2.2.4 均值不等式及其应用第2课时教案

【教学目标】

1.学会推导并掌握均值不等式定理.

2.能够简单应用定理求最值.

【核心素养】

1.数学抽象：通过对均值不等式不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想

3.直观想象：了解均值不等式的几何意义。

4.数学运算: 教材用作差配方法证明均值不等式，并用定理求最值问题。

5.数据分析：掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件：当且仅当这两个数相等。

教学重点：

学生对均值不等式的理解及应用。

教学难点：

学生对均值不等式的应用，关键是把握均值定理的结构特点及作用。

教学过程：

一、复习回顾：　　

（一）概念回顾：

1.给定两个正数a，b，数称为a, b的算术平均数﹔数称为a,b的几何平均数，多个正数的算术平均值和几何平均值的定义。

2.如果a，b都是正数，那么，当且仅当a = b时，等号成立。

3.均值不等式的几何意义。

【设计意图】

使学生所学知识重现，逐步建构，让知识系统化。

(二)探索交流:

学生交流教材P76“探索与研究”，得出以下结论:

1.如果a， b，c都是正数，那么，当且仅当a =b= c时，等号成立。

2.如果，n个正数，那么，当且仅当时，等号成立。 　　

【设计意图】

回顾均值不等式，类比学习，学会自然语言与符号语言之间的转换；体会数学表达的简洁美。

二、新课讲解：

（一）学生活动1：

例题：

（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？

（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？

1.完成后，与同伴交流研究；

2.得出相应结论：

当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；

当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。

【设计意图】

这是均值不等式重要应用之一，用一道常规题目，通过学生自己独立完成和交流研究得出结论，学生印象深刻。　　

（二）典型例题：

例1已知x ∈ (-1，3)，求y =(1＋x)(3一x)的最大值，以及y取得最大值时x的值。

解:当x ∈(一1，3)时，-1<x <3，因此1+x > 0，3-x >0.(均正)

由均值不等式可得，(定值)

从而(1＋x)(3一x)≤4，即y ≤4.当且仅当1+x = 3一x，即x = 1时，等号成立﹒(等号)

从而当x = 1时，y取得最大值4.

【注】请注意黑体字的说明; 另，你还有其他方法吗?

【设计意图】

通过解决一道典型问题，让学生掌握使用均值不等式求最值的规范方法; 同时，引出该题另外做法(即使用二次函数求最值)，可以调动学生的思维活跃，知识间的互通。

例②已知a，b是实数，求证:a2+b2≥ 2ab。并说明等号成立的条件。

该题结论:

该题结论也是经常要用的.可以看出，均值不等式与该题结论既有联系又有区别。区别在于去掉了a，b是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成该题结论的一种特殊情况。

【设计意图】引出与均值不等式相关的其他不等式，拓展其应用。

例3已知a， b ∈R，求证:

(1) (a+b)2≥ 4ab;

(2)2(a2+b2)≥(a+ b)2 　　

【设计意图】强化例2的应用，同时又不是一般性，回归作差法的应用。

三、归纳总结：

1.三个及以上个正数的均值不等式

2.均值不等式（又称基本不等式）的应用之求最值的方法

3.用均值不等式求最值的要求（六字真言）

四、课堂练习：

教材P76 练习A 3；练习B 1、4.可以让学生板书。

【设计意图】训练学生应用均值不等式解决问题。

五、课后作业：

1.基础作业：教材P77，习题2-2 A 7、8；B 5、9、11、12。　　

2.能力作业：教材P77，习题2-2 C 1、3、4、5、6。