高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.1.2 集合的基本关系教案设计

第一章 集合与常用逻辑用语

1.1.2集合的基本关系

教材分析：

课本从学生最为熟悉的班级所有同学组成的集合出发，引入集合间的关系，形成子集、真子集相等概念表述．在学习此内容时要注意两点，一是学习时注意顺序性，按子集、真子集、集合相等顺序逐一探究、尝试、发现、理解；二是把握维恩图的“出场”时机，体会其丰富的数学内涵。在没有谈及真子集前，用维恩图表述是不完整的，还可能有相等，这里会引起纠缠不清的问题。

教学目标

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

2.能够区分集合间的包含关系与元素与集合的属于关系．

3.能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换，提升数学抽象素养．

教学重难点

教学重点：子集的概念．

教学难点：元素与子集、属于与包含于之间的区别．

教学过程

【新课导入】

问题情境：如果一个班级中,所有同学组成的集合记为S,而所有女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系?你能从集合元素的角度分析它们的关系吗?

师生活动：老师组织学生分组讨论，鼓励学生自己归纳出相关结论，派代表表述本组结论．

预设的答案：一般来讲学生所感受的应该是集合F中的元素都在集合S中，S中有元素不在F中，即F为S的真子集．在教学中我们不妨启发学生就极端情况进行思考，即：班级中如果只有女生或只有男生，F还是不是S的子集呢？这样做一方面可以强化思维的严谨性，另一方面也充分运用实例进一步理解子集的概念，还能够帮助学生更好地理解空集是任何集合的子集，任何集合都是它本身的子集等内容．要让学生尝试通过实际情境抽象出数学概念，培养学生的数学表达和交流的能力，积累从具体到抽象的活动经验，养成在日常生活和实践中使用由特殊到一般的思考问题的习惯，从而把握事物的本质，发展数学抽象等核心素养．

设计意图：通过生活中的大家熟悉的情境中提取数学概念，使其更通俗易懂．这个情境的设置旨在启发学生用数学眼光去观察世界、用数学思维去思考世界、用数学语言去表达世界，并能从元素与集合的关系的角度关注集合与集合的关系．    

【探究新知】

知识点1  子集

问题1：先让我们来仔细观察下面的例子，你能发现每组两个集合之间的关系吗？

（1）A={1,3},B={1，3，5，6}

（2）A={x|x>5}, B={x|x>2}

（3）A={(1,3)},B={(1，3),(5，6)}

师生活动：学生观察例子后，得出结论，在集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，教师总结，这时我们说集合A与集合B 有包含关系．

教师总结：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两集合有包含关系，称集合A为集合B 的子集，记作：A B（或BA），读作“A包含于B”或者“B包含A”.

预设的答案：情境中，问题1中三组集合都是A B（或BA）．

设计意图：培养学生观察，分析，归纳的能力．在开始接触子集的符号时，要提醒学生注意这些符号具有特定的意义，不要搞错．

【想一想】与表达的含义相同吗？请举例说明.

师生活动：学生以（1）为例{1，3}A，3∈A，说明前者是集合之间的关系，后者是元素与集合间的关系．教师进行点评和补充．①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，-1∉N.②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}. ③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合.

 设计意图：通过让学生举例，清楚集合与集合之间与元素与集合间关系的区别．锻炼学生思维辩证能力！

【尝试与发现】

(1)根据子集的定义判断,如果A={1,2,3},那么AA吗?

(2)你认为可以规定空集必是任意一个集合的子集吗?为什么?
师生活动：学生讨论后回答．

教师点评：不难看出,依据子集的定义,任意集合A都是它自身的子集,即AA；因为空集不包含任何元素,所以我们规定:空集是任意一个集合A的子集,即 A ．

知识点2  真子集

问题2：前面的情境与问题中的两个集合满足FS,但是,只要班级中有男同学,那么S中就有元素不属于F，此时我们说集合F与S的关系是什么？问题1中的三组集合，集合A与集合B的关系如何？

师生活动：学生讨论，然后教师总结．

教师总结：一般地,如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属A,那么集合A称为集合B的真子集,记作AB(或B A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)．前面知道，空集是任意一个集合A的子集,即，类似的，当集合A不是空集时，有空集是任意一个非空集合A的真子集,即 ．

预设的答案：情境中FS，问题1中的三组集合，都有AB(或B A)．

问题3：前面我们会用符号语言来表示两个集合之间的包含关系了，那么可以用图形来表示两个集合之间的包含关系吗？

师生活动：学生思考，然后教师作总结．

教师总结：如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合,那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图通常称为维恩图（Venn图）

设计意图：借助维恩图的直观表示增强学生对包含关系的直观理解．合理使用维恩图，可以帮助学生直观形象地理解抽象的集合概念及其关系．要鼓励学生熟练地进行自然语言、集合语言、图形语言之间的相互转化，灵活地选择自然语言、集合语言、图形语言合理地表达数学对象．

追问：集合的包含关系与实数的大小关系可进行类比，由实数大小关系的有关结论，你能否得出集合的包含关系的结论？

师生活动：学生回顾实数的大小关系的结论，对于实数有（1）如果a≤b且b≤c, 则a≤c；（2）如果a<b且b<c, 则a<c．猜想集合包含关系有：类比得到对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC；（2）对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC．

教师点评：对于包含和真包含关系的传递性，除了直观理解以外，有兴趣的学生还可以尝试用符号语言进行证明，从而培养他们利用符号语言进行逻辑推理的学科素养．

设计意图：在已有的对实数大小关系认识的基础上来认识集合的包含关系，学生可能能够更自然地接受新识、理解新知识，这有助于学生思维结构的形成和知识结构的建立．

【想一想】我们可以用维恩图来理解子集与真子集的这些性质吗？该如何作？

师生活动：学生作出图形，教师可进一步完善．

知识点3  集合的相等与子集的关系

问题4：已知 ，这两个集合的元素有什么关系？吗？吗？你能由此总结出集合相等与子集的关系吗？

师生活动：学生观察例子后，得出 ,由此可知，．再根据子集的定义可知，与都成立，从而总结出用子集的关系定义集合相等．

追问：与实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a=b”； “若a≥b，且b≥a，则a=b”．相类比，你对集合间的基本关系有什么体会？根据实数关系的其他结论，你还能猜想出哪些集合间关系的结论？

师生活动：学生回答，教师总结．

教师总结：一般地，由集合相等以及子集的定义可知：（1）如果且,则 ; （2）如果且,则 ;（3）如果,则且；（4）如果,则且．

设计意图：集合之间的关系是通过元素来定义的，所以研究集合之间的关系，主要是要分析元素与集合的关系．培养学生观察，分析，归纳的能力，同时让学生逐步学会类比，用类比去发现问题．

【巩固练习】

例1写出集合A={6,7,8}的所有子集和真子集.
问题：如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢?集合A含有3个元素,那么它的子集含有的元素个数可能是哪些数值？

师生活动：学生先独立完成，然后小组交流，总结错误原因，老师点评.

教师点评：我们可依下列步骤来完成此题:

(1)写出元素个数为0的子集,即 ;

(2)写出元素个数为1的子集,即{6},{7},{8};

(3)写出元素个数为2的子集,即{6,7},{6,8},{7,8}

(4)写出元素个数为3的子集,即{6,7,8}

所以集合A的所有子集是：,{6},{7},{8},{6,7},{6,8},{7,8},{6,7,8}．在上述子集中,除去集合A本身,即{6,7,8},剩下的都是A的真子集．
设计意图：学会写出具体集合的子集与真子集，培养学生分析问题与解决问题的能力．

例2已知区间A=(-∞,2]和B=(-∞,a),且,求实数a的取值范围．

师生活动：学生思考，教师给出解答．

解：因为集合B的元素都是集合A的元素,因此可用数轴表示它们的关系,如图所示

从而可知a≤2．

追问：（1）若将改为，实数a的取值范围有变化吗？（）

（2）若将改为，实数a的取值范围是怎样的？（）

设计意图：从数轴角度研究定区间与动区间的关系时，要关注动区间的动端点的位置移动，这也是今后研究二次函数在指定区间函数值的取值变化的基础．

例3写出下列每对集合之间的关系：

（1）

（2）

（3）

（4） ，

师生活动：学生回答，学生纠错，教师教师给出解答示范．

教师点评：因为集合之间的关系是通过元素来定义的，所以只要针对集合中的元素进行分析即可．

预设的答案：（1） （2）  （3）    （4）

设计意图：检验学生对子集概念的掌握情况，进一步明确判断两个集合之间关系的基本方法——定义法．

练习：教科书第14页练习A 1，2，3题．

师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．

设计意图：通过让学生思考并回答，巩固新知，查缺补漏．

【探索与研究】

填写下表，回答后面的问题：

你能找出“元素个数”与“子集个数”之间的规律吗？

如果一个集合中有个元素，你能用表示这个集合子集的个数吗？

师生活动：学生分组讨论，归纳出结论，当一个集合有个元素，则子集个数有 个．

【课堂小结】

1．板书设计：

1.1.2集合的基本关系

集合的基本关系：

子集

性质：

真子集

性质：

例1              例2              例3

练习：教科书第14页练习A 1，2，3题．

作业：教科书第14页练习B 1，2，3，4，5题．

2．总结概括：

教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：

（1）两个集合间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的关系？

（2）你是如何研究集合的基本关系的？

（3）包含关系与属于关系有什么区别？比如{a}A与a∈A？

设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．

布置作业：

教科书第14页练习B 1，2，3，4，5题．

【课外拓展】判断A= {x|x=3m-1,m∈Z} 与B= {x|x=3m+2,m∈Z} 的关系．

师生活动：可以通过直接让学生列举两个集合中的元素来理解，也可以引导学生给出详细的证明过程．

参考答案：

证明：设x∈A, 则存在m∈Z,x=3m-1, 从而x=3m-1=3 (m-1) +2.

因为m∈Z, 所以m-1∈Z, 因此x=3 (m-1) +2∈B. 从而AB.

设x∈B, 则存在m∈Z,x=3m+2, 从而x=3m+2=3 (m+1) -1.

因为m∈Z, 所以m+1∈Z, 因此x=3 (m+1) -1∈A. 从而BA.

综上有A=B.