专题09相似三角形-2022年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练试卷（学生版+教师版）

这是一份专题09相似三角形-2022年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练试卷（学生版+教师版），文件包含专题09相似三角形学生版docx、专题09相似三角形教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。

一、热点题型归纳
【题型一】 线段成比例问题
【题型二】 相似三角形的判定问题
【题型三】 相似三角形的性质问题
【题型四】 位似问题与位似的作图
二、最新模考题组练2
【题型一】 线段成比例问题
【典例分析】（2021·四川巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对
【提分秘籍】
1.对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如(即ad=bc)，我们就说这四条线段成比例。
其主要性质有：
(1)基本性质：如果 ，那么ad=bc。(如果那么b²=ac)
(2)合分比性质：如果那么
(3)等比性质：如果（），那么。
2.黄金分割有关的问题
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，黄金比。
用黄金分割解决实际问题时常用到黄金比，即较长线段：全线段=。
3.成比例线段的证明或求值问题
要证明线段成比例或求两线段之比的问题，常用到的理论依据有两点：
（1）平行线分线段成比例的基本事实；
（2）相似三角形对应边成比例的性质。
【变式演练】
1．（2021·广西平桂·九年级期中）下列四条线段中，成比例的是（ ）．
A．a=1，b=2，c=3，d=4B．a=1，b=2，c=3，d=6
C．a=2，b=3，c=4，d=7D．a=3，b=2，c=5，d=4
2．（2021·北京昌平·九年级期中）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝﹣1，则长AB为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
3．（2021·江苏·扬州市梅岭中学九年级）2022年即将到来，一年一度的“元旦汇演”即将拉开帷幕，若“元旦汇演”的舞台纵深为8米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点P处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为（ ）
A．2.5米B．2.9米C．3.0米D．3.1米
【题型二】 相似三角形的判定问题
【典例分析】（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）
【提分秘籍】
1.相似三角形的判定方法：
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或其延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.这是判定两个三角形相似的最基本的一个定理.
(2)两个三角形相似的判定定理：
①三边成比例的两个三角形相似；
②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
③两角分别相等的两个三角形相似.
2.判定两个三角形相似需要根据条件选择方法.有时条件不具备，需从以下几个方面探求：
(1)条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；
(2)两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；
(3)两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；
(4)条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例.
【变式演练】
1．（2021·北京市师达中学九年级）如图，点E在▱ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G．图中相似的两个三角形共有 _____对．
2．（2021·宁夏·银川市第十五中学九年级期中）如图，点D在的边上，要判定与相似，则需要添加一个条件是_______．
3．（2021·重庆实验外国语学校九年级）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，且AE＝BE，DF＝3CF，连接EF、BD交于点O，则△BEO与△ODF的面积比为____．
【题型三】 相似三角形的性质问题
【典例分析】（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝__．
【提分秘籍】
解与三角形相似有关的问题时常用到以下性质：
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例；
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；
(3)相似三角形周长的比等于相似比，相似多边形周长的比等于相似比；
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似多边形面积的比等于相似比的平方。
【变式演练】
1．（2021·内蒙古·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为__________．
2．（2021·广东惠阳·二模）如图，AB，CD相交于O点，△AOC∽△BOD，OC：CD＝1：3，AC＝2，则BD的长为 。
3．（2021·福建永春·九年级期中）如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB=12，BC=18，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．
则：①CD=______；②图中阴影部分面积为______．
【题型四】 位似问题与位似的作图
【典例分析】（2021·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对角线．
（1）在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；
（2）将以为旋转中心，逆时针旋转，得到，作出，并求出线段旋转过程中所形成扇形的周长．
【提分秘籍】
1.位似图形问题：如果两个平面图形不仅相似，而且对应顶点的连线或延长线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比。
2.位似图形具有下列性质：
(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于一点；
(3)位似图形对应线段平行或在同一条直线上且成比例；
(4)位似图形的对应角相等。
3.似图形的画图问题：作位似图形就是将一个平面图形进行放大或缩小，其依据是位似图形的性质，即位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。因此，作位似图形有两个要点：一是位似中心（位似中心位于对应点的连线所在的直线上）；二是相似比。
【变式演练】
1．（2021·四川高县·九年级期末）在如图所示的方格中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)、A(﹣2，﹣1)、B(﹣1，﹣3)，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标及△O1A1B1与△OAB的位似比；
(2)以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△OAB的另一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，并写出点B的对应点B2的坐标．
2．（2021·山东省济南育贤中学九年级期中）在平面直角坐标系中，的项点坐标分别为、、．
(1)在坐标系中面出关于y轴的对称图形；
(2)在坐标系中原点O的异侧，画出以O为位似中心与位似比为2的位似图形；
(3)求出的面积．
3．（2021·北京四中九年级）如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为（2，1），（3，﹣1），
（1）以点O为位似中心，将△OAB放大为原来的两倍，画出图形；
（2）A点的对应点A'的坐标是 ；B点的对应点B′的坐标是 ；
（3）在AB上有一点P（x，y），按（1）的方式得到的对应点P′的坐标是 ．
1．（2022·山东历城·九年级期末）如图，在△ABC中，，，，，则AB的值为（ ）
A．6B．8C．9D．12
2．（2022·江苏启东·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至，连结，若满足，，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·福建·泉州五中九年级开学考试）若且相似比为1：4，则与的面积比为（ ）
A．1：4B．4：1C．1：16D．16：1
4．（2022·山东槐荫·九年级期末）如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
5．（2022·广东顺德·九年级开学考试）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（ ）
A．∠AED=∠BB．
C．AD·BC= DE·ACD．DE//BC
6．（2022·山东无棣·九年级期末）如图平行四边形中，F为中点，延长至E，使，连结交于点G，则（ ）
A．2∶3B．4∶9C．9∶4D．3∶2
7．（2022·陕西雁塔·九年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，DE＝3，则CF的长为（ ）
A．4B．6C．9D．12
8．（2022·山东北区·九年级期末）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（ ）
A．14cmB．16cmC．25cmD．32cm
9．（2022·江苏崇川·九年级期末）如图所示，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，且DE//BC，EF//AB．如果△ADE的面积为2，△CEF的面积为8，那么四边形BFED的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．10
10．（2022·江苏扬州·九年级期末）若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（ ）
A．cmB．2（﹣1）cmC．4（﹣1）cmD．6（﹣1）cm
11．（2022·黑龙江铁锋·九年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC=6，D，E分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，若为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A．B．2C．3D．4
12．（2022·辽宁·东北育才实验学校模拟预测）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD、AD上，且AB＝2CE＝3AF，过F作FG⊥BE于P交BC于G，连接DP交BC于H，连BF、EF．下列结论：
①△PBF为等腰直角三角形；②H为BC的中点；③∠DEF＝2∠PFE；④．
其中正确的结论（ ）
A．只有①②③B．只有①②④C．只有③④D．①②③④
13．（2022·山东历城·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，，，点E，F分别在边AD，BC上，且，沿直线EF翻折，点A的对应点恰好落在对角线AC上，点B的对应点为；分别在线段EF，上取点M，N，沿直线MN二次翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为______．
14．（2022·北京市第十一中学九年级开学考试）如图，在中，M、N分别为AC，BC的中点．若，______．
15．（2022·山东商河·九年级期末）矩形纸片ABCD中，，，将纸片折叠，使点B落在边CD上的处，折痕为AE．延长交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，下列五个结论中正确的是___________．
①；②；③；④；⑤若，则．
16．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，点D在斜边AB上，连接CD把△ACD沿直线CD翻折，使点A落在同一平面内的点A′处．当A′D与Rt△ABC的直角边垂直时，AD的长为 _____．
17．（2022·山东济南·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知AD=5，BD=4，那么BC=______．
18．（2022·山东北区·九年级期末）如图，已知正方形ABCD，延长AB至点E使BE＝AB，连接CE、DE，DE与BC交于点N，取CE的中点F，连接BF，AF，AF交BC于点M，交DE于点O，则下列结论：①DN＝EN；②OA＝OE；③CN：MN：BM＝3：1：2；④tan∠CED＝；⑤S四边形BEFM．其中正确的是_____．（只填序号）
19．（2022·山东槐荫·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A．求证：△DCF∽△CEB．
20．（2022·湖南·长沙市南雅中学九年级开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若CD=6，DE=5，求⊙O的直径．
21．（2022·广东揭东·九年级期末）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
(1)画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是___________．
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是___________．
22．（2022·广东广州·一模）如图所示，在三角形ABC中，D是AC上的一点．
(1)以AD为一边，在三角形ABC内求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AB于点E（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若AB＝4，AD＝1，BC＝3，求DE的长．
23．（2022·江苏启东·九年级期末）如图，在和中，，平分．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
24．（2022·广东禅城·九年级期末）如图，四边形ABCD是正方形，E是BC延长线一动点，连AC，BD，连AE交DC于F，交BD于G．
(1)若AC＝EC时，求∠DAE的大小；
(2)求证：AG2＝GF•GE；
(3)连DE，求的最小值．
25．（2022·山东历城·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCBA的顶点C，A分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数的图象与AB，BC分别交于D，E，且顶点，．
(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；
(2)连接DE，AC，判断DE与AC的数量和位置关系并说明理由
(3)点F是反比例函数的图象上的一点，且使得，求直线EF的函数关系式．
26．（2022·山东青岛·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝14cm，AD＝12cm，E是CD边上的一点，DE＝9cm，M是BC边的中点，动点P从点A出发．沿边AB以1cm/s的速度向终点B运动，过点P作PH⊥AE于点H，连接EP．设动点P的运动时间是t（s）（0＜t＜14）．
(1)当t为何值时，PM⊥EM？
(2)设△EHP的面积为y（cm2），写出y（cm2）与t（s）之间的函数关系式．
(3)当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值．
(4)是否存在时刻t，使得点B关于PE的对称点B'落在线段AE上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
27．（2022·山东济南·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=60°，AC=2，点A1，B1为边AC，BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．
(1)如图1，当α=0°时，______，BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为______；
(2)将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)当△A1B1C绕点C逆时针旋转过程中，
①请直接写出△ABA1面积的最大值；
②当A1，B1，B三点共线时，请直接写出线段BB1的长．
28．如图，点C(0，)（a＜0）是y轴负半轴上的一点，经过点C作直线，与抛物线y＝ax2交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接OA、OB，设点A的横坐标为m（m＜0）．
(1)若点A的坐标为(﹣4，﹣2)，求点C的坐标；
(2)若AC：BC＝1：2，m＝﹣1，求a的值，并证明：∠AOB＝90°；
(3)若AC：BC＝1：k（k＞1），问“∠AOB＝90°”这一结论还成立吗？试说明理由．