAC=2∠FAE，
∵∠FAC=∠B+∠ACB，
∴∠FAE=∠B，
∴AE∥BC，故②正确；
∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴CD=BD，
∴AE=CD，
∵AE∥BC，∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AC=DE，AG=CG，DG=EG，
∴DG=AG=CG=EG，
在Rt△AED中，AD2+AE2=DE2=AC2=(2AG)2=4AG2，故④正确；
∵AE=BD=BC，AG=AC，
∴AG=AE错误（已知没有条件AC=BC），故③错误；
即正确的个数是3个，
故答案为：C．
3．（2021·西安市第二十三中学九年级开学考试）如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，将矩形沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，则的长为（ ）

A．9 B．8 C． D．
【答案】D.
【解析】解：∵DC＝3DE＝9，
∴DE＝3，CE＝6，
由翻折得，PE＝CE，FP＝FC，∠EPF＝∠C＝90°，∠CFE＝∠PFE，
在Rt△DPE中，∠DPE＝30°，∠DPF＝∠EPF+∠DPE＝90°+30°＝120°，
∵AD∥BC，
∴∠CFP＝180°﹣∠DPF＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CFE＝∠CFP＝30°，
∴EF＝2CE＝2×6＝12，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得，FC＝＝＝6=FP．
故答案为：D．
4．（2020·浙江杭州月考）如图，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点A落在边上的点A处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点P、Q分别在、边上移动，则当最小时其值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A.
【解析】解：由折叠可知： 当Q与D重合时，A1B最小，A1D=AD=10，
由勾股定理，得：A1C==8，
∴A1B=10-8=2，
故答案为：A．
5．（2019·常熟市月考）矩形纸片ABCD中，，，将矩形纸片ABCD折叠当B点与D点重合时，试求面积_____．

【答案】.
【解析】解：连接BN，

由折叠的性质得：BM=DM，
∵AD=2，AB=4
设BM=x，则AM=4-x，
在Rt△ADM中，由勾股定理可得：（4-x）2+22=x2，
解得：x=2.5，
∴BM=DM=2.5，
∴S=；
故答案为：．
6．（2020·浙江义乌市月考）如图，将一张长方形纸片折叠．若为x度，则的度数为___________度．（请用关于x的代数式表示）

【答案】.
【解析】解：由长方形性质可知：AD∥BC，∠B=∠E=90°，

∴∠DFG=∠BGE，
由折叠可知：∠AGB=∠AGE=∠α，
∴∠AFE=∠DFG=∠BGE=2∠α，
∵∠1=x°，
∴∠AFE=90°-x°，
即2∠α=90°-x°，
∴∠α=，
故答案为：．
7．（2021·山东威海市期末）（知识衔接）
（1）长方形的对角线相等且互相平分；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（问题解决）如图，在中，，于点，为的中点，连结，．下列结论：

①；②；③S四边形DEBC；④．正确的是_______
【答案】①②③.
【解析】解：∵F为CD的中点，
∴CD=2CF
∵CD=2AD，AD=BC
∴CF=BC=AD
∴∠CFB=∠CBF
∵AB∥CD
∴∠CFB=∠ABF
∴∠ABF=∠CBF
∴∠ABC=2∠ABF，故①正确；
延长EF与BC的延长线相交与点G，

∵AD∥BC，BE⊥AD
∴∠DEF=∠G，BE⊥BG
∴△DEF≌△CGF
∴EF=GF
在Rt△EBG中，EF=BF，故②正确；
∵BF是△BEG的中线
∴S△BEG=2S△BEF
又S△DEF=S△CFG
∴S四边形DEBC=S△BEC
∴S四边形DEBC=2S△BEF，故③正确；
设∠DEF=x，
∵AD∥BC
∴∠DEF=∠G=x，
由FG=FB知∠G=∠FBG=x，
∴∠EFB=2x，∠CFB=∠CBF=x，
∴∠CFE=∠CFB+∠BFE=3x=3∠DEF，故④错误；
故答案为：①②③．
8．（2021·江西吉安期末）如图，矩形中，，， E，F分别是和的中点，P是上的点，则 的最小值为 ___________ ．

【答案】10．
【解析】解： F是BC的中点，点B关于EF的对称点是C点，连接AC与EF交于点P，则此时AC即为AP+BP的最小值，

∵AB=8，AD=6
由勾股定理得：AC=10，
故答案为：10．
9．（2020·浙江杭州期中）如图，矩形全等于矩形，点C在上，连接，点H为的中点，若，，则的长为__________．

【答案】.
【解析】解：连接GH并延长交CD于Q

∵矩形ABCD全等于矩形BEFG，
∴AB=CD=BG=20，BC=FG=12，EG∥AE∥CD
∴∠HFG=∠HDQ
∵点H为DF的中点，
∴HF=DH，
∴△FHG≌△DHQ
∴DQ=FG=12，GH=QH，CG=8，CQ=8
∴△GCQ是等腰直角三角形，
∴GQ=，
在Rt△GCQ中，GH=QH，
∴CH=，
故答案为：．
10．（2019·云南玉溪市期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，对角线，点E、F分别是BC，AD上的点，且．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）当AE长度为______ 时，四边形AECF是矩形，说明四边形AECF是矩形的理由．
【答案】（1）见解析；（2）4.8，见解析.
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF=CE，AD=BC
∵DF=BE
∴AF=CE
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是矩形，则∠AEC=90°，
∵AB=6，BC=10，AC⊥BA
∴AC=8
由， 得：AE=4.8
故答案为：4.8.
11．（2020·广安市广安区期中）如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若OE⊥BD交BC于E，求证：BE＝2CE．
【答案】见解析.
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，BO=OD，
∵△ABO是等边三角形，
∴AO=BO=AB，
∴AO=OC=BO=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）∵四边形ABCD是矩形；
∴OB=OC，∠ABC=90°，
∵△ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，∠BOC=120°，
∵OE⊥BD，
∴∠BOE=90°，∠EOC=30°，
∴∠EOC=∠ECO，
∴EO=EC，
∴BE=2EO=2CE．
12．（2020·静宁县期末）如图，在中，AB=AC=6，BC=，AD平分∠BAC，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是矩形；
（2）求BF的长．

【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】解：（1）∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
∵AF∥BC，
∴∠ADB=∠DAF，∠DBE=∠AFE，
∴△BDE≌△FAE，
∴AF=BD，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD，
∴AF=CD，
又∵AF∥CD，
∴ADCF是平行四边形，
∵AB=AC， AD平分∠BAC，
∴∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCF是矩形．
（2）CF=AD=
∴BF=.
13．（2021·上海浦东新区期末）已知：如图，AD⊥CD，BC⊥CD，D、C分别为垂足，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，BC＝DF．求证：
（1）∠DAF＝∠CFB；（2）EF＝AB．

【答案】见解析．
【解析】解：（1）EF垂直平分AB，
∴AF＝BF，AE＝BE，
∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴∠D＝∠C＝90°，
在Rt△ADF和Rt△FCB中，，
∴△ADF≌△FCB，
∴∠DAF＝∠CFB；
（2）∵∠D＝90°，
∴∠DAF+∠DFA＝90°，
∴∠CFB+∠DFA＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴△AFB是等腰直角三角形，
∵AE＝BE，
∴EF＝AB．
14. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，将线段AB平移至DE，连接AE、AD、EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．

【答案】见解析．
【解析】证明：（1）由平移得：AB∥DE，AB=DE
∴∠B=∠EDC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACD，AC=DE，
∴∠EDC=∠ACD，
∵DC=CD，
∴△ACD≌△ECD，
∴AD=EC；
（2）当点D是BC中点时，四边形ADCE是矩形．
理由如下：∵AB=AC，点D是BC中点，
∴BD=DC，AD⊥BC，
由平移知：四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AE∥BD，
∴AE=DC，AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴四边形ADCE是矩形．
15．（2021·河北邢台市期末）如图，矩形中，，．将矩形翻折，使点落在边上的点处，折痕为．

（1）若 AM=6，求 DE=________．
（2）若，求的长度．
【答案】（1）；（2）5.
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，DC=AB=12，∠D=90°，
由折叠性质得：ME=AM=6，
∴MD=8﹣6=2，
在Rt△MDE中，由勾股定理得：DE==，
故答案为：；
（2）由已知，DE=DC=×12=4，
设AM=ME=x，则DM=8﹣x，
在Rt△MDE中，由勾股定理得：42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，
即AM=5．
【拓展提升】
1.（2019·辽宁阜新模考）如图，矩形纸片，，，点在边上．将沿折叠，点落在点处．、分别交于点、，且．则的长为（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】B.
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=90°，AB=CD=4，AD=BC=3
根据折叠的性质，得：DE=CD=4，PE=PC，∠E=∠C
∴△PBO≌△FEO
∴PB=EF，OB=OE
∴PE=OP+OE=OF+OB=BF
设AF=x，则PE=BF=PC=4-x，
∴PB=EF=BC-PC=x-1
∴DF=DE-EF=5-x
在Rt△ADF中，由勾股定理得：x2+32=（5-x）2
解得：x=，即AF=
故答案为：B.
2．（2020·浙江杭州市期末）如图，矩形纸片，，，折叠纸片，使点落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动，若限定点、分别在、边上移动，则点在边上可移动的最大距离为（ ）

A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B.
【解析】解：当点D与点Q重合时，由折叠知：ED=AD=5，

在Rt△ECD中，ED2=EC2+CD2，
即52=（5-EB）2+32，
解得：EB=1，
当点P与点B重合时，由折叠知：EB=AB=3，
∴点E在BC边上可移动的最大距离为2．

故答案为：B．
3．如图，已知矩形纸片中，，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后的长和折痕的长分别是（ ）

A．、 B．、 C．、 D．、
【答案】B.
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC，
设DE=x，则AE=9-x，BE=x，
在△ABE中，由勾股定理得：32+（9-x）2=x2，
解得：x=5，
∴DE=5，AE=4，BE=5
同理可得：CF=4，
∴BF=5，
过点F作FM⊥AD于M，

则AB=FM=3，EM=1
由勾股定理得：EF=，
故答案为：B．
4.（2020·吴江经济开发区月考）一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为（ ）
A．50或40或30 B．50或40 C．50 D．50或30或20
【答案】A.
【解析】解：四边形ABCD是矩形，AD＝18cm，AB＝16cm；
①△AEF中，AE＝AF＝10cm，S△AEF＝•AE•AF＝50cm2；

图1 图2 图3
②△AGH中，AG＝GH＝10cm
在Rt△BGH中，BG＝AB−AG＝16−10＝6cm；
根据勾股定理得BH＝8cm；
∴S△AGH＝AG•BH＝×8×10＝40cm2；
③△AMN中，AM＝MN＝10cm；
在Rt△DMN中，MD＝AD−AM＝18−10＝8cm；
根据勾股定理得DN＝6cm；
∴S△AMN＝AM•DN＝×10×6＝30cm2．
故等腰三角形的面积为：50或40或30．
故答案为：A．
5．（2020·四川成都期中）如图，长方形中，，，为的中点．动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当__________时，的面积等于．

【答案】或5或.
【解析】解：当点P在AB上时，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，AB=CD=8，
由题意知，，x=；
当P在BC上时，

∵Q是CD的中点，
∴DQ=CQ=4，BP=2x-8，PC=14-2t，
，
解得x=5
当点P在CQ上时，

PQ=18-2x，
，
x=，
故答案为：或5或．
6．（2020·江苏苏州市月考）如图，在中，，，O是的中点，如果在和上分别有一个动点M､N在移动，且在移动时保持．若．则的最小值为_________．

【答案】.
【解析】解：连接OA，取MN的中点D，连接OD，AD，
∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，
∴AO=BO=CO，∠B=∠C=45°；
∴△OAN≌△OBM，
∴ON=OM，∠AON=∠BOM；
∵∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠NOM=∠AON+∠AOM=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴∠MON=∠NAM=90°，
∴OD=AD=MN，
∴MN=OD+AD，
∵OD+AD≥AO，
∴MN≥AO，
∴MN的最小值为AO，
∵BC=，
∴AO=，
∴MN的最小值为，
故答案为：．

7．（2020·昆明市月考）如图，在矩形中，，点在上，且，点分别是直线上的两个动点，将沿翻折，使点落在矩形中的点处，连接，则的最小值是__________．

【答案】-1．
【解析】解：作点B关于CD的对称点B′，PB=PB′，BC=B′C，
当点E、F、P、B′在同一直线时PF+PB取最小值，
由折叠知：AE=EF=1，
由矩形性质知：AB=4，BE=AB-AE=4-1=3，AD=BC=CB′=3，
在Rt△BEB′中，BB′=2BC=6，EB′=，
PF+PB=PF+PB′≤B′E-EF=-1．
故答案为：-1．

8. 如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为____．

【答案】，或
【解析】解：∵对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，
∴AE=CE，
∵OA=1，OC=2，
∴AB=OC=2，BC=OA=1，
∴设AE=m，则BE=2-m，CE=m，
∴在Rt∆BCE中，BE2+ BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2，
解得：m=，
∴E（1，），
设点P坐标为（0，y），
∵△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，
当AP=AE，则(1-0)2+(0-y)2= (1-1)2+(0-)2，解得：y=，
当EP=AE，则(1-0)2+(-y)2= (1-1)2+(0-)2，解得：y=，
∴点 P的坐标为，，，
故答案是：，，．
9．（2021·江苏泰州期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在轴和轴的正半轴上运动，且AB=4，若AC=BC=5，△ABC的形状始终保持不变，则在运动的过程中，点C到原点O的最小距离为____________．

【答案】－2.
【解析】解：如图，过C作CG⊥AB于G，AB=4

∵BC=AC=5
∴BG=AG=2
由勾股定理得：CG=
∵∠AOB=90°
∴OG=2
当C、O、G三点共线时，OC=CG-OG，此时OC取最大值，
故OC的最小值是：－2
故答案为：－2.
10．如图，矩形中，，，点E是边上的一个动点；把沿折叠，点A落在处，如果恰在矩形的对称轴上，则的长为______．

【答案】2或.
【解析】解：①当A′与BC边中点重合时符合题意，
∴AE=2；
②过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，

则直线PQ是矩形ABCD 的对称轴，
∴PQ⊥AB，AP=PB，AD∥PQ∥BC，
∴A′B=2PB，
∴∠PA′B=30°，
∴∠A′BC=30°，∠EBA′=30°，
设A′E=x，则BE=2x，
在△A′EB中，，
解得：x=，
∴AE=A′E=；
故答案为：2或．
11．（2020·浙江杭州期末）（探究发现）（1）如图1，中，，点D为的中点，E、F分别为边、上两点，若满足，则、、之间满足的数量关系是_______________．
（类比应用）（2）如图2，中，，，点D为的中点，E、F分别为边、上两点，若满足，试探究、、之间满足的数量关系，并说明理由．
（拓展延伸）（3）在中，，，点D为的中点，E、F分别为直线、上两点，若满足，，请直接写出的长．

【答案】[探究发现]AE+AF=AB；[类比应用]AE+AF=AB；[拓展延伸]或
【解析】解：[探究发现]
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵D为BC中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，AD=BD=CD，
∴∠ADB=∠ADF+∠BDF=90°，
∵∠EDF=∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠BDF=∠ADE，
又∵BD=AD，∠B=∠CAD=45°，
∴△BDF≌△ADE（ASA），
∴BF=AE，
∴AB=AF+BF=AF+AE；
[类比应用]
AE+AF=AB，理由是：
取AB中点G，连接DG，
∵点G是△ADB斜边中点，
∴DG=AG=BG=AB，
∵AB=AC，∠BAC=120°，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∴∠GDA=∠BAD=60°，即∠GDF+∠FDA=60°，
又∵∠FAD+∠ADE=∠FDE=60°，
∴∠GDF=∠ADE，
∵DG=AG，∠BAD=60°，
∴△ADG为等边三角形，
∴∠AGD=∠CAD=60°，GD=AD，
∴△GDF≌△ADE（ASA），
∴GF=AE，
∴AG=AB=AF+FG=AE+AF；

[拓展延伸]
当点E在线段AC上时，
如图，取AC的中点H，连接DH，
当AB=AC=5，CE=1，∠EDF=60°时，
AE=4，此时F在BA的延长线上，
同（2）可得：△ADF≌△HDE，
∴AF=HE，
∵AH=CH=AC=，CE=1，
∴AF=HE=CH-CE=-1=；

当点E在AC延长线上时，
同理可得：AF=HE=CH+CE=+1=．

综上：AF的长为或．
12．（2021·江苏南京期末）我们可以沿直角三角形纸片的斜边中线把它剪成两个等腰三角形．

（初步思考）
（1）任意三角形纸片都可以剪成4个等腰三角形，在图①中画出分割线，并作适当的标注；
（深入思考）
（2）任意三角形纸片都可以剪成5个等腰三角形，在图②中画出分割线，并作适当的标注；
（回顾反思）
（3）在把一个三角形纸片剪成5个等腰三角形时，我们发现图②中的分割方法不能用于等边三角形．因此，我们需要为等边三角形想一种分割方案，请在图③中画出分割线，并作适当的标注；
（4）我们发现，不是所有三角形纸片都能剪成3个等腰三角形．当∠A＝110°，∠B为多少度时，△ABC能被剪成3个等腰三角形，请画出两种分割方案，并标注∠B和∠C的度数．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）过A作AD⊥BC于D，分别取AB中点E，AC中点F，连接ED，DF，

EB＝ED，EA＝ED，FA＝FD，FC＝FD；
（2）过A作AD⊥BC于D，取AB中点E，在DC上取点F使AF=FC，取AF的中点G，连接ED，DG，

EB＝ED，EA＝ED，FA＝FC，GA＝GD，GF＝GD；
（3）过A作AD⊥BC于D，取AB中点E，在AD上取点F使AF=FC，
取CF的中点G，连接ED，DG，

EB＝ED，EA＝ED，FA＝FC，GF＝GD，GC＝GD；
（4）第一种分割方案如图，

DA＝DB，EA＝ED，EA＝EC；
第二种分割方案如图

DA＝DC，EB＝ED，EA＝ED．
13．（2021·江苏镇江市期末）（定义）
如果条线段将一个三角形分成个等腰三角形，那么这条线段就称为这个三角形的“二分等腰线”，如果条线段将一个三角形分成个等腰三角形，那么这条线段就称为这个三角形的“三分等腰线”．
（理解）
（1）如图（1），在中，，请你在这个三角形中画出它的“二分等腰线”，不限作法，请在图中标出等腰三角形顶角的度数．

图（1）
（2）如图（2），已知是一个顶角为的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“三分等腰线”，不限作法，请在图中标出所分得的等腰三角形底角的度数．

图（2）
（应用）
（3）小明在学习了上面的材料后得到一个结论：直角三角形一定存在“二分等腰线”；而小丽则认为直角三角形也一定存在“三分等腰线”．
①你认为直角三角形的_ _就是它的“二分等腰线”；
②如图（3），在中，，请你在图（3）中帮助小丽画出的“三分等腰线”（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

图（3）
（4）在中，和分别是的“三分等腰线”，点在边上，点在边上，且，请根据题意写出度数的所有可能的值 ．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）如图所示：

（2）如图所示：

（3）①直角三角形的斜边上的中线就是它的“二分等腰线"；
②作AB的垂直平分线，得等腰△ABD，作BD边上的中线，得等腰△BCE和△CDE．
如图所示：

（4）如图，当AD=DE时，

∵AD=CD，∠C=33°，
∴∠DAC=∠C=33°，
∵DE=BE，
∴∠EDB=∠B，
∵AD=DE，
∴∠DAE=∠AED=∠EDB+∠B=2∠B，
∵∠C+∠CAD+∠B=180°，
∴∠C+∠C+2∠B+∠B=180°，即66°+3∠B=180°，
即∠B=38°；
当AD=AE时，

∵AD=CD，∠C=33°，
∴∠DAC=∠C=33°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=66°，
∵DE=BE，
∴∠EDB=∠B，∠AED=∠EDB+∠B=2∠B，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADB=∠ADE+∠EDB=3∠B=66°，即∠B=22°，
综上所述，∠B=22°或38°．
14．（2021·重庆云阳县期末）如图，在中，，，垂足为，是边上一点，过点作，垂足为，连接，为的中点．

（1）如图，过点作交于点，若，，求的度数；
（2）如图，若，过点作，垂足为．求证：．
【答案】（1）16°；（2）见解析．
【解析】解：（1）连接GE，
∵CD⊥IAB，EF⊥CD，
∴FE∥AB，
∴∠B=∠CEF=32°，
∵M为AE的中点，MG⊥AE，
∴AG=GE=EB，
∴∠EAG=∠AEG，∠EGB=∠B=32°，
∴∠EAG=16°，
∵FE∥AB，
∴∠AEF=∠EAG=16°；

（2）延长HM交EF于G，
∵∠ACB=90°，∠CDA=90°，∠CFE=90°，
∴∠ACD+∠FCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠ECF，
∵CF=AD，
∴△CAD≌△ECF，
∴CD=EF，
∵由（1）知EF∥AB，
∴MH⊥AB，
∴MG⊥EG，
∵M是AE的中点．
∴AM=EM，
∵∠AMH=∠GME，
∴△AMH≌△EMG，
∴AH=GE，HM=GM，
易证四边形FGHD为矩形，
∴FG=DH，
AD=AH-DH=EG-DH=EF-FG-DH=EF-2FG，
AD=CF=CD-2HM=EF-2HM，
∴EF-2HM= EF-2FG，
∴HM=FG，
∴EF=EG+FG=AH+HM．

15．（2019·张家港市月考）如图，长方形中，，，现有一动点P从A出发以1/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A，设点P的运动时间为t秒．
（1）当秒时，求的面积；
（2）当t为何值时，点P与点A的距离为5？
（3）当t为何值时（），以线段、、的长度构成的三角形是直角三角形，且是斜边．

【答案】（1）4；（2）7或15；（3）.
【解析】解：（1）当t＝6时，点P的路程为1×6＝6cm，
∵AB＝4cm，BC＝6cm，
∴BP=2，
∴；
（2）①若点P在BC上，

在Rt△ABP中，AP＝5，AB＝4，
∴BP＝t﹣4＝3，
∴t=7；
②若点P在DC上，

则在Rt△ADP中，AP是斜边，
∵AD＝6，
∴AP＞6，
∴AP≠5；
③若点P在AD上，

AP＝5，
则点P的路程为20﹣5＝15，
∴t=15，
当t=7或t=15时，AP＝5cm．
（3）当4＜t＜10时，点P在BC边上，
∵BP＝t﹣4，CP＝10﹣t，
∴AP2＝AB2+BP2＝42+（t﹣4）2
由题意，有AD2+CP2＝AP2
∴62+（10﹣t）2＝42+（t﹣4）2
解得：t=．