高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法课后作业题

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1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，x≤0，,2x－x2，x>0.))则f(f(3))的值是( )
A．－24 B．－15
C．－6 D．12
解析：选C ∵函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，x≤0，,2x－x2，x>0，))
∴f(3)＝2×3－32＝－3，∴f(f(3))＝f(－3)＝2×(－3)＝－6.故选C.
2．(多选)已知函数y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋1（x≤0），,2x（x>0），))若f(a)＝10，则a的值可以是( )
A．－3 B．3
C．0 D．5
解析：选AD 当a≤0时，f(a)＝a2＋1＝10，解得a＝3(舍去)，或a＝－3.
当a>0时，f(a)＝2a＝10，解得a＝5，符合，
综上，a＝－3或5.故选A、D.
3．著名的Dirichlet函数D(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))则D[D(x)]＝( )
A．0 B．1
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x为无理数,0，x为有理数)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x为有理数,0，x为无理数))
解析：选B ∵D(x)∈{0，1}，∴D(x)为有理数，
∴D[D(x)]＝1.
4．函数f(x)＝x2－2|x|的图像是( )
解析：选C f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,x2＋2x，x＜0，))分段画出，应选C.
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10 m3的，按m元/m3收费；用水量超过10 m3的，超过部分按2m元/m3收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为( )
A．13 m3 B．14 m3
C．18 m3 D．26 m3
解析：选A 该单位职工每月应缴水费y(元)与实际用水量x(m3)满足的关系式为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(mx，0≤x≤10，,2mx－10m，x＞10.))由y＝16m，可知x＞10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.
6.已知函数f(x)的图像是两条线段(如图所示，不含端点)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))))＝________．
解析：由题图可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1，0＜x＜1，,x＋1，－1＜x＜0，))所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(1,3)－1＝－eq \f(2,3)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝－eq \f(2,3)＋1＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
7．已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，x＞0，,f（x＋1），x≤0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝________．
解析：∵f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，x＞0，,f（x＋1），x≤0，))
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)＋1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)＋1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \f(2,3)×2＝eq \f(4,3)，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝2×eq \f(4,3)＝eq \f(8,3)，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝eq \f(4,3)＋eq \f(8,3)＝4.
答案：4
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2，x＜1，,x2－ax，x≥1，))若f(f(0))＝a，则实数a＝________．
解析：依题意知f(0)＝3×0＋2＝2，则f(f(0))＝f(2)＝22－2a＝a，求得a＝eq \f(4,3).
答案：eq \f(4,3)
9．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－4，0≤x≤2，,2x，x>2.))
(1)求f(2)，f(f(2))的值；
(2)若f(x0)＝8，求x0的值．
解：(1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，
∴f(2)＝22－4＝0，
f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4.
(2)当0≤x0≤2时，
由xeq \\al(2,0)－4＝8，得x0＝±2eq \r(3)(舍去)；
当x0>2时，由2x0＝8，得x0＝4.
∴x0＝4.
10．已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1.))
(1)画出f(x)的图像；
(2)若f(x)≥eq \f(1,4)，求x的取值范围；
(3)求f(x)的值域．
解：(1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示．
(2)由于feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(1,2)))＝eq \f(1,4)，结合此函数图像可知，使f(x)≥eq \f(1,4)的x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
(3)由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0，1]．
[B级 综合运用]
11．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤－1，,x2，－1A．f(x)的定义域为R
B．f(x)的值域为(－∞，4)
C．若f(x)＝3，则x的值是eq \r(3)
D．f(x)<1的解集为(－1，1)
解析：选BC 由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－112．已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x≥0，,0，x＜0，))则不等式xf(x)＋x≤2的解集是( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≤2}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|x＜0}
解析：选A 当x≥0时，f(x)＝1，
xf(x)＋x≤2⇔x≤1，
所以0≤x≤1；
当x＜0时，f(x)＝0，xf(x)＋x≤2⇔x≤2，
所以x＜0，综上，x≤1.
13．若定义运算a⊙b＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b，a≥b，,a，a解析：由题意知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－x，x≥1，,x，x<1.))
画出图像，如图所示．
由图易得值域为(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
14．已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x<0，,2，x≥0，))g(x)＝eq \f(3f（x－1）－f（x－2）,2).
(1)当1≤x<2时，求g(x)的解析式；
(2)当x∈R时，求g(x)的解析式，并画出其图像；
(3)求方程xf(g(x))＝2g(f(x))的解．
解：(1)当1≤x<2时，x－1≥0，x－2<0，∴g(x)＝eq \f(6－1,2)＝eq \f(5,2).
(2)当x<1时，x－1<0，x－2<0，∴g(x)＝eq \f(3－1,2)＝1；
当x≥2时，x－1>0，x－2≥0，∴g(x)＝eq \f(6－2,2)＝2.
故g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x<1，,\f(5,2)，1≤x<2，,2，x≥2.))其图像如图．
(3)∵g(x)>0，∴f(g(x))＝2，x∈R.
当x<0时，g(f(x))＝g(1)＝eq \f(5,2)；
当x≥0时，g(f(x))＝g(2)＝2.
∴方程xf(g(x))＝2g(f(x))，即x2＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5，x<0，,4，x≥0，))
解得x＝－eq \r(5)或x＝2.
[C级 拓展探究]
15．对定义域分别是Df，Dg的函数y＝f(x)，y＝g(x)，规定：
函数h(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x）·g（x），当x∈Df且x∈Dg，,f（x），当x∈Df且x∉Dg，,g（x），当x∉Df且x∈Dg.))
(1)若函数f(x)＝－2x＋3，x≥1；g(x)＝x－2，x∈R，写出函数h(x)的解析式；
(2)求(1)中函数h(x)的最大值．
解：(1)h(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x2＋7x－6，x∈[1，＋∞），,x－2，x∈（－∞，1）.))
(2)当x≥1时，h(x)＝－2x2＋7x－6
＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(7,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,8)，
∴h(x)≤eq \f(1,8).
当x＜1时，h(x)＜－1，
∴当x＝eq \f(7,4)时，h(x)取最大值且最大值是eq \f(1,8).