人教B版 (2019)3.1.2 函数的单调性学案设计

  3.1.2　函数的单调性

最新课程标准：借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.

知识点一　定义域为A的函数f(x)的单调性

　定义中的x1，x2有以下3个特征

(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；

(2)有大小，通常规定x1<x2；

(3)属于同一个单调区间．

知识点二　单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间M上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间M叫做y＝f(x)的单调区间．

　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．

知识点三　函数的最值

一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)(记作f(x)max＝f(x0))，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)(记作f(x)min＝f(x0))，而x0称为f(x)的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．

　最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.

[基础自测]

1．下列说法中正确的有(　　)

①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；

②函数y＝x2在R上是增函数；

③函数y＝－在定义域上是增函数；

④y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

A．0个　B．1个

C．2个  D．3个

解析：由于①中的x1，x2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确．

答案：A

2．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则(　　)

A．m>    B．m<

C．m>－  D．m<－

解析：使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<.

答案：B

3．函数f(x)＝在[1，＋∞)上(　　)

A．有最大值无最小值  B．有最小值无最大值

C．有最大值也有最小值  D．无最大值也无最小值

解析：函数f(x)＝是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图像下降，所以在[1，＋∞)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.

答案：A

4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．

解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.

答案：x1>x2

题型一　利用函数图像求单调区间[经典例题]

例1　已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则该函数的减区间为(　　)

A．(－3,1)∪(1,4)     B．(－5，－3)∪(－1,1)

C．(－3，－1)，(1,4)  D．(－5，－3)，(－1,1)

【解析】　在某个区间上，若函数y＝f(x)的图像是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．

【答案】　C

观察图像，若图像呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．

跟踪训练1　函数f(x)的图像如图所示，则(　　)

A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数

B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数

C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数

D．函数f(x)在[2,4]上是增函数

解析：函数单调性反映在函数图像上就是图像上升对应增函数，图像下降对应减函数，故选A.

答案：A

图像上升或下降趋势判断．

题型二　函数的单调性判断与证明[教材P93例1]

例2　求证：函数f(x)＝－2x在R上是减函数．

【证明】　任取x1，x2∈R且x1<x2，则x1－x2<0，那么f(x1)－f(x2)＝(－2x1)－(－2x2)＝2(x2－x1)>0，从而f(x1)>f(x2)．

因此，函数f(x)＝－2x在R上是减函数．

　先根据单调性的定义任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1<x2，再判断f(x1)－f(x2)的符号.

教材反思

利用定义证明函数单调性的步骤

注：作差变形是解题关键．

跟踪训练2　利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．

证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，

∵－1<x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0.

∴>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．

∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数．

利用四步证明函数的单调性．

题型三　利用函数的单调性求最值[经典例题]

例3　已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．

(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；

(2)求该函数的最大值和最小值．

【解析】　(1)函数f(x)在[3,5]上是单调递增的，

证明：设任意x1，x2，满足3≤x1<x2≤5.

因为f(x1)－f(x2)＝－

＝

＝，

因为3≤x1<x2≤5，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0.

所以f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)．

所以f(x)＝在[3,5]上是单调递增的．

(2)f(x)min＝f(3)＝＝，

f(x)max＝f(5)＝＝.

方法归纳

1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤

(1)判断函数的单调性．

(2)利用单调性求出最大(小)值．

2．函数的最大(小)值与单调性的关系

(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．

(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.

跟踪训练3　已知函数f(x)＝，求函数f(x)在[1,5]上的最值．

解析：先证明函数f(x)＝的单调性，设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，

f(x1)－f(x2)＝－＝.

由于x2>x1>，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝在区间上是单调递减的，所以函数f(x)在[1,5]上是单调递减的，因此，函数f(x)＝在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，

即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.

1判断函数的单调性.2利用单调性求出最大小值.

题型四　由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]

例4　已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．

【解析】　∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，

∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]．

∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，

∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．

∴1－a≥4，解得a≤－3.

故a的取值范围为(－∞，－3]．

　首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解.

方法归纳

“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别

单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．

跟踪训练4　例4中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？

解析：由例4知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，

∴1－a＝4，a＝－3.

求出函数的减区间，用端点值相等求出a.

课时作业 17

一、选择题

1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0，则必有(　　)

A．函数f(x)先增后减

B．f(x)是R上的增函数

C．函数f(x)先减后增

D．函数f(x)是R上的减函数

解析：由>0知，当a>b时，f(a)>f(b)；当a<b时，f(a)<f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数．

答案：B

2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是(　　)

A．y＝－3x＋2　 B．y＝

C．y＝x2－4x＋5  D．y＝3x2＋8x－10

解析：显然A、B两项在(0,2)上为减函数，排除；对C项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.

答案：D

3．函数f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)

A．f(－2)，0  B．0,2

C．f(－2)，2  D．f(2)，2

解析：由图像知点(1,2)是最高点，故ymax＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故ymin＝f(－2)．

答案：C

4．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)  B．(0，＋∞)

C．(3，＋∞)     D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

解析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.

答案：C

二、填空题

5．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图像，则函数f(x)的单调递增区间是____________．

解析：由图像知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．

答案：[－1.5,3]和[5,6]

6．函数y＝x＋的最小值为________．

解析：令＝t，t≥0，则x＝t2＋1，

所以y＝t2＋t＋1＝2＋，

当t≥0时，由二次函数的性质可知，当t＝0时，ymin＝1.

答案：1

7．函数y＝|x2－4x|的单调减区间为________．

解析：画出函数y＝|x2－4x|的图像，由图像得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．

答案：(－∞，0]，[2,4]

三、解答题

8．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．

解析：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：

设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝－＝，

由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，

又由x1<x2，得x1－x2<0，

于是f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)，

∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．

9．作出函数f(x)＝的图像，并指出函数的单调区间．

解析：f(x)＝的图像如图所示．

由图像可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．

[尖子生题库]

10．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图像，并根据图像解决下列两个问题．

(1)写出函数f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)在区间上的最大值．

解析：f(x)＝|x|(x＋1)＝的图像如图所示．

(1)f(x)在和[0，＋∞) 上是增函数，

在上是减函数，

因此f(x)的单调递增区间为，[0，＋∞)；

单调递减区间为 .

(2)因为f＝，f()＝，

所以f(x)在区间上的最大值为.