高中人教B版 (2019)3.1.3 函数的奇偶性教学设计

第三章 函数

3.1.3 函数的奇偶性教学设计

教材分析：

通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力；学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，渗透数形结合的数学思想；借助计算机观察图象、抽象概括、归纳数学问题，体验数与形结合的数学思想。

教学目标：

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义；

2.能用代数运算和函数图象揭示函数的奇偶性；

3.能判断具体函数的奇偶性，提升数学运算和逻辑推理等核心素养。

【教学重点】

1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义

2 .掌握判断函数奇偶性的方法与步骤。

3.学会利用奇偶性应用，证明函数关于某点，某直线对称.

【教学难点】

1.判断函数的奇偶性，利用函数的奇偶性特征解决问题；

2.函数单调性、奇偶性的综合应用.

课前准备

提问学生：源于生活，那么我们现在在学习的函数图象，是否也会具有对称的特性呢？是否也体现了图象对称的美感呢？

教学过程

一、函数的奇偶性

初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点（x，y）关于y轴的对称点为（一x，y），关于原点的对称点为（一x，-y）.例如，（一2，3）关于y轴的对称点为（2，3），关于原点的对称点为（2，-3）

【尝试与发现】

不难发现，上述两个函数，当自变量取互为相反数的两个组x相一x时，对应的函数值相等，即

f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，

g(x)=    =    =g(x)

一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且

f（-x）=f（x），

则称y=f（x）为偶函数。

如果y=f（x）是偶函数，其图像具有什么特征呢？

我们知道，点P（x，f（x））与Q（-x，f（-x））都是函数y=f（x）图像上的点，按照偶函数的定义，点Q又可以写成Q（-x，f（x）），因此点P和点Q关于y轴对称，所以偶函数的图像关于y轴对称；反之，结论也成立，即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数。如下图所示是尝试与发现中两个函数的图像.

【尝试与发现】

奇函数的图像特征也可按照下述方式得到：点P（x，f（x））与Q（一x，f（-x））都是函数y=f（x）图像上的点，如果y=f（x）是奇函数，则点Q又可以写成Q（一x，一f（x）），因此点P和点Q关于原点对称，所以奇函数的图像关于原点对称；反之，结论也成立，即图像关于原点对称的函数一定是奇函数。如下图所示是奇函数f（x）=x3和g（x）=  的图像.

如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性.可以看出，当n是正整数时，函数f（x）=x2n是偶函数，函数g（x）=x2n-1是奇函数

【典型例题】

例1 例判断下列函数是否具有奇偶性：

（1）f（x）=x+x3+x5；（2）f（x）=x2+1；

（3）f（x）=x+1；    （4）f（x）=x2，x∈[-1，3]

解（1）因为函数的定义域为R，所以x∈R时，一x∈R.

又因为

f（-x）=（-x）+（-x）3+（-x）5=-（x+x3+x5）=-f（x），

所以函数f（x）=x+x3+x5是奇函数。

（2）因为函数的定义域为R，所以x∈R时，一x∈R.

又因为

f（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x），

所以函数f（x）=x2+1是偶函数

（3）因为函数的定义域为R，所以x∈R时，一x∈R

又因为f（-1）=0，f（1）=2，所以

f（-1）≠-f（1）且f（-1）≠f（1），

因此函数f（x）=x+1既不是奇函数也不是偶函数（也可说成f（x）是非奇非偶函数）。

（4）因为函数的定义域为[一1，3]，而3∈[-1，3]，但一3∉[一1，3]，所以函数f（x）=x2，x∈[-1，3]是非奇非偶函数。

例（1）（4）说明，设函数f（x）的定义域为D，如果存在x0∈D，但一x0∉D，即函数f（x）的定义域不关于原点对称，则f（x）既不是奇函数也不是偶函数.

例2已知奇函数f（x）的定义域为D，且0∈D，求证：f（0）=0.

证明     因为f（x）是奇函数，所以

f（-0）=-f（0），

即f（0）=-f（0），所以2f（0）=0，因此f（0）=0.

二、函数奇偶性的应用

因为函数的奇偶性描述了函数图像具有的对称性，所以利用函数的奇偶性能简化函数性质的研究。如果知道一个函数是奇函数或是偶函数，那么其定义域能分成关于原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图像，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像

【尝试与发现】

显然，如果f（x）是偶函数，则f（-5）=f（5）= -3；如果f（x）是奇函数，则f（-5）=-f（5）=3.

【典型例题】

例3  已知函数f（x）满足f（5）<f（3），分别在下列各条件下比较f（-5）与f（-3）的大小：

（1）f（x）是偶函数；（2）f（x）是奇函数。

解（1）因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），因此

f（-5）=f（5），f（-3）=f（3），

从而由条件可知f（-5）<f（-3）.

（2）因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），因此

f（-5）=-f（5），f（-3）=-f（3），

又由条件可知-f（5）>-f（3），从而f（-5）>f（-3）.

例3说明，当f（x）具有奇偶性时，函数的单调性会有一定规律.

【尝试与发现】

不难看出，如果y=f（x）是偶函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相反；如果y=f（x）是奇函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相同。

例4   研究函数       的性质，并作出函数图像.

解  要使函数表达式意义，需有x≠0，因此函数的定义域为

D={x∈R|x≠0}，

从而可知函数的图像有左右两部分.

     设          则对任意x∈D，都有一x∈D，而且

所以函数       是偶函数，函数的两部分图像关于y轴对称.

下面研究函数在区间（0，+oo）上的性质及图像.

因为x1，x2∈（0，+oo）时，有

所以       在（0，+oo）上是减函数

又因为x∈（0，+oo）时，       >0，所以函数图像在右边的部分一定在第一象限。列出部分函数值如下表所示，然后可以描点作图。

再根据函数是偶函数，可以得出函数的图像如下图所示，而且函数的定义域为{x∈R|x≠0}，函数是偶函数，在（一∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，函数的值域是（0，+co）.

利用研究奇偶函数的类似方法还可以研究更一般的函数图像的对称性.

【典型例题】

例5  求证：二次函数f（x）=x2+4x+6的图像关于x=-2对称.

【尝试与发现】

证明    任取h∈R，因为

f（-2+h）=（-2+h）2+4（-2+h）+6

=h2+2，

f（-2-h）=（-2-h）2+4（-2-h）+6

=h2+2，

所以f（-2+h）=f（-2-h），这就说明函数的图像关于x=-2对称。

由例5可知，要证明函数图像关于垂直于x轴的直线对称并不难，但怎样才能找到对应的对称轴呢？以例5所示的二次函数为例，注意到

f（x）=x2+4x+6=（x+2）2+2，

由此就容易得到f（-2+h）=f（-2-h），从而可知f（x）图像的对称轴为x=-2.

【探索与研究】

教学反思

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是奇偶性概念的数学化提炼过程。从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，积累了研究函数的基本方法与初步经验。从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题。但是，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。所以教学难点就是判断函数的奇偶性。