人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.2 函数的单调性优质课第2课时2课时教学设计及反思

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1．直线的斜率


(1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称eq \f(y2－y1,x2－x1)为直线AB的斜率；(若记Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为eq \f(Δy,Δx))，当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．


(2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度．


2．平均变化率与函数单调性


若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(y2－y1,x2－x1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(即\f(Δf,Δx)＝\f(fx2－fx1,x2－x1)))，则


(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是eq \f(Δy,Δx)＞0在I上恒成立；


(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是eq \f(Δy,Δx)＜0在I上恒成立．


当x1≠x2时，称eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量．


3．平均变化率的物理意义


(1)把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均速度，即eq \x\t(v)＝eq \f(st2－st1,t2－t1).


(2)把速度v看成时间t的函数v＝v(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均加速度，即eq \x\t(a)＝eq \f(vt2－vt1,t2－t1).





1．已知点A(1,0)，B(－1,1)，则直线AB的斜率为( )


A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－2 D．2


A [直线AB的斜率eq \f(1－0,－1－1)＝－eq \f(1,2).]


2．如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为( )





A．1 B．－1 C．2 D．－2


B [eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f3－f1,3－1)＝eq \f(1－3,3－1)＝－1.]


3．一次函数y＝－2x＋3在R上是________函数．(填“增”或“减”)


减 [任取x1，x2∈R且x1≠x2.


∴y1＝－2x1＋3，y2＝－2x2＋3，


∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－2＜0，故y＝－2x＋3在R上是减函数．]


4．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5，当x1＝4，且Δx＝1时，求Δy的平均变化率eq \f(Δy,Δx).


[解] ∵f(x)＝2x2＋3x－5，x1＝4，x2＝x1＋Δx，


∴Δy＝f(x2)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2xeq \\al(2,1)＋3x1－5)＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.


当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21.


则eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(21,1)＝21.





【例1】 一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．


[思路点拨] 由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率．


[解] 设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量


ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，


所以平均膨胀率eq \f(ΔS,Δt)＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.





1．关于平均变化率的问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、平均加速度、平均膨胀率等．找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键．


2．求平均变化率只需要三个步骤：(1)求出或者设出自变量的改变量；(2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量；(3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值．








1．路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯．


(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；


(2)求人离开路灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率．


[解] (1)如图所示，设此人从C点运动到B点的位移为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m，由于CD∥BE，则eq \f(AB,AC)＝eq \f(BE,CD)，即eq \f(y,y＋x)＝eq \f(1.6,8)，所以y＝0.25x.





(2)84 m/min＝1.4 m/s，则y关于t的函数关系式为y＝0.25×1.4t＝0.35t，所以10 s内平均变化率eq \f(Δy,Δt)＝eq \f(3.5,10)＝0.35(m/s)，


即此人离开灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率为0.35 m/s.





【例2】 若函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数且f(x)＞0，求证：g＝eq \f(1,fx)在I上为减函数．


[思路点拨] 由y＝f(x)在I上为增函数的充要条件可得eq \f(Δy,Δx)＞0，再证eq \f(Δg,Δx)＜0即可．


[证明] 任取x1，x2∈I且x2＞x1，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)，


∵函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数，


∴Δy＞0，eq \f(Δy,Δx)＞0，


∴Δg＝g(x2)－g(x2)＝eq \f(1,fx2)－eq \f(1,fx1)＝eq \f(fx1－fx2,fx1fx2).


又∵f(x)＞0，∴f(x1)f(x2)＞0且f(x1)－f(x2)＜0，


∴Δg＜0，


∴eq \f(Δg,Δx)＜0，故g＝eq \f(1,fx)在I上为减函数．





单调函数的运算性质


若函数fx，gx在区间I上具有单调性，则：1fx与fx＋CC为常数具有相同的单调性.


2fx与a·fx，当a＞0时具有相同的单调性；当a＜0时具有相反的单调性.


3当fx恒为正值或恒为负值时，fx与eq \f(1,fx)具有相反的单调性.


(4)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：











2．已知函数f(x)＝1－eq \f(3,x＋2)，x∈[3,5]，判断函数f(x)的单调性，并证明．


[解] 由于y＝x＋2在[3,5]上是增函数，且恒大于零，因此，由性质知f(x)＝1－eq \f(3,x＋2)为增函数．


证明过程如下：


任取x1，x2∈[3,5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，


则Δy＝f(x2)－f(x1)＝1－eq \f(3,x2＋2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,x1＋2)))＝eq \f(3,x1＋2)－eq \f(3,x2＋2)＝eq \f(3x2－x1,x1＋2x2＋2).


∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，


∴Δy＞0，∴eq \f(Δy,Δx)＞0，故函数f(x)在[3,5]上是增函数．





[探究问题]


1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？


提示：





2．求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？


提示：若求二次函数f(x)在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x＝－eq \f(b,2a)与区间[m，n]的关系．


【例3】 已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值．


[思路点拨]





[解] 因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图像开口向上，其对称轴为x＝eq \f(a,2)，


当eq \f(a,2)≤eq \f(1,2)，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；


当eq \f(a,2)>eq \f(1,2)，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.





1．在题设条件不变的情况下，求f(x)在[0,1]上的最小值．


[解] (1)当eq \f(a,2)≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝1.


(2)当eq \f(a,2)≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，


∴f(x)min＝f(1)＝2－a.


(3)当0

2．在本例条件不变的情况下，若a＝1，求f(x)在[t，t＋1](t∈R)上的最小值．


[解] 当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图像的对称轴为x＝eq \f(1,2)，


①当t≥eq \f(1,2)时，f(x)在其上是增函数，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；


②当t＋1≤eq \f(1,2)，即t≤－eq \f(1,2)时，f(x)在其上是减函数，


∴f(x)min＝f(t＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)＝t2＋t＋1；


③当t




二次函数在闭区间上的最值


设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：











1．平均变化率中Δx，Δy，eq \f(Δy,Δx)的理解


(1)函数f(x)应在x1，x2处有定义；


(2)x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；


(3)注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)；


(4)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．


2．判断函数y＝f(x)在I上单调性的充要条件


(1)y＝f(x)在I上单调递增的充要条件是eq \f(Δy,Δx)＞0恒成立；


(2)y＝f(x)在I上单调递减的充要条件是eq \f(Δy,Δx)＜0恒成立.





1．思考辨析


(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为a.( )


(2)函数y＝f(x)的平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)的几何意义是过函数y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))所在直线的斜率．( )


(3)在[a，b]上，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)任意两点的平均变化率都相等．( )


[答案] (1)√ (2)√ (3)×


2．函数f(x)＝eq \r(x)从1到4的平均变化率为( )


A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)


C．1 D．3


A [Δy＝eq \r(4)－eq \r(1)＝1，Δx＝4－1＝3，则平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(1,3).]


3．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是( )








B [由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，往后高度增加得越来越慢，仅有B中的图像符合题意．]


4．一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)．求该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．


[解] 该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(8－31＋Δt2－8＋3×12,Δt)＝(－6－3Δt)(m/s)．





学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解斜率的含义及平均变化率的概念．(重点)


2．掌握判断函数单调性的充要条件．(重点、难点)
通过利用函数f(x)的平均变化证明f(x)在I上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养.
平均变化率的计算
利用平均变化率证明函数的单调性
f(x)
g(x)
f(x)＋g(x)
f(x)－g(x)
增函数
增函数
增函数
不能确定单调性
增函数
减函数
不能确定单调性
增函数
减函数
减函数
减函数
不能确定单调性
减函数
增函数
不能确定单调性
减函数
二次函数的单调性最值问题
对称轴与区间的关系
－eq \f(b,2a)＜m＜n，


即－eq \f(b,2a)∈(－∞，m)
m＜－eq \f(b,2a)＜n，


即－eq \f(b,2a)∈(m，n)
m＜n＜－eq \f(b,2a)，


即－eq \f(b,2a)∈(n，＋∞)
图像
最值
f(x)max＝f(n)，


f(x)min＝f(m)
f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)))
f(x)max＝f(m)，


f(x)min＝f(n)