高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性一课一练

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1．(多选)下列说法正确的是( )
A．f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)
B．f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1
C．y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴的交点
D．y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标
解析：选BD 根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1，也就是函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．因此，只有说法B、D正确，故选B、D.
2．函数f(x)＝x3－4x的零点为( )
A．(0，0)，(2，0) B．(－2，0)，(0，0)，(2，0)
C．－2，0，2 D．0，2
解析：选C 令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
则一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( )
A．{x|x＜－2或x＞3} B．{x|x≤－2或x≥3}
C．{x|－2＜x＜3} D．{x|－2≤x≤3}
解析：选A 由表格可知，函数的图像开口向上，且零点为x＝－2，x＝3，因此图像关于直线x＝eq \f(1,2)对称，从而一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x＜－2或x＞3}．
4．不等式mx2－ax－1＞0(m＞0)的解集可能是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜－1或x＞\f(1,4)))))
B．R
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)＜x＜\f(3,2)))))
D．∅
解析：选A 因为Δ＝a2＋4m＞0，所以函数y＝mx2－ax－1的图像与x轴有两个交点，又m＞0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D选项．
5．关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．(－1，3)
C．(1，3)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：选A 由题意，知a＞0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b＞0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)＞0，所以x＜－1或x＞3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
6．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．
解析：∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
答案：3
7．若f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－x－1，x≥2或x≤－1，,1，－1＜x＜2，))则函数g(x)＝f(x)－x的零点为________．
解析：由f(x)＝x，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥2或x≤－1，,x2－x－1＝x))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1＜x＜2，,x＝1，))
解得x＝1＋eq \r(2)或x＝1.
答案：1，1＋eq \r(2)
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x≥0，,－x2＋2x，x＜0.))若f(a)≤3，则a的取值范围是________．
解析：当a≥0时，a2＋2a≤3，所以0≤a≤1；当a＜0时，－a2＋2a≤3，所以a＜0.综上所述，a的取值范围是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
9．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜eq \f(4,3)；
由Δ＝0，可解得m＝eq \f(4,3)；
由Δ＜0，可解得m＞eq \f(4,3).
故当m＜eq \f(4,3)时，函数有两个零点；
当m＝eq \f(4,3)时，函数有一个零点；
当m＞eq \f(4,3)时，函数无零点．
(2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.
10．解下列不等式：
(1)(x2＋3x－4)(x－1)(－8x＋24)≤0；
(2)eq \f(x2＋2x－3,－x2＋x＋6)<0.
解：(1)原不等式等价于(x＋4)(x－1)2·(x－3)≥0，令y＝(x＋4)·(x－1)2(x－3)，得y＝0对应的根为－4，1，3，其中1为双重根．把各因式的根在数轴上标出，如图所示．
由图可得，原不等式的解集为{x|x≤－4或x＝1或x≥3}．
(2)法一：原不等式等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3<0，,－x2＋x＋6>0)) ①或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3>0，,－x2＋x＋6<0)) ②，解不等式组①得－23.
故原不等式的解集为{x|x<－3或－23}．
法二：将原不等式化为eq \f(（x＋3）（x－1）,（x＋2）（x－3）)>0，
即(x＋3)(x＋2)(x－1)(x－3)>0，
各因式所对应的根分别为－3，－2，1，3，在数轴上标根并画出示意图，如图．
故原不等式的解集为{x|x<－3或－23}．
[B级 综合运用]
11．存在x∈[－1，1]，使得x2＋mx－3m≥0，则m的最大值为( )
A．1 B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,2) D．－1
解析：选C 若对于任意x∈[－1，1]，不等式x2＋mx－3m<0恒成立，则由函数f(x)＝x2＋mx－3m的图像可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－1）＝1－m－3m<0，,f（1）＝1＋m－3m<0，))解得m>eq \f(1,2).所以若存在x∈[－1，1]，使得x2＋mx－3m≥0，则m≤eq \f(1,2)，所以m的最大值为eq \f(1,2).故选C.
12．一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则实数m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,4)，＋∞)) B．(－∞，－5)
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,4)，－5)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,4)，－5))
解析：选C 关于x的一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＝25－4＋4m≥0，,4－10＋1－m＞0，,\f(5,2)＞2，))
解得－eq \f(21,4)≤m＜－5.故选C.
13．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.
答案：3 0
14．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a.
(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y＝f(x)在区间(－1，0)及eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内各有一个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．
(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1，0)及eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内各有一个零点，只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－1）＞0，,f（0）＜0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＞0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－4a＞0，,1－2a＜0，,\f(3,4)－a＞0，))
解得eq \f(1,2)＜a＜eq \f(3,4).
故实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4))).
[C级 拓展探究]
15．若函数f(x)为R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋3.
(1)求f(x)在R的解析式；
(2)若a∈R，g(x)＝f(x)－a，试讨论a取何值时，g(x)零点的个数最多？最少？
解：(1)当x＝0时，f(0)＝0；
当x＜0时，－x＞0，根据定义可知，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋4x＋3)＝－x2－4x－3，
故f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－4x＋3，x＞0，,0，x＝0，,－x2－4x－3，x＜0.))
(2)在坐标系中，作出函数f(x)的图像．
当a＝0时，g(x)＝f(x)－a有5个零点；
当0＜a＜1或－1＜a＜0时，g(x)有4个零点；
当a＝±1时，g(x)有3个零点；
当1＜a＜3或－3＜a＜－1时，g(x)有2个零点；
当a≤－3或a≥3时，g(x)有1个零点；
故a＝0时，g(x)＝f(x)－a零点的个数最多；a≤－3或a≥3时，g(x)零点的个数最少．
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6