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2021学年第五章 三角函数5.7 三角函数的应用练习题
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这是一份2021学年第五章 三角函数5.7 三角函数的应用练习题，共14页。试卷主要包含了7 三角函数的应用等内容，欢迎下载使用。
5.7 三角函数的应用
考点1 函数式y=Asin(ωx+φ)描述简谐运动时的基本概念问题
1.(2018·重庆第一中学高二期末)已知简谐运动f(x)=2sinπ3x+φ|φ|<π2的图像经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )。
A.T=6,φ=π6B.T=6,φ=π3 C.T=6π,φ=π6D.T=6π,φ=π3
答案:A
解析: T=2πω=2ππ3=6。∵f(x)的图像过点(0,1),∴sin φ=12。∵-π2<φ<π2,∴φ=π6。
2.(2018·安徽滁州高二期末)最大值为12,最小正周期为2π3,初相为π6的函数表达式是( )。
A.y=12sinx3+π6B.y=12sinx3-π6 C.y=12sin(3x-π6)D.y=12sin3x+π6
答案:D
解析: 由最小正周期为2π3,排除A,B;由初相为π6,排除C。
3.y=-2sin3x-π3的频率为 ,周期为 ,初相φ= 。
答案: 32π 23π 23π
解析: y=-2sin3x-π3=2sinπ+3x-π3=2sin3x+23π,故周期为23π,频率为32π,初相为23π。
4.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,列表如下:
则振幅是 ,相位是 。
答案: 2 3x-π4
解析: 由表格得A=2,34π-π12=2πω,∴ω=3。∴ωx+φ=3x+φ。当x=π12时,3x+φ=π4+φ=0,∴φ=-π4。
考点2 知模型求参数问题
5.(2019·福建闽侯第六中学高三上期末)如图5-7-1为一半径为3 m的水轮,水轮圆心O距水面2 m,已知水轮每分钟转4圈,水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足关系式y=Asin(ωx+φ)+2,则有( )。
图5-7-1
A.ω=5π12,A=5B.ω=2π15,A=3 C.ω=5π12,A=3D.ω=152π,A=5
答案:B
解析: ∵水轮的半径为3 m,水轮圆心O距离水面2 m,∴A=3。又水轮每分钟旋转4圈,故转1圈需要15 s,∴T=15=2πω,∴ω=2π15,故选B。
6.(2019·四川泸州高三上期末)某商品一年内每件出厂价在5万元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价7万元,7月份达到最低价3万元,根据以上条件可以确定f(x)的解析式是( )。
A.f(x)=2sinπ4x+π4 +5(1≤x≤12,x∈N*)
B.f(x)=7sinπ4x-π4+5(1≤x≤12,x∈N*)
C.f(x)=7sinπ4x+π4+5(1≤x≤12,x∈N*)
D.f(x)=2sinπ4x-π4+5(1≤x≤12,x∈N*)
答案:D
解析: 根据题意,得T=2×(7-3)=8,则ω=2πT=π4。由A+B=7,-A+B=3,得A=2,B=5。当x=3时,2sinπ4×3+φ+5=7,得φ=-π4,∴f(x)=2sinπ4x-π4+5(1≤x≤12,x∈N*)。故选D。
7.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据。
经长期观测,y=f(t)可近似地看成是函数y=Acs ωt+B。
(1)根据上表数据,求函数y=Acs ωt+B的最小正周期T、振幅A及函数解析式;
答案: 由表中数据知周期T=12,∴ω=2πT=π6。
由t=0,y=1.5,得A+B=1.5。
由t=3,y=1.0,得B=1.0。∴A=0.5,B=1。
∴y=12cs π6t+1,t∈[0,24]。
(2)依据规定,当海浪高度等于或高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内8时至20时之间,有多长时间可供冲浪爱好者进行运动。
答案: ∵y≥1,∴12cs π6t+1≥1。∴cs π6t≥0。
∴2kπ-π2≤π6t≤2kπ+π2(k∈Z)。
∴12k-3≤t≤12k+3(k∈Z)。
又∵8≤t≤20,∴k=1,9≤t≤15。
∴冲浪爱好者从9时到15时,有6小时可进行运动。
考点3 建立三角函数模型问题
8.如图5-7-2,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(2,-2),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为( )。
图5-7-2
图5-7-3
答案:C
解析: ∵P0(2,-2),∴∠P0Ox=π4。按逆时针转时间t后得∠POP0=t,∠POx=t-π4,此时P点纵坐标为2sint-π4,∴d=2sint-π4。当t=0时,d=2,排除A,D项;当t=π4时,d=0,排除B项,故选C。
9.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d= ,t∈[0,60]。
答案:0sin πt60
解析: 如图所示,经过t秒钟,秒针转过的角度为∠AOB=πt30。取AB的中点C,则∠AOC=πt60,d=|AB|=2|OA|sin∠AOC=10sin πt60,t∈[0,60]。
10.如图5-7-4所示为一个观览车示意图,该观览车半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离为h。
图5-7-4
(1)求h与θ间关系的函数解析式;
答案: 过点O作地面的平行线ON,过点B作ON的垂线BM交ON于点M。
当π2<θ≤π时,∠BOM=θ-π2,
h=|OA|+0.8+|BM|=5.6+4.8sinθ-π2;
当0≤θ≤π2,π<θ≤2π时,上述解析式也适合。
综上所述,h=5.6+4.8sinθ-π2。
(2)设从OA开始转动,经过t s到达OB,求h与t间关系的函数解析式。
答案: 因为点A在☉O上逆时针运动的角速度是π30 rad/s,所以t s转过的弧度数为π30t,所以h=4.8sinπ30t-π2+5.6,t∈[0,+∞)。
考点4 三角函数模型的应用问题
11.(2019·辽宁师范大学附属中学高三上期末)如图5-7-5,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )。
图5-7-5
A.5B.6C.8D.10
答案:C
解析: 由图像知ymin=2。因为ymin=-3+k,所以-3+k=2,解得k=5,所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8,故选C。
12.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin t2(t≥0),则人流量增加的时间段是( )。
A.[0,5]B.[5,10] C.[10,15]D.[15,20]
答案:C
解析: 由2kπ-π2≤t2≤2kπ+π2,k∈Z,知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z。当k=1时,t∈[3π,5π]。因为[10,15]⊆[3π,5π],故选C。
13.已知某种交流电电流i(A)随时间t(s)的变化规律可以用函数i=52sin100πt-π2,t∈[0,+∞)表示,则这种交流电电流在0.5 s内往复运行 次。
答案:25
解析: ∵周期T=2π100π=150(s),∴频率为每秒50次。
∴0.5 s往复运行25次。
14.已知某地一天从4~16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sinπ8x-5π4+20,x∈[4,16]。
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差。
答案: 由函数易知,当x=14时,函数取得最大值,此时最高温度为30 ℃,当x=6时,函数取得最小值,此时最低温度为10 ℃,所以最大温差为30 ℃-10 ℃=20 (℃)。
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存,则在这段时间内,该细菌最多能存活多长时间?
答案: 令10sinπ8x-5π4+20=15,得sinπ8x-5π4=-12,因为x∈[4,16],所以x=263。
令10sinπ8x-5π4+20=25,得sinπ8x-5π4=12。
因为x∈[4,16],所以x=343。
故该细菌能存活的最长时间为343-263=83(小时)。
考点5 三角函数模型的综合问题
15.如图5-7-6所示,一个单摆以OA为始边,OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=12sin2t+π2,t∈[0,+∞),则当t=0时,角θ的大小及单摆频率是( )。
图5-7-6
A.2,1π B.12,1π C.12,πD.2,π
答案:B
解析: 当t=0时,θ=12sin π2=12,由函数解析式易知单摆周期为2π2=π,故单摆频率为1π。
16.设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24。下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:
经长期观察,函数y=f(t)的图像可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图像。下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )。
A.y=12+3sin π6 t,t∈[0,24]
B.y=12+3sinπ6t+π,t∈[0,24]
C.y=12+3sin π12t,t∈[0,24]
D.y=12+3sinπ12t+π2,t∈[0,24]
答案:A
解析: 在给定的四个选项中,我们不妨代入t=0及t=3,容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是选项A,故选A。
17.(2019·江西赣州高三上期末)如图5-7-7,一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周,它的最低点P0离地面2 m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是( )。
图5-7-7
A.h(t)=-8sin π6 t+10 B.h(t)=-8cs π6t+10
C.h(t)=-8sin π6t+8 D.h(t)=-8cs π6t+8
答案:B
解析: 以风车的中心为坐标原点,过风车中心水平方向的直线为x轴(向右为x轴的正方向),过风车中心竖直方向的直线为y轴(向上为y轴的正方向)建立平面直角坐标系。由题意得,地面对应的直线的纵坐标为-10,点P0的坐标为(0,-8);点P转动的速度为2π12=π6(rad/min)。∵点P从点P0开始转动,∴点P的纵坐标y与其转过的角度π6t满足余弦关系。设y=Acs π6t。∵点(0,-8)在函数y=Acs π6t的图像上,∴-8=Acsπ6×0。解得A=-8。∴y=-8cs π6t。∵风车上翼片的端点P始终在地面上方,∴点P离地面的距离h=y-(-10)=-8cs π6t+10,∴点P离地面的距离h(m)与时间t(min)的函数关系式是h(t)=-8cs π6t+10。故选B。
18.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周。已知当时间t=0时,点A的坐标是12,32,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是( )。
A.[0,1]B.[1,7] C.[7,12] D.[0,1]和[7,12]
答案:D
解析:由已知可得该函数的周期T=12,∴ω=2πT=π6。
又∵当t=0时,A12,32,∴y=sinπ6t+π3,t∈[0,12]。可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]
19.如图5-7-8,半圆的直径为2,A为直径MN的延长线上一点,且OA=2,B为半圆上任意一点,以AB为边作等边三角形ABC。当∠AOB=x时,S四边形OACB等于( )。
图5-7-8
A.sin xB.sin x-3 cs x+534 C.-3cs x+534D.sin x+3cs x-534
答案:B
解析: 如图,S四边形OACB=S△AOB+S△ABC。过点B作BD⊥MN,垂足为D,则BD=BOsin(π-x),即BD=sin x。
∴S△AOB=12×2sin x=sin x。
∵OD=BOcs(π-x)=-cs x,
∴AB2=BD2+AD2=sin2x+(-cs x+2)2=5-4cs x。
∴S△ABC=12AB·ABsin 60°=534-3cs x。
∴S四边形OACB=sin x-3cs x+534。
20.(2019·黄冈调考)为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图5-7-9所示的坐标系,设秒针位置P(x,y)。若初始位置为P01,32,当秒针从P0(注:此时t=0)开始走时,点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为( )。
图5-7-9
A.y=sinπ30t+π3B.y=sin-π60t-π3 C.y=sin-π30t+π3D.y=sin-π30t-π3
答案:C
解析: 由题意知,函数的周期为T=60,∴ω=2π60=π30。设函数解析式为y=sin-π30t+φ。
∵初始位置为P01,32,∴t=0时,y=32,
∴sin φ=32,∴φ可取π3,∴函数解析式为y=sin-π30t+π3。故选C。
21.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位移y(cm)和时间t(s)之间的关系的一个三角函数关系式为 。
答案: y=-4cs 5π2t,t≥0
解析: 设y=Asin(ωt+φ),则从表中可以得到A=4,T=0.8,
∴ω=2πT=2π0.8=5π2,∴y=4sin5π2t+φ。
又由4sin φ=-4.0,得sin φ=-1,取φ=-π2,
故y=4sin5π2t-π2=-4cs 5π2t,t≥0。
22.示波器上显示的曲线是正弦曲线形状,记录到两个坐标M(2,4)和P(6,0),已知M,P是曲线上相邻的最高点和平衡位置,则得曲线的方程是 。
答案:y=4sinπ8x+π4
解析: 由题意可设曲线方程为y=4sin(ωx+φ)(ω>0)。因为T4=4,所以T=16,所以ω=2π16=π8,所以y=4sinπ8x+φ。又曲线经过最高点M(2,4),所以π8×2+φ=π2+2kπ,k∈Z,所以φ=π4+2kπ,k∈Z,取φ=π4,所以y=4sinπ8x+π4。
23.(2019·山东东营四校高三期末联考)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-2sinπ12t+π3,t∈[0,24),该实验室这一天的最大温差为 。
答案: 4 ℃
解析: 因为f(t)=10-2sinπ12t+π3,t∈[0,24),所以π3≤π12t+π3<7π3,当π12t+π3=3π2,即t=14时,函数f(t)取得最大值,最大值为10+2=12,当π12t+π3=π2,即t=2时,函数f(t)取得最小值,最小值为10-2=8,所以实验室这一天的最大温差为12-8=4(℃)。
24.(2019·西北工大附中单元测试)已知电流I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图像如图5-7-10所示。
图5-7-10
(1)根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式。
答案: 由图像可知,A=300,周期T=2×11900-1180=175,
∴ω=2πT=150π。又由300sin150π×1180+φ=0,得φ=π6。∴I=300sin150πt+π6。
(2)如果t在任意一段1150 s的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?
答案: 由题意T≤1150,即2πω≤1150。
又∵ω>0,∴ω≥300π>942,∴ω的最小正整数值是943。
25.(2019·山西大同模块统考)某港口一天内的水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,下面是水深数据:
据上述数据描成的曲线如图5-7-11所示,经拟合,该曲线可近似地看成正弦型函数y=Asin ωt+B(A>0,ω>0)的图像。
图5-7-11
(1)试根据数据和曲线,求出y=Asin ωt+B的解析式。
答案: 从拟合的曲线可知,函数y=Asin ωt+B的一个周期为12小时,因此ω=2πT=π6。
又∵ymin=7,ymax=13,∴A=12(ymax-ymin)=3,B=12(ymax+ymin)=10。
∴函数的解析式为y=3sin π6t+10(0≤t≤24)。
(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间)
答案: 由题意,水深y≥4.5+7,即y=3sin π6t+10≥11.5,t∈[0,24],∴sin π6t≥12,∴π6t∈2kπ+π6,2kπ+5π6,k=0,1,
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]。
∴该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港。
若欲当天安全离港,则船在港内停留的时间最多不能超过16小时。
26.(2019·武汉二中月考)弹簧挂着的小球做上下振动,它在时间t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由下面的函数关系式表示:h=3sin2t+π4。
(1)求小球开始振动的位置;
答案: 令t=0,得h=3sin π4=322,所以小球开始振动的位置为0,322。
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置;
答案: 最高点为π8,3,第一次到达最低点为5π8,-3。
(3)经过多长时间小球往返振动一次?
答案: T=2π2=π≈3.14,即每经过约3.14 s小球往返振动一次。
(4)每秒内小球能往返振动多少次?
答案: f=1T≈0.318,即每秒内小球往返振动约0.318次。
27.(2019·海口中学月考)如图5-7-12所示,某大风车的半径为2 m,每12 s旋转一周,它的最低点O离地面0.5 m,风车圆周上一点A从最低点O开始,运动t(s)后与地面的距离为h(m)。
图5-7-12
(1)求函数h=f(t)的关系式;
答案: 如图(1),以O为原点,过点O的圆的切线为x轴建立直角坐标系,设点A的坐标为(x,y),则h=y+0.5。
设∠OO1A=θ,则cs θ=2-y2,y=-2cs θ+2。
又θ=2π12·t,即θ=π6t,所以y=-2cs π6t+2,
即h=f(t)=-2cs π6t+2.5。
(2)画出函数h=f(t)的图像。
答案: 函数h=-2cs π6t+2.5的图像如图(2)所示。
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π4
5π12
7π12
3π4
y
0
2
0
-2
0
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
t/s
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y/cm
-4.0
-2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
-2.8
-4.0
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
5.7 三角函数的应用
考点1 函数式y=Asin(ωx+φ)描述简谐运动时的基本概念问题
1.(2018·重庆第一中学高二期末)已知简谐运动f(x)=2sinπ3x+φ|φ|<π2的图像经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )。
A.T=6,φ=π6B.T=6,φ=π3 C.T=6π,φ=π6D.T=6π,φ=π3
答案:A
解析: T=2πω=2ππ3=6。∵f(x)的图像过点(0,1),∴sin φ=12。∵-π2<φ<π2,∴φ=π6。
2.(2018·安徽滁州高二期末)最大值为12,最小正周期为2π3,初相为π6的函数表达式是( )。
A.y=12sinx3+π6B.y=12sinx3-π6 C.y=12sin(3x-π6)D.y=12sin3x+π6
答案:D
解析: 由最小正周期为2π3,排除A,B;由初相为π6,排除C。
3.y=-2sin3x-π3的频率为 ,周期为 ,初相φ= 。
答案: 32π 23π 23π
解析: y=-2sin3x-π3=2sinπ+3x-π3=2sin3x+23π,故周期为23π,频率为32π,初相为23π。
4.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,列表如下:
则振幅是 ,相位是 。
答案: 2 3x-π4
解析: 由表格得A=2,34π-π12=2πω,∴ω=3。∴ωx+φ=3x+φ。当x=π12时,3x+φ=π4+φ=0,∴φ=-π4。
考点2 知模型求参数问题
5.(2019·福建闽侯第六中学高三上期末)如图5-7-1为一半径为3 m的水轮,水轮圆心O距水面2 m,已知水轮每分钟转4圈,水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足关系式y=Asin(ωx+φ)+2,则有( )。
图5-7-1
A.ω=5π12,A=5B.ω=2π15,A=3 C.ω=5π12,A=3D.ω=152π,A=5
答案:B
解析: ∵水轮的半径为3 m,水轮圆心O距离水面2 m,∴A=3。又水轮每分钟旋转4圈,故转1圈需要15 s,∴T=15=2πω,∴ω=2π15,故选B。
6.(2019·四川泸州高三上期末)某商品一年内每件出厂价在5万元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价7万元,7月份达到最低价3万元,根据以上条件可以确定f(x)的解析式是( )。
A.f(x)=2sinπ4x+π4 +5(1≤x≤12,x∈N*)
B.f(x)=7sinπ4x-π4+5(1≤x≤12,x∈N*)
C.f(x)=7sinπ4x+π4+5(1≤x≤12,x∈N*)
D.f(x)=2sinπ4x-π4+5(1≤x≤12,x∈N*)
答案:D
解析: 根据题意,得T=2×(7-3)=8,则ω=2πT=π4。由A+B=7,-A+B=3,得A=2,B=5。当x=3时,2sinπ4×3+φ+5=7,得φ=-π4,∴f(x)=2sinπ4x-π4+5(1≤x≤12,x∈N*)。故选D。
7.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据。
经长期观测,y=f(t)可近似地看成是函数y=Acs ωt+B。
(1)根据上表数据,求函数y=Acs ωt+B的最小正周期T、振幅A及函数解析式;
答案: 由表中数据知周期T=12,∴ω=2πT=π6。
由t=0,y=1.5,得A+B=1.5。
由t=3,y=1.0,得B=1.0。∴A=0.5,B=1。
∴y=12cs π6t+1,t∈[0,24]。
(2)依据规定,当海浪高度等于或高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内8时至20时之间,有多长时间可供冲浪爱好者进行运动。
答案: ∵y≥1,∴12cs π6t+1≥1。∴cs π6t≥0。
∴2kπ-π2≤π6t≤2kπ+π2(k∈Z)。
∴12k-3≤t≤12k+3(k∈Z)。
又∵8≤t≤20,∴k=1,9≤t≤15。
∴冲浪爱好者从9时到15时,有6小时可进行运动。
考点3 建立三角函数模型问题
8.如图5-7-2,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(2,-2),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为( )。
图5-7-2
图5-7-3
答案:C
解析: ∵P0(2,-2),∴∠P0Ox=π4。按逆时针转时间t后得∠POP0=t,∠POx=t-π4,此时P点纵坐标为2sint-π4,∴d=2sint-π4。当t=0时,d=2,排除A,D项;当t=π4时,d=0,排除B项,故选C。
9.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d= ,t∈[0,60]。
答案:0sin πt60
解析: 如图所示,经过t秒钟,秒针转过的角度为∠AOB=πt30。取AB的中点C,则∠AOC=πt60,d=|AB|=2|OA|sin∠AOC=10sin πt60,t∈[0,60]。
10.如图5-7-4所示为一个观览车示意图,该观览车半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离为h。
图5-7-4
(1)求h与θ间关系的函数解析式;
答案: 过点O作地面的平行线ON,过点B作ON的垂线BM交ON于点M。
当π2<θ≤π时,∠BOM=θ-π2,
h=|OA|+0.8+|BM|=5.6+4.8sinθ-π2;
当0≤θ≤π2,π<θ≤2π时,上述解析式也适合。
综上所述,h=5.6+4.8sinθ-π2。
(2)设从OA开始转动,经过t s到达OB,求h与t间关系的函数解析式。
答案: 因为点A在☉O上逆时针运动的角速度是π30 rad/s,所以t s转过的弧度数为π30t,所以h=4.8sinπ30t-π2+5.6,t∈[0,+∞)。
考点4 三角函数模型的应用问题
11.(2019·辽宁师范大学附属中学高三上期末)如图5-7-5,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )。
图5-7-5
A.5B.6C.8D.10
答案:C
解析: 由图像知ymin=2。因为ymin=-3+k,所以-3+k=2,解得k=5,所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8,故选C。
12.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin t2(t≥0),则人流量增加的时间段是( )。
A.[0,5]B.[5,10] C.[10,15]D.[15,20]
答案:C
解析: 由2kπ-π2≤t2≤2kπ+π2,k∈Z,知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z。当k=1时,t∈[3π,5π]。因为[10,15]⊆[3π,5π],故选C。
13.已知某种交流电电流i(A)随时间t(s)的变化规律可以用函数i=52sin100πt-π2,t∈[0,+∞)表示,则这种交流电电流在0.5 s内往复运行 次。
答案:25
解析: ∵周期T=2π100π=150(s),∴频率为每秒50次。
∴0.5 s往复运行25次。
14.已知某地一天从4~16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sinπ8x-5π4+20,x∈[4,16]。
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差。
答案: 由函数易知,当x=14时,函数取得最大值,此时最高温度为30 ℃,当x=6时,函数取得最小值,此时最低温度为10 ℃,所以最大温差为30 ℃-10 ℃=20 (℃)。
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存,则在这段时间内,该细菌最多能存活多长时间?
答案: 令10sinπ8x-5π4+20=15,得sinπ8x-5π4=-12,因为x∈[4,16],所以x=263。
令10sinπ8x-5π4+20=25,得sinπ8x-5π4=12。
因为x∈[4,16],所以x=343。
故该细菌能存活的最长时间为343-263=83(小时)。
考点5 三角函数模型的综合问题
15.如图5-7-6所示,一个单摆以OA为始边,OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=12sin2t+π2,t∈[0,+∞),则当t=0时,角θ的大小及单摆频率是( )。
图5-7-6
A.2,1π B.12,1π C.12,πD.2,π
答案:B
解析: 当t=0时,θ=12sin π2=12,由函数解析式易知单摆周期为2π2=π,故单摆频率为1π。
16.设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24。下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:
经长期观察,函数y=f(t)的图像可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图像。下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )。
A.y=12+3sin π6 t,t∈[0,24]
B.y=12+3sinπ6t+π,t∈[0,24]
C.y=12+3sin π12t,t∈[0,24]
D.y=12+3sinπ12t+π2,t∈[0,24]
答案:A
解析: 在给定的四个选项中,我们不妨代入t=0及t=3,容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是选项A,故选A。
17.(2019·江西赣州高三上期末)如图5-7-7,一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周,它的最低点P0离地面2 m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是( )。
图5-7-7
A.h(t)=-8sin π6 t+10 B.h(t)=-8cs π6t+10
C.h(t)=-8sin π6t+8 D.h(t)=-8cs π6t+8
答案:B
解析: 以风车的中心为坐标原点,过风车中心水平方向的直线为x轴(向右为x轴的正方向),过风车中心竖直方向的直线为y轴(向上为y轴的正方向)建立平面直角坐标系。由题意得,地面对应的直线的纵坐标为-10,点P0的坐标为(0,-8);点P转动的速度为2π12=π6(rad/min)。∵点P从点P0开始转动,∴点P的纵坐标y与其转过的角度π6t满足余弦关系。设y=Acs π6t。∵点(0,-8)在函数y=Acs π6t的图像上,∴-8=Acsπ6×0。解得A=-8。∴y=-8cs π6t。∵风车上翼片的端点P始终在地面上方,∴点P离地面的距离h=y-(-10)=-8cs π6t+10,∴点P离地面的距离h(m)与时间t(min)的函数关系式是h(t)=-8cs π6t+10。故选B。
18.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周。已知当时间t=0时,点A的坐标是12,32,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是( )。
A.[0,1]B.[1,7] C.[7,12] D.[0,1]和[7,12]
答案:D
解析:由已知可得该函数的周期T=12,∴ω=2πT=π6。
又∵当t=0时,A12,32,∴y=sinπ6t+π3,t∈[0,12]。可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]
19.如图5-7-8,半圆的直径为2,A为直径MN的延长线上一点,且OA=2,B为半圆上任意一点,以AB为边作等边三角形ABC。当∠AOB=x时,S四边形OACB等于( )。
图5-7-8
A.sin xB.sin x-3 cs x+534 C.-3cs x+534D.sin x+3cs x-534
答案:B
解析: 如图,S四边形OACB=S△AOB+S△ABC。过点B作BD⊥MN,垂足为D,则BD=BOsin(π-x),即BD=sin x。
∴S△AOB=12×2sin x=sin x。
∵OD=BOcs(π-x)=-cs x,
∴AB2=BD2+AD2=sin2x+(-cs x+2)2=5-4cs x。
∴S△ABC=12AB·ABsin 60°=534-3cs x。
∴S四边形OACB=sin x-3cs x+534。
20.(2019·黄冈调考)为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图5-7-9所示的坐标系,设秒针位置P(x,y)。若初始位置为P01,32,当秒针从P0(注:此时t=0)开始走时,点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为( )。
图5-7-9
A.y=sinπ30t+π3B.y=sin-π60t-π3 C.y=sin-π30t+π3D.y=sin-π30t-π3
答案:C
解析: 由题意知,函数的周期为T=60,∴ω=2π60=π30。设函数解析式为y=sin-π30t+φ。
∵初始位置为P01,32,∴t=0时,y=32,
∴sin φ=32,∴φ可取π3,∴函数解析式为y=sin-π30t+π3。故选C。
21.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位移y(cm)和时间t(s)之间的关系的一个三角函数关系式为 。
答案: y=-4cs 5π2t,t≥0
解析: 设y=Asin(ωt+φ),则从表中可以得到A=4,T=0.8,
∴ω=2πT=2π0.8=5π2,∴y=4sin5π2t+φ。
又由4sin φ=-4.0,得sin φ=-1,取φ=-π2,
故y=4sin5π2t-π2=-4cs 5π2t,t≥0。
22.示波器上显示的曲线是正弦曲线形状,记录到两个坐标M(2,4)和P(6,0),已知M,P是曲线上相邻的最高点和平衡位置,则得曲线的方程是 。
答案:y=4sinπ8x+π4
解析: 由题意可设曲线方程为y=4sin(ωx+φ)(ω>0)。因为T4=4,所以T=16,所以ω=2π16=π8,所以y=4sinπ8x+φ。又曲线经过最高点M(2,4),所以π8×2+φ=π2+2kπ,k∈Z,所以φ=π4+2kπ,k∈Z,取φ=π4,所以y=4sinπ8x+π4。
23.(2019·山东东营四校高三期末联考)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-2sinπ12t+π3,t∈[0,24),该实验室这一天的最大温差为 。
答案: 4 ℃
解析: 因为f(t)=10-2sinπ12t+π3,t∈[0,24),所以π3≤π12t+π3<7π3,当π12t+π3=3π2,即t=14时,函数f(t)取得最大值,最大值为10+2=12,当π12t+π3=π2,即t=2时,函数f(t)取得最小值,最小值为10-2=8,所以实验室这一天的最大温差为12-8=4(℃)。
24.(2019·西北工大附中单元测试)已知电流I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图像如图5-7-10所示。
图5-7-10
(1)根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式。
答案: 由图像可知,A=300,周期T=2×11900-1180=175,
∴ω=2πT=150π。又由300sin150π×1180+φ=0,得φ=π6。∴I=300sin150πt+π6。
(2)如果t在任意一段1150 s的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?
答案: 由题意T≤1150,即2πω≤1150。
又∵ω>0,∴ω≥300π>942,∴ω的最小正整数值是943。
25.(2019·山西大同模块统考)某港口一天内的水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,下面是水深数据:
据上述数据描成的曲线如图5-7-11所示,经拟合,该曲线可近似地看成正弦型函数y=Asin ωt+B(A>0,ω>0)的图像。
图5-7-11
(1)试根据数据和曲线,求出y=Asin ωt+B的解析式。
答案: 从拟合的曲线可知,函数y=Asin ωt+B的一个周期为12小时,因此ω=2πT=π6。
又∵ymin=7,ymax=13,∴A=12(ymax-ymin)=3,B=12(ymax+ymin)=10。
∴函数的解析式为y=3sin π6t+10(0≤t≤24)。
(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间)
答案: 由题意,水深y≥4.5+7,即y=3sin π6t+10≥11.5,t∈[0,24],∴sin π6t≥12,∴π6t∈2kπ+π6,2kπ+5π6,k=0,1,
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]。
∴该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港。
若欲当天安全离港,则船在港内停留的时间最多不能超过16小时。
26.(2019·武汉二中月考)弹簧挂着的小球做上下振动,它在时间t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由下面的函数关系式表示:h=3sin2t+π4。
(1)求小球开始振动的位置;
答案: 令t=0,得h=3sin π4=322,所以小球开始振动的位置为0,322。
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置;
答案: 最高点为π8,3,第一次到达最低点为5π8,-3。
(3)经过多长时间小球往返振动一次?
答案: T=2π2=π≈3.14,即每经过约3.14 s小球往返振动一次。
(4)每秒内小球能往返振动多少次?
答案: f=1T≈0.318,即每秒内小球往返振动约0.318次。
27.(2019·海口中学月考)如图5-7-12所示,某大风车的半径为2 m,每12 s旋转一周,它的最低点O离地面0.5 m,风车圆周上一点A从最低点O开始,运动t(s)后与地面的距离为h(m)。
图5-7-12
(1)求函数h=f(t)的关系式;
答案: 如图(1),以O为原点,过点O的圆的切线为x轴建立直角坐标系,设点A的坐标为(x,y),则h=y+0.5。
设∠OO1A=θ,则cs θ=2-y2,y=-2cs θ+2。
又θ=2π12·t,即θ=π6t,所以y=-2cs π6t+2,
即h=f(t)=-2cs π6t+2.5。
(2)画出函数h=f(t)的图像。
答案: 函数h=-2cs π6t+2.5的图像如图(2)所示。
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π4
5π12
7π12
3π4
y
0
2
0
-2
0
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
t/s
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y/cm
-4.0
-2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
-2.8
-4.0
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
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