高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.1.1 集合及其表示方法教学设计

第一章 集合与常用逻辑用语

1.1.1集合及其表示方法第1课时

教材分析

集合是是高中数学的基础，集合作为一种数学思想在其它一些章节中也都有渗透，因此学好这一章内容是十分关键的。本章又是高中数学课程的起始章，内容有一定的抽象性，因此设计好这一章内容的教学不但对学生的知识掌握情况而且对学生能否入门高中数学都是很重要的。 本节内容主要学习集合的概念，集合的表示方法，同时培养学生用区间来表示集合，通过学习使学生感受到用集合来表示数学内容时的简洁性、准确性，并使学生能用集合语言简洁、准确地表示数学对象，同时它也是后续学习集合运算的知识储备，因此有着至关重要的作用。

教学目标

1.通过实例，集合是刻画一类事物的语言与工具，是一种重要的数学语言．利用集合可以简洁、准确地描述数学中的对象与关系．

2.了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系．

3.在具体情境中，了解空集的含义，能依据集合中元素的个数对集合进行分类，提升学生的直观想象素养；能利用集合中元素的三个特性进行解题，提升学生的逻辑推理素养．记住并会应用常见数集的表示符号，提升学生的数学抽象素养．

教学重难点

教学重点：集合的含义．

教学难点：对集合的特征性质的理解．
课前准备：PPT课件．

教学过程

一、整体概览

问题1：阅读课本第2页，回答下列问题：

（1）本章将要研究哪类问题？

（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？

（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？

师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容.

预设的答案：（1）本章将要研究集合与常用逻辑用语.（2）集合是刻画一类事物的语言与工具，是一种重要的数学语言.利用集合可以简洁、准确地描述数学中的对象与关系.常用逻辑用语也是数学语言的重要组成部分，是逻辑思维的基本语言，是数学表达与交流的工具， 而且，逻辑知识已经是我们日常生活中不可或缺的知识之一了.（3）起点是集合的概念，目标是通过研究集合，可以从数学角度用多种语言描述客观世界；通过学习常用逻辑用语，可以自觉地识别并避免逻辑错误，使自己的思维更加理性.

设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.

二、问题导入

问题2：在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类．例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类……

  你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类？

师生活动：学生先回忆初中学过的有理数集、实数集等．

【想一想】是否可以借助袋子 、 抽屉等来直观地理解集合？

设计意图：从学生熟悉的情境导入，唤醒学生已有的知识经验—基于初中所学的数集，制造一种熟悉又陌生的感觉，激起学生的疑惑，激发学生的兴趣.

引语：要解决这个问题，就需要进一步学习集合概念.（板书：集合及其表示方法）

【新知探究】

1．分析实例，感知集合，逐步分析出集合的概念，元素与集合的关系

（1）在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类.把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（简称：集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素.

集合通常用英文大写字母A,B,C,…表示， 集合的元素通常用英文小写字母a,b,c,…表示.

（2）元素与集合的关系：属于或不属于

如果a是集合A的元素，记作a ,读作：a属于A；

如果a不是集合A的元素，记作a ,读作：a不属于A.

问题3：你能举出几个用集合表达的、与数学有关的例子吗？指出例子中集合的元素是什么？

（1）如果A是由所有小于10的自然数组成的集合，则0      A, 0.5       A

（2）如果B是由方程x2=1所组成的集合,则-1      B,  0      B,  1      B

（3）如果C是平面上与定点O的距离等于定长r(r>0)的点组成的集合， 则对于以O为圆心，r为半径的圆O上的每个点P来说，都有P       C

（4）方程x+2020=x+2021的所有解组成的集合，则集合中的元素是什么？

师生活动：学生通过理解元素与集合的关系，独自完成（1）（2（3）.第（4）题教师进行点评和补充，得到空集的概念和理解.

追问：你能举出几个空集的例子吗？（让学生自由发挥，分组讨论，一起判断，教师点评.）

预设的答案：（1）        （2）        （3）    （4）不含任何元素，此集合为空集.

设计意图：通过让学生举例，清楚元素与集合之间关系，锻炼学生思维辩证能力.通过（4）题，理解空集.

2.在大量实例感知的基础上，总结出集合中元素的特性

问题4：（1）你所在的班级中，身高不低于175cm的同学能组成一个集合吗？

（2）你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗？为什么？

（3）不等式x-2>1的所有解能组成一个集合吗？

师生活动：学生通过学习集合的相关概念，分小组讨论.

教师总结：集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

追问：（1）给定集合A和B，如何定义两集合相等即A=B?（给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B.）

（2）集合按含有的元素个数如何分类？（集合按含有元素的个数可分为有限集和无限集.其中，空集包含0个元素，所以空集是有限集.）

师生活动：学生分析解答，可以自主纠错.然后阅读教科书第4页并记住集合的特性.

预设的答案：（1）可以组成集合（2）由于高个子不满足确定性，故不能组成集合（3）可以组成集合.

设计意图：培养学生分析和归纳的能力.

问题5：自主阅读教材第4页和第5页，回答：实数集是如何分类的？用字母怎样表示？

用或填空：

(1)  0          Z

(2)            Q

(3)  如果nN,那么n+1       N

师生活动：1.学生通过阅读课本和初中所学的知识，清楚实数集的构成及其掌握用符号表示几种常见的数集；（2）学生回答，教师指导.

预设的答案：(1)    (2)     (3)

设计意图：本环节既是对学生自主阅读环节的反馈，也是对学生归纳、表达能力的培养.与传统的灌输式教学相比较，这一环节更体现了平等和谐的师生关系.

【巩固练习】

例1 下列对象能构成集合的是 (　　)

①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2018年诺贝尔和平奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生.

A.①②④   B.②⑤  C.③④⑤  D.②③④

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：D

设计意图：巩固集合中的元素是确定的，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合.

例2 用符号“∈”或“∉”填空：

(1)设集合B是小于的所有实数的集合，则____B，____B. 

(2)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3___C，5___C. 

(3)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x，y)的集合，则-1___D，(-1，1)____D. 

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：因为，所以；

因为，所以，所以.

(2)因为n是正整数，所以n2+1≠3，所以3∉C；

当n=2时，n2+1=5，所以5∈C.

(3)因为集合D中的元素是有序实数对(x，y)，

则-1是数，所以-1∉D；又(-1)2=1，所以(-1，1)∈D.

答案：(1)∉　∈　(2)∉　∈　(3)∉　∈

设计意图：巩固集合的概念，元素与集合之间的关系．关键是要搞清每个集合中的元素是什么，进而确定给定的元素与集合之间的关系．

例3（1）以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合中共有_____个元素. 

（2）若由a2，2 019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以

是 (　　)

A.0   B.2 019    C.1   D.0或2 019

师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范．

预设的答案：（1）由x2-5x+6=0，

解得x=2或x=3.

由x2-x-2=0，解得x=2或x=-1.

根据集合中元素的互异性可知，共有3个元素.故答案为3.

（2）若集合M中有两个元素，

则a2≠2 019a.即a≠0且a≠2 019.故选C.

设计意图：巩固理解集合中元素的互异性．

练习：教科书第8页练习A1，2题．

师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．

【课堂小结】

1．板书设计：

1.1.1集合及其表示方法

1．集合                                    例1

2．元素与集合之间的关系                    例2

3．元素的特性                              例3

4．常见数集的符号表示

练习与作业：教科书第8页练习A1，2题；

教科书第8页练习B 1，4题．

2．总结概括：

问题：（1）元素与集合之间的关系有哪些？

（2）集合中的元素有哪些特性？

（3）什么是空集？集合按元素个数可分为哪几类？

（4）我们学过的特殊数集有哪些？

师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.

预设的答案：（1）属于，不属于；（2）确定性、互异性、无序性；（3）不含任何元素的集合叫空集；按元素个数，集合分为有限集和无限集；（4）正整数集、自然数集、有理数集、实数集.

设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确集合的有关知识．

布置作业：教科书第8页练习B 1，4题．

【目标检测】

1.已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a+ b _____A，a b _____A.(填“∈”或“∉”)

设计意图：考查学生对符号语言的掌握程度．

2.由实数x，-x，|x|，，所组成的集合，最多含______个元素. 

设计意图：考查学生对元素的互异性的理解．

3．（2020·榆林三模）设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ）

A．      B．      C．     D．

设计意图：考查学生对符号语言的掌握程度以及元素与集合之间的关系．

4．（2020·东湖区校级模拟）设集合，若，则（    ）

A．-3或-1或2      B．-3或-1      C．-3或2     D． -1或2

设计意图：考查学生对元素的互异性的理解．

参考答案：

1．因为a∈A，b∈B，所以a是偶数，b是奇数，所以a+b是奇数，ab是偶数，故a+b∉A，ab∈A.

2．当x>0时，，，此时集合共有2个元素，当x=0时，，此时集合共有1个元素，

当x<0时，，此时集合共有2个元素，综上，此集合最多有2个元素.

3．因为集合， 且，所以，且，解得，故选C．

4．若，则3，此时；

若，则2或-1，此时，；

当-1时，（舍）．故选C．