数学3.1.2 函数的单调性第1课时学案

这是一份数学3.1.2 函数的单调性第1课时学案，共13页。

3.1.2　函数的单调性
第1课时　函数单调性的定义与证明、函数的最值
学习目标　1.理解函数的单调性的定义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性.2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间.3.理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值．

知识点一　增函数与减函数的定义
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D：如果对任意x1，x2∈I，当x1 都有f(x1) 都有f(x1)>f(x2)
结论
y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)
y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)
图示



思考　(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？
(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？
答案　(1)不是．　(2)不能．
知识点二　函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)．
知识点三　函数的最值

最大值
最小值
条件
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D
都有f(x)≤f(x0)
都有f(x)≥f(x0)
结论
称f(x)的最大值为f(x0)，记作f(x)max＝f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点
称f(x)的最小值为f(x0)，记作f(x)min＝f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点
统称
最大值和最小值统称为最值
最大值点和最小值点统称为最值点


1．若函数y＝f(x)在区间[1,3]上是减函数，则函数y＝f(x)的单调递减区间是[1,3]．(　×　)
2．若函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．(　√　)
3．若函数y＝f(x)在定义域上有f(1) 4．若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　)
5．若f(x)在(－5,1)上是增函数，则f(x)在(－5,1)上的最大值为f(1)．(　×　)

一、函数单调性的判定与证明
例1　证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
证明　任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋＝.
因为2＜x1＜x2，
所以x1－x2＜0，x1x2>4，x1x2－4>0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
延伸探究　若本例的函数不变，试判断f(x)在(0,2)上的单调性．
解　函数f(x)＝x＋在(0,2)上单调递减．
证明：任取x1，x2∈(0,2)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋
＝.
因为0＜x1＜x2＜2，
所以x1－x2＜0,0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)＝x＋在(0,2)上单调递减．
反思感悟　利用定义证明函数单调性的4个步骤

跟踪训练1　求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
证明　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1 有f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
∵x1 ∴x2－x1>0，x1＋x2<0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) ∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1 有f(x1)－f(x2)＝.
∵00，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
二、求函数的单调区间
例2　画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像，并指出函数的单调区间．
解　当x≥0时，
y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
当x<0时，
y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
即y＝
作出函数的图像如图所示，

所以函数在(－∞，－1)和[0,1)上是增函数，
在[－1,0)和[1，＋∞)上是减函数．
反思感悟　求函数单调区间的两种方法
(1)定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)图像法．即先画出图像，根据图像求单调区间．
跟踪训练2　 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数．

解　y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数．
(2)作出函数f(x)＝的图像，并指出函数f(x)的单调区间．
解　f(x)＝的图像如图所示，由图可知，

函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]，单调递增区间为[2，＋∞)．
三、函数单调性的应用
命题角度1　利用函数的单调性比较大小
例3　已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f(a2－a＋1)与f 的大小．
解　∵a2－a＋1＝2＋≥，
∴与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值．
又f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
∴f ≥f(a2－a＋1)．

反思感悟　利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．
跟踪训练3　若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　)
A．f(a)>f(2a) B．f(a2) C．f(a2＋a) 答案　D
解析　当a<0时，a>2a，因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f(a)f(a)，故B不正确．当a＝0时，a2＋a＝a＝0，所以f(a2＋a)＝f(a)，故C不正确．因为a2＋1>a2，函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f(a2＋1) 命题角度2　利用函数的单调性解不等式
例4　已知函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2) 解　∵函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，
∴
解得1≤x≤2，①
又∵f(x－2) ∴x－2<1－x，即x<.②
由①②可得1≤x<，
即x的取值范围为.
反思感悟　利用函数的单调性解不等式的注意点
利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用，如果f(x1) 若f(x)在(a，b)上是增函数，则有
若f(x)在(a，b)上是减函数，则有
必须注意两点：①两边化为同名函数的不同函数值；②自变量必须化到同一单调区间上，若转化不了，就进行讨论．
跟踪训练4　已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a) 答案　
解析　由题意知解得0 命题角度3　利用单调性求最值
例5　已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解　(1)f(x)在[3,5]上是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈[3,5]，且x1 则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为3≤x1 所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) 所以f(x)在[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，f(x)在[3,5]上为增函数，
则f(x)的最大值为f(5)＝，f(x)的最小值为f(3)＝.
反思感悟　利用函数单调性求最值的方法
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
跟踪训练5　已知函数f(x)＝＋3(x∈[2,4])，求函数f(x)的最大值和最小值．
解　设x1，x2是[2,4]上任意两个实数，且x1 所以f(x1)－f(x2)＝＋3－
＝－＝
＝，
因为2≤x1 所以x1－x2<0,1－x1<0,1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) 所以f(x)在[2,4]上是增函数，
所以f(x)的最大值为f(4)＝1，f(x)的最小值为f(2)＝－3.

二次函数最值分类讨论问题
典例　已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最小值．
解　由题意得，函数f(x)的对称轴为x＝1，
(1)当1≥t＋2，即t≤－1时，f(x)在[t，t＋2]上为减函数，
∴f(x)的最小值为f(t＋2)
＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.
(2)当t≤1 f(x)的最小值为f(1)＝－4.
(3)当11时，f(x)在[t，t＋2]为增函数，
∴f(x)的最小值为f(t)＝t2－2t－3.
设函数f(x)的最小值为g(t)，则有
g(t)＝
[素养提升]　二次函数在指定区间上的最值主要有三类：轴动区间定、轴定区间动、两者都动．与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．要注意利用二次函数图像，通过直观想象，进行分类讨论，提升逻辑推理素养．

1．如图是函数y＝f(x)的图像，则此函数的单调递减区间的个数是(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　由图像，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．
2．函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则函数f(x)在(a，b)上是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．不增不减函数 D．既增又减函数
答案　B
解析　∵(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔
或
即当x1f(x2)或当x1>x2时，
f(x1) 3．函数y＝x2－6x的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
答案　D
解析　y＝x2－6x＝(x－3)2－9，
故单调递减区间为(－∞，3]．
4．函数f(x)＝在[1，＋∞)上(　　)
A．有最大值无最小值
B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值
D．无最大值也无最小值
答案　A
解析　由于f(x)＝在[1，＋∞)上单调递减，所以f(x)在[1，＋∞)上有最大值，无最小值．
5．函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，若函数f(x)在区间[－4，－2]上单调递减，在区间[－2,6]上单调递增，且f(－4) 答案　f(－2)　f(6)
解析　作出符合条件的函数的简图(图略)，可知最小值为f(－2)，最大值为f(6)．

1．知识清单：
(1)增函数、减函数的定义．
(2)函数的单调区间的求法．
(3)单调性的应用．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：函数的单调区间误用并集．


1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　)

A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
答案　C
解析　单调区间不能用“∪”连接．
2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　　)
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝ D．y＝－|x＋1|
答案　B
解析　y＝x2＋1在(0,2)上是增函数．
3. 函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间分别是(　　)
A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，(1，＋∞)
C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
答案　C
解析　分别作出f(x) 与g(x)的图像得，f(x)在[0，＋∞)上递增，g(x)在(－∞，1]上递增，选C.
4．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　C
解析　因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4
＝－(x－2)2＋4＋a，
所以函数f(x)图像的对称轴为x＝2.
所以f(x)在[0,1]上单调递增．
又因为f(x)在[0,1]上的最小值为－2，所以f(0)＝－2，
即a＝－2.
所以f(x)的最大值为f(1)＝－1＋4－2＝1.
5．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是(　　)
A.>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)≤f(x1) D．f(x1)>f(x2)
答案　AB
解析　由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于选项C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断，所以f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C，D不正确．
6．若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2) 答案　(5，＋∞)
解析　函数的定义域为R，由条件可知，x－2>3，解得x>5.
7．若二次函数f(x)＝x2－2ax＋m在(－∞，2]上是减函数，则a的取值范围是________．
答案　[2，＋∞)
解析　题中二次函数图像的对称轴为x＝a，由二次函数的图像，知函数在(－∞，a]上单调递减，∴a≥2.
8．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是______，单调递增区间是____．
答案　(－∞，1)　[1，＋∞)
解析　因为当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是[1，＋∞)．
9．已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
解　(1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：
任取－1 则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1) 所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(2)＝＝，
最大值为f(4)＝＝.
10．求函数f(x)＝x＋(x>0)的单调区间，并指出函数的最小值．
解　设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1 则f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)－
＝.
∵0 ∴x1－x2<0，x1x2>0.
由于x1x2－9的符号不能确定，因此需要对x1，x2的取值进行讨论．
当x1，x2∈(0,3]时，有x1x2－9<0，
∴>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在区间(0,3]上是减函数；
当x1，x2∈[3，＋∞)时，有x1x2－9>0，
∴<0，即f(x1) ∴f(x)在区间[3，＋∞)上是增函数．
综上可知，函数f(x)＝x＋(x>0)的单调递减区间是(0,3]，单调递增区间是[3，＋∞)，
故f(x)的最小值为f(3)＝6.

11．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．(0,3] C．(0,2) D．(0,2]
答案　D
解析　依题意得实数a满足
解得0 12．(多选)若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值可以是(　　)
A．2 B．－2 C．1 D．0
答案　AB
解析　依题意，当a>0时，y＝ax＋1在x＝2处取得最大值，在x＝1处取得最小值，所以2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2.
当a<0时，y＝ax＋1在x＝1处取得最大值，在x＝2处取得最小值，所以a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2.
13．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________．
答案　
解析　令y＝－2，f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，
又f(3)＝1，∴不等式f(x)＋f(－2)>1，
即为f(－2x)>f(3)．
∵f(x)是定义在R上的增函数，∴－2x>3，
解得x<－.故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为.
14. 已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是______．
答案　 (－∞，2)
解析　画出f(x)的图像(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)>f(a)⇔4－a>a，解得a<2.

15. (多选)已知f(x)是定义在R上的增函数，则下列结论中错误的有(　　)
A．y＝[f(x)]2是增函数
B．y＝(f(x)≠0)是减函数
C．y＝－f(x)是减函数
D．y＝|f(x)|是增函数
答案　ABD
解析　设f(x)＝x，且在R上递增．
对于A选项，y＝x2在(－∞，0)上递减，故A选项结论错误．
对于B选项，y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减，但不能说y＝是减函数，故B选项结论错误．
对于C选项，y＝－x是减函数．以下证明一般性：由于f(x)是定义在R上的增函数，根据复合函数的单调性同增异减可知y＝－f(x)是R上的减函数．故C选项结论正确．
对于D选项，y＝|x|在(－∞，0)上递减，故D选项结论错误．
16．已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，当x>1时，f(x)>0，且f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(1)；
(2)证明：f(x)在定义域上是增函数；
(3)如果f ＝－1，求满足不等式f(x)－f(x－2)≥2的x的取值范围．
(1)解　令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，
故f(1)＝0.
(2)证明　令y＝，
得f(1)＝f(x)＋f ＝0，
故f ＝－f(x)．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1 则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f ＝f .
由于>1，故f >0，
∴f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)解　由于f ＝－1，且f ＝－f(3)，
故f(3)＝1.
在f(xy)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.
故所给不等式可化为f(x)－f(x－2)≥f(9)，
∴f(x)≥f[9(x－2)]，∴x≥9(x－2)，即x≤，
又∴2 ∴x的取值范围是.