中考数学二轮复习难题突破：最优方案问题（解析版）

最优方案问题

例1． 某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：

（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；

（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

【答案】：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.

【分析】：这是一道与商品销售有关的最优化问题．首先根据“利润=（售价－进价）×销售量”构建二次函数，然后通过配方或用顶点坐标公式求出最值.

【解析】： （1） y=(60－x－40)(300+20x) ＝6000+400x－300x－20x2

 ＝－20x2+100x+6000

自变量的取值范围是0≤x≤20.

（2）∵a＝－20<0，∴函数有最大值，

∵，.

∴当x=2.5时，y的最大值是6125.

∴当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.

例2 现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：．兰花；．菊花；．月季；．牵牛花．

（1）求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围．

（2）当是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？

【答案】：当时，种植菊米的面积最大， 最大面积为225m2．

【分析】：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出与之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值.

【解析】：（1）由题意知，场地宽为，

∴， 自变量的取值范围为．

（2），

当时，种植菊米的面积最大， 最大面积为225m2．

点评：求解与二次函数有关的最优化问题时，首先要根据题意构建函数关系式，然后再利用配方法或公式法求得最大值．有一点大家一定要注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值．

例3、 某人定制了一批地砖，每块地砖（如图1(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．

(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；

(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

【答案】：(1) 四边形EFGH是正方形．（2）当CE=CF=0.1米时总费用最省.

【分析】：（1）通过观察图形，可猜想四边形EFGH是正方形。要注意图形中隐含的条件，由图1(2)可得△CEF是等腰直角三角形，即可说明四边形EFGH是正方形；（2）设CE=x，则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y，分别求出△CFE、△ABE和四边形AEFD的面积，再根据价格列出y与x的函数关系式，进而借助最值公式求得最小值。

【解析】：(1) 四边形EFGH是正方形．

图1(2)可以看作是由四块图1(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向依次旋转90°后得到的，故CE=CF=CG=CH．∴△CEF、△CFG、△CGH、△CHE是四个全等的等腰直角三角形.因此EF=FG=GH=HE，∠FEH=∠EFG=∠GHE=∠FGH=90°，因此四边形EFGH是正方形.

  (2)设CE=x，则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y,那么

 y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x-×0.4×(0.4-x)] ×10=10(x-0.2x+0.24)

=10(x-0.1)2+2.3(0＜x＜0.4) ．

当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1。

答:当CE=CF=0.1米时总费用最省.

说明：这类探究几何图形中的关系式的问题，在近年来考试题中较为常见，同学们要注意总结它们的方法，一般地，在平面几何中寻找关系式，要充分挖掘图形的性质，利用图形的性质（如面积公式、相似三角形的性质等）列出关系式。

例4、 一家电脑公司推出一款新型电脑．投放市场以来前3个月的利润情况如图2所示，该图可以近看作为抛物线的一部分．请结合图象，解答以下问题：

（1）求该抛物线对应的二次函数解析式；

（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？

（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析．

【答案】：（1）（2）49（3）15个月

【分析】：（1）结合图象可以判断出是该函数是二次函数，利用待顶系数法即可解决；（2）在（1）的基础上配方即可；（2）令y=0，列出一元二次方程，解方程即可。

【解析】：（1）因为图象过原点，故可设该二次函数的解析式为：，

由图知：， 解得，所以．

（2）=－（x-7）2+49，

当时，利润最大，最大值为（万元）．

（3）当 ，，解得：或（舍）．故从第15个月起，公司将出现亏损．

说明：本题考查了二次函数关系式的求法、二次函数最值的求法以及利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题。