数学选择性必修第一册5.1 导数的概念巩固练习

这是一份数学选择性必修第一册5.1 导数的概念巩固练习，共5页。

1．如图，函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选B eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（3）－f（1）,3－1)＝eq \f(1－3,3－1)＝－1.
2．函数f(x)＝x2＋2c(c∈R)在区间[1，3]上的平均变化率为( )
A．2 B．4
C．2c D．4c
解析：选B ∵f(x)＝x2＋2c，∴该函数在区间[1，3]上的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（3）－f（1）,3－1)＝eq \f(（32＋2c）－（12＋2c）,2)＝4.
3．设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为s＝eq \f(1,4)t4－4t3＋16t2(单位：米)，则列车运行10秒的平均速度为( )
A．10米/秒 B．8米/秒
C．4米/秒 D．0米/秒
解析：选A 列车从开始运行到10秒时，列车距离的增加量为s(10)－s(0)＝100－0＝100(米)，则列车运行10秒的平均速度为eq \f(s（10）－s（0）,10－0)＝10(米/秒)．
4．(多选)如图为物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是( )
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
解析：选BC 在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为v＝eq \f(s0,t0)，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为eq \f(s2－s0,t1－t0)，乙的平均速度为eq \f(s1－s0,t1－t0).因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以eq \f(s2－s0,t1－t0)>eq \f(s1－s0,t1－t0)，故C正确，D错误．
5．(2021·北京四中高二检测)若函数f(x)＝x，g(x)＝x2在[0，1]上的平均变化率分别记为m1，m2，则下面结论正确的是( )
A．m1＝m2 B．m1>m2
C．m2>m1 D．m1，m2的大小无法确定
解析：选A f(x)在[0，1]上的平均变化率为m1＝eq \f(1－0,1－0)＝1，
g(x)在[0，1]上的平均变化率为m2＝eq \f(1－0,1－0)＝1，
故m1＝m2.
6．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________，f(x)在[t，6]上平均变化率为________．
解析：因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，
所以eq \f(f（t）－f（－2）,t－（－2）)＝eq \f(（t2－t）－[（－2）2－（－2）],t＋2)＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，
从而t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去)．
所以f(x)在[t，6]上的平均变化率为eq \f(f（6）－f（t）,6－t)＝eq \f(f（6）－f（5）,6－5)＝eq \f(10,1)＝10.
答案：5 10
7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．
解析：由平均变化率的几何意义知：v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC，由图象知：kOA答案：v18．(2021·山东临沂一中月考)已知函数f(x)＝ax2在区间[1，2]上的平均变化率为eq \r(3)，则f(x)在区间[－2，－1]上的平均变化率为________．
解析：∵f(x)在[1，2]上的平均变化率
eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（2）－f（1）,2－1)＝eq \f(4a－a,1)＝3a，
∴3a＝eq \r(3)，即a＝eq \f(\r(3),3)，故f(x)＝eq \f(\r(3),3)x2.
∴f(x)在[－2，－1]上的平均变化率为
eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（－1）－f（－2）,－1－（－2）)＝eq \f(\f(\r(3),3)－\f(4\r(3),3),1)＝－eq \r(3).
答案：－eq \r(3)
9．若一物体的运动方程为s＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(29＋3（t－3）2，0≤t<3，,3t2＋2，t≥3，))(路程单位：m，时间单位：s)．求物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度．
解：因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度为eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(48,2)＝24(m/s)．
10．药物在动物体内的含量随时间变化的规律，是药学与数学之间的边缘学科——药物动力学的研究内容，相关的规律是确定药物的使用量和用药时间间隔的依据．他克莫司是一种新型免疫抑制剂，在器官移植临床中的应用非常广泛．已知某病人服用他克莫司t h后血药浓度w μg/L的一些对应数据如下表所示：
(1)求函数w＝f(t)在区间[0.5，1]与[1，1.5]上的平均变化率；
(2)当t∈[3，5]时，平均每小时w的变化量为多少？这里的平均每小时的变化量有什么实际意义？
解：(1)w＝f(t)在区间[0.5，1]上的平均变化率为：eq \f(28.6－6.6,1－0.5)＝44，
w＝f(t)在区间[1，1.5]上的平均变化率为eq \f(39.1－28.6,1.5－1)＝21.
(2)当t∈[3，5]时，w的变化量为：8.8－22.7＝－13.9，
又因为共有5－3＝2(h)，所以平均每小时的变化量为eq \f(－13.9,2)＝－6.95.这说明，在[3，5]这段时间内，任意1个小时血药浓度平均减少6.95 μg/L，此时，任意h(h∈[0，2])个小时血药浓度平均减少6.95h μg/L.
[B级 综合运用]
11.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A．两机关节能效果一样好
B．A机关比B机关节能效果好
C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
解析：选B 由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好．
12．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①f(x)＝x;
②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝eq \f(1,x)中，平均变化率最大的是________(填序号)．
解析：①中，函数y＝x，则Δy＝f(1.3)－f(1)＝0.3；
②中，函数y＝x2，则Δy＝f(1.3)－f(1)＝0.69；
③中，函数y＝x3，则Δy＝f(1.3)－f(1)＝1.197；
④中，函数y＝eq \f(1,x)，则Δy＝f(1.3)－f(1)≈－0.23.
所以，平均变化率最大的是③.
答案：③
13．函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．
解析：函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,（x0＋Δx）－x0)＝eq \f([3（x0＋Δx）2＋2]－（3xeq \\al(2,0)＋2）,Δx)＝eq \f(6x0·Δx＋3（Δx）2,Δx)＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
答案：6x0＋3Δx 12.3
14．试写出正弦函数y＝sin x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上的平均变化率，并判断哪一个较大？
解：函数y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))上的平均变化率为eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))－f（0）,\f(π,6)－0)＝eq \f(\f(1,2),\f(π,6))＝eq \f(3,π).
函数y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上的平均变化率为
eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3))),\f(π,2)－\f(π,3))＝eq \f(1－\f(\r(3),2),\f(π,6))＝eq \f(6－3\r(3),π)，
∵eq \f(3,π)>eq \f(6－3\r(3),π)，
∴函数y＝sin x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))上平均变化率大．
[C级 拓展探究]
15.已知甲、乙两人百米赛跑路程与时间的关系如图所示．
(1)甲、乙两人的平均速度各是多少？
(2)在接近终点时，甲、乙两人谁的速度更快？
解：(1)由题图可知，当t＝0时，甲、乙从起点出发，当t＝12 s时，甲、乙到达终点，且甲、乙两人跑一百米都用了12 s，即y总＝100 m，
t总＝12 s，
所以eq \(v,\s\up6(－))甲＝eq \(v,\s\up6(－))乙＝eq \f(y总,t总)＝eq \f(100,12)＝eq \f(25,3)(m/s)．
(2)由题图可知在t＝12 s附近，乙跑的路程增量比甲多，所以乙的斜率大于甲的斜率，所以v甲t
0
0.5
1
1.5
2
3
5
8
w
0
6.6
28.6
39.1
31
22.7
8.8
8.3