2020-2021学年5.7 三角函数的应用课时作业

这是一份2020-2021学年5.7 三角函数的应用课时作业，共9页。


1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin 100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是( )
A.eq \f(1,50) B．50
C.eq \f(1,100) D．100
2．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示．
则此楼群在第3季度的平均单价大约是( )
A．10 000元 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
3．如图，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为( )
A．2 s B．1 s
C.eq \f(1,2) s D.eq \f(1,4) s
4．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
5．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s＝Asin(ωt＋φ)，0<φ6．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq \r(3)sin (100πt＋eq \f(π,6))来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
[提能力]
7．(多选)如图，摩天轮的半径为40 m，其中心O点距离地面的高度为50 m，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且20 min转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中( )
A．经过10 min点P距离地面10 m
B．若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的eq \f(1,2)倍
C．第17 min和第43 min时P点距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70 m的时间为eq \f(20,3)min
8．一种波的波形为函数y＝－sineq \f(π,2)x的图象，若其在区间[0，t]上至少有两个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
9．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P(t)＝115＋25sin(160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数P(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数P(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．
[战疑难]
10．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天时刻t的浪高数据的平均值如表所示：
(1)作散点图；
(2)从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b；y＝Atan(ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才能进行训练，试安排恰当的训练时间．
课时作业(四十一) 三角函数的应用
1．解析：T＝eq \f(2π,100π)＝eq \f(1,50).
答案：A
2．解析：因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin2ω＋φ＝0，,sinω＋φ＝1，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2ω＋φ＝mπ，m∈Z，,ω＋φ＝\f(π,2)＋2nπ，n∈Z.))易得3ω＋φ＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z.
又当x＝3时，y＝500sin(3ω＋φ)＋9 500，所以y＝9 000.
答案：C
3．解析：由题意，知周期T＝eq \f(2π,2π)＝1(s)，从最右边到最左边的时间是半个周期，为eq \f(1,2) s.
答案：C
4．解析：T＝eq \f(2π,160π)＝eq \f(1,80)(分)，f＝eq \f(1,T)＝80(次/分)．
答案：80
5．解析：根据图象，知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,12)，0))两点的距离刚好是eq \f(3,4)个周期，所以eq \f(3,4)T＝eq \f(11,12)－eq \f(1,6)＝eq \f(3,4).
所以T＝1，则ω＝eq \f(2π,T)＝2π.
因为当t＝eq \f(1,6)时，函数取得最大值，
所以2π×eq \f(1,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，又0<φ答案：eq \f(π,6)
6．解析：(1)当t＝0时，E＝110eq \r(3)(V)，
即开始时的电压为110eq \r(3)V.
(2)T＝eq \f(2π,100π)＝eq \f(1,50)(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220eq \r(3)V，
当100πt＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即t＝eq \f(1,300) s时第一次取得最大值．
7．解析：由图形知，可以以点O为原点，OP所在直线为y轴，与OP垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，设出时间为t，由题意：
P(t，h－50)，A＝40，T＝20可得ω＝eq \f(2π,20)＝eq \f(π,10)，
故点P离地面的高度h＝40sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,10)t＋\f(π,2)))＋50，
即t时刻点P离地面的高度h＝40sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,10)t＋\f(π,2)))＋50，化简得h＝40cseq \f(π,10)t＋50；
当t＝10 min时，h＝10，故A正确；
若摩天轮转速减半，T＝40，则其周期变为原来的2倍，故B错误；
第17 minP点距离地面的高度为h(17)＝40cseq \f(17π,10)＋50＝40cseq \f(3π,10)＋50，
第20 minP点距离地面的高度为h(43)＝40cseq \f(43π,10)＋50＝40cseq \f(3π,10)＋50，
第17 min和第43 min时P点距离地面的高度相同，故C正确；
摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70 m，即
40 cseq \f(π,10)t＋50≥70，
即cseq \f(πt,10)≥eq \f(1,2)，∵0≤t≤20，得0≤eq \f(πt,10)≤2π，∴0≤eq \f(πt,10)≤eq \f(π,3)或eq \f(5π,3)≤eq \f(πt,10)≤2π，
解得0≤t≤eq \f(10,3)或eq \f(50,3)≤t≤20，共eq \f(20,3) min，故D正确．
故选ACD.
答案：ACD
8．解析：由T＝eq \f(2π,ω)＝4可知此波形的函数周期为4，显然当0≤x≤1时，函数单调递减；1答案：7
9．解析：(1)由于ω＝160π代入周期公式T＝eq \f(2π,ω)，可得T＝eq \f(2π,160π)＝eq \f(1,80)(min)，
所以函数P(t)的周期为eq \f(1,80)min.
(2)函数P(t)的频率f＝eq \f(1,T)＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.
(3)列表：
描点、连线并左右扩展得到函数P(t)的简图如图所示．
(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80 mmHg相比较，此人血压偏高．
10．解析：(1)散点图如图所示．
(2)由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．
不妨令A>0，ω>0，|φ|<π.
由图知，A＝0.4，b＝1，T＝12，
所以ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6).
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋φ))＋1，得φ＝0.
故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sineq \f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sineq \f(π,6)t＋1≥0.8，得sineq \f(π,6)t≥－eq \f(1,2)，
所以－eq \f(π,6)＋2kπ≤eq \f(π,6)t≤eq \f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，
即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24，
再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
x
1
2
y
10 000
9 500
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.5
1.0
t/min
0
eq \f(1,320)
eq \f(1,160)
eq \f(3,320)
eq \f(1,80)
P(t)/mmHg
115
140
115
90
115