数学必修 第一册3.1.2 函数的单调性第2课时随堂练习题

这是一份数学必修 第一册3.1.2 函数的单调性第2课时随堂练习题，共5页。试卷主要包含了综上知a=±2，已知函数f=x2-2x+2等内容，欢迎下载使用。

合格考达标练
1.(多选题)若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值可能是( )

A.2B.-2C.1D.0
答案AB
解析由题意a≠0,当a>0时,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上知a=±2.
2.若函数y=ax+1(a>0)在区间[1,3]上的最大值为4,则a=( )
A.2B.3C.1D.-1
答案C
解析因为a>0,所以一次函数y=ax+1在区间[1,3]上单调递增,所以当x=3时,函数y=ax+1取得最大值,故3a+1=4,解得a=1.故选C.
3.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为( )
A.-1B.0C.1D.2
答案C
解析∵f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,
∴f(x)在[0,1]上单调递增,则f(x)min=f(0)=a=-2,
∴f(x)max=f(1)=3+a=1.
4.已知定义在(0,+∞)上单调递减的函数f(x)满足条件:对任意x,y,且x>0,y>0,总有f(xy)=f(x)+f(y)-1,则关于x的不等式f(x-1)>1的解集是( )
A.(-∞,2)B.(1,+∞)
C.(1,2)D.(0,2)
答案C
解析令y=1,则f(x)=f(x)+f(1)-1,得f(1)=1,所以f(x-1)>1⇒f(x-1)>f(1).又f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以x-1>0,x-1<1,得15.若函数f(x)=1x在区间[1,a]上的最小值为14,则a= .
答案4
解析∵f(x)=1x在区间[1,a]上单调递减,
∴函数f(x)的最小值为f(a)=1a=14,∴a=4.
6.已知函数f(x)=x2-2x+2.
(1)求f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值;
(2)若g(x)=f(x)-mx在[-1,2]上单调递增,求m的取值范围.
解(1)因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
而x∈[-2,3],所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1.又f(-2)=(-2-1)2+1=10,f(3)=(3-1)2+1=5,故f(-2)>f(3),所以函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值为10.
(2)因为g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2,其对称轴为x=m+22.由函数在区间[-1,2]上单调递增可得m+22≤-1,解得m≤-4.故m的取值范围是(-∞,-4].
等级考提升练
7.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( )
A.90万元B.120万元
万元D.60万元
答案B
解析设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,根据题意,总利润y=-x2+21x+2(15-x)(0≤x≤15,x∈N),整理得y=-x2+19x+30.
因为该函数图像的对称轴为x=192,开口向下,又x∈N,所以当x=9或x=10时,y取得最大值120万元.
8.已知函数f(x)=-x2+2x+4在区间[0,m]上有最大值5,最小值1,则m的值等于( )
A.-1B.1C.2D.3
答案D
解析因为函数f(x)=-x2+2x+4=-(x-1)2+5,故函数在区间(-∞,1]上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.
若m≤1,则函数在区间[0,m]上单调递增,其最小值为f(0)=-02+2×0+4=4>1,显然不合题意.
若m>1,则函数在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,m]上单调递减,
故函数的最大值为f(1)=5.
而f(0)=-02+2×0+4=4>1.令f(m)=1,即-m2+2m+4=1,也就是m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3.
又因为m>1,所以m=3.故选D.
9.在实数的原有运算法则中,补充定义新运算“?”如下:当a≥b时,a?b=a;当aA.12,+∞B.12,2
C.12,23D.-1,23
答案C
解析当-2≤x≤1时,f(x)=1·x-2×2=x-4;
当1所以f(x)=x-4,-2≤x≤1,x3-4,1易知,f(x)=x-4在区间[-2,1]上单调递增,f(x)=x3-4在区间(1,2]上单调递增,且当-2≤x≤1时,f(x)max=-3,110.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为 .
答案6
解析在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=10-x的图像.根据min{x+2,10-x}(x≥0)的含义可知,f(x)的图像应为图中实线部分.解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图像的交点坐标为(4,6).
由图像可知,函数f(x)的最大值为6.
11.经市场调查,某新开业的商场在过去一个月内(以30天计),顾客人数f(t)(单位:千人)与时间t(单位:天)的函数关系近似满足f(t)=4+1t(t∈N*),人均消费g(t)(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系近似满足g(t)=100t(1≤t≤7,t∈N*),130-t(7(1)求该商场的日收益w(t)(单位:千元)与时间t(单位:天)(1≤t≤30,t∈N*)的函数关系式;
(2)求该商场日收益的最小值.
解(1)由题得w(t)=f(t)g(t)=400t+100,1≤t≤7,t∈N*,519-4t+130t,7(2)当1≤t≤7时,w(t)=400t+100单调递增,当t=1时,w(t)取最小值,即w(1)=500;
当7由12103<500,可得w(t)的最小值为12103.
故该商场日收益的最小值为12103千元.
新情境创新练
12.设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.
解根据题意,a≤x2-2ax+2在区间[-1,+∞)上恒成立,即a≤f(x)min.
下面研究f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2在区间[-1,+∞)上的最小值.
(1)当a<-1时,f(x)min=f(-1)=1+2a+2=3+2a;
(2)当a≥-1时,f(x)min=f(a)=2-a2.
故f(x)min=3+2a,a<-1,2-a2,a≥-1.
由a≤f(x)min,得:
当a<-1时,有a≤3+2a,即a≥-3,从而-3≤a<-1;
当a≥-1时,有a≤2-a2,即a2+a-2≤0,(a-1)(a+2)≤0,
故-2≤a≤1,从而-1≤a≤1.
综上,a的取值范围为[-3,1].