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试卷 类型一 最优方案问题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破（附答案）
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这是一份试卷 类型一 最优方案问题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破（附答案），共24页。
方案设计是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，列举出所有可能方案，或确定出最佳方案的一类数学问题．
一、主要题型分类
①经济类方案设计题：
根据方程(组)、不等式(组)的整数解、函数等模型，对实际问题中的方案进行比较来确定最优方案来解决问题；
②操作类方案设计题：
根据实际问题拼接或分割图形．
以上两类试题不仅要求学生要有扎实的数学知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化、抽象成具体的数学问题.
二、解题的一般思路
1、解决经济类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；
③建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组)模型或函数模型；
④解题，求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案．
2、解决操作类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②慎重考虑，设计出尽量简便符合要求的图形；
③标上适当的数据，或附上文字说明．
【典例1】 某市继2019年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10 000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
【典例2】为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3 100 元，为了安全，每辆客车上至少要有 2名老师．
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租用客车总数为________辆；
(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【典例3】有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
方案一
方案二
方案三
小红发现这三种方案都能验证公式：
a2+2ab+b2=(a+b)2
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
【典例4】已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如下图 4-1 所示 .
4-1
(1)请说明图中 ①、② 两段函数图象的实际意义；
(2)写出批发该种水果的资金金额 w(元) 与批发量 n(kg) 之间的函数关系式 ；
在图 4-2 的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；
4-2
(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图 4-3 所示. 该经销商拟每日售出 60 kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大 .
4-3
【典例5】某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
【典例6】现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：．兰花；．菊花；．月季；．牵牛花．
（1）求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围．
（2）当是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？
【典例7】某人定制了一批地砖，每块地砖（如图1(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．
(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；
图1
(2)
A
D
F
B
E
C
(1)
E
F
G
H
A
B
D
C
(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
【典例8】一家电脑公司推出一款新型电脑．投放市场以来前3个月的利润情况如图2所示，该图可以近看作为抛物线的一部分．请结合图象，解答以下问题：
（1）求该抛物线对应的二次函数解析式；
（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？
y
x
第1月
第2月
第3月
33
24
13
O
图2
（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析．
【典例9】暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
详解
类型一最优方案问题
【方法总结】
方案设计是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，列举出所有可能方案，或确定出最佳方案的一类数学问题．
一、主要题型分类
①经济类方案设计题：
根据方程(组)、不等式(组)的整数解、函数等模型，对实际问题中的方案进行比较来确定最优方案来解决问题；
②操作类方案设计题：
根据实际问题拼接或分割图形．
以上两类试题不仅要求学生要有扎实的数学知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化、抽象成具体的数学问题.
二、解题的一般思路
1、解决经济类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；
③建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组)模型或函数模型；
④解题，求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案．
2、解决操作类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②慎重考虑，设计出尽量简便符合要求的图形；
③标上适当的数据，或附上文字说明．
【典例1】 某市继2019年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10 000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
【解题思路】
(1)根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；
(2)根据“费用不超过10 000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．
【解答过程】
(1)设温馨提示牌的单价为 x 元，则垃圾箱的单价为 3x 元，
根据题意，得 2x＋3×3x＝550，
∴ x ＝ 50. 经检验，符合题意，
∴ 3x ＝ 150元．
即温馨提示牌和垃圾箱的单价分别是 50 元和 150 元；
(2)设购买温馨提示牌 y 个( y 为正整数)，则垃圾箱为 (100－y) 个，
根据题意，得
∴ 50 ≤ y ≤ 52.
∵ y 为正整数，
∴ y 为 50,51,52，共 3 种方案．
即温馨提示牌 50 个，垃圾箱 50 个；
温馨提示牌 51 个，垃圾箱 49 个；
温馨提示牌 52 个，垃圾箱 48 个．
根据题意，费用为 50y＋150(100－y)＝－100y＋15 000，
当 y ＝ 52 时，所需资金最少，最少是 9 800 元．
【总结归纳】
本例题属于经济类方案设计问题，
用方程、不等式知识，是通过计算比较获得解决问题的方案的．
此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，一次函数的图像与性质等知识，正确找出相等关系是解决此类问题的关键．
【典例2】为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3 100 元，为了安全，每辆客车上至少要有 2名老师．
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租用客车总数为________辆；
(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【解题思路】
(1) 设出老师有 x 名，学生有 y 名，得出二元一次方程组，解出即可；
(2) 根据汽车总数不能小于 300/42 ＝50/7 ( 取整为 8 )辆，即可求出；
(3) 设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为 (8－x) 辆，
由题意，得 400x＋300(8－x) ≤ 3 100，得 x 的取值范围，分析得出即可．
【解答过程】
(1)设老师有 x 名，学生有 y 名．
根据题意，列方程组为
故老师有 16 名，学生有 284 名．
(2) ∵ 每辆客车上至少要有 2 名老师，
∴ 汽车总数不能大于 8 辆．
又要保证 300 名师生有车坐，汽车总数不能小于 = ( 取整为 8)辆，
综上可知汽车总数为 8 辆．
故答案为8.
(3)设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为 (8－x) 辆，
∵ 车总费用不超过 3 100 元，
∴ 400x＋300(8－x) ≤ 3 100，解得 x ≤ 7.
为使 300 名师生都有座，
∴ 42x＋30(8－x) ≥ 300，解得 x ≥ 5.
∴ 5 ≤ x ≤ 7 ( x 为整数 )．
∴ 共有 3 种租车方案：
方案一：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆，租车费用为 2 900 元；
方案二：租用甲种客车 2 辆，乙种客车 6 辆，租车费用为 3 000 元；
方案三：租用甲种客车 1 辆，乙种客车 7 辆，租车费用为 3 100元；
故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆．
【典例3】有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
方案一
方案二
方案三
小红发现这三种方案都能验证公式：
a2+2ab+b2=(a+b)2
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
【解题思路】
根据题目中的图形面积可以分别写出方案二和方案三的推导过程，来解决问题．
【解答过程】
根据由题意，得
方案二：
a2+ab+(a+b)b= a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
方案三：
= a2+2ab+b2
=(a+b)2
【总结归纳】
本例题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．
【典例4】已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如下图 4-1 所示 .
4-1
(1)请说明图中 ①、② 两段函数图象的实际意义；
(2)写出批发该种水果的资金金额 w(元) 与批发量 n(kg) 之间的函数关系式 ；
在图 4-2 的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；
4-2
(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图 4-3 所示. 该经销商拟每日售出 60 kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大 .
4-3
【解答过程】
(1)图 ① 表示批发量不少于 20 kg 且不多于 60 kg 的该种水果，可按 5 元/kg 批发 ；图 ② 表示批发量高于 60 kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发 .
(2)根据题意，得
函数图象如图 4-4 所示 .
4-4
由函数图象可知，资金金额满足 240 < w ≤ 300 时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果 .
(3)
解法一：
设当日零售价为 x 元，由函数图象可得日最高销量
n = 320 - 40x ，
当 n > 60 时 ，x < 6.5 .
根据题意，销售利润为
y = (x-4)(320-40x) = 40(x-4)(8-x)
= 40[-(x-6)2 +4]
从而 x = 6 时，y最大值 = 160，此时 n = 80 .
即销售商应批发 80 kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可得最大利润 160 元 .
解法二：
设日最高销售量为 x kg (x>60) .
则由图 4-3 可知日零售价 p 满足 x = 320 - 40p .
则 p = (320-x)/40 .
销售利润
=-(x-80)2+160
从而 x = 80 时，y最大值 = 160，此时 p = 6 .
即销售商应批发 80 kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可得最大利润 160 元 .
【典例5】某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
【答案】：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.
【分析】：这是一道与商品销售有关的最优化问题．首先根据“利润=（售价－进价）×销售量”构建二次函数，然后通过配方或用顶点坐标公式求出最值.
【解析】： （1） y=(60－x－40)(300+20x)
＝6000+400x－300x－20x2
＝－20x2+100x+6000
自变量的取值范围是0≤x≤20.
（2）∵a＝－20<0，∴函数有最大值，
∵，
.
∴当x=2.5时，y的最大值是6125.
∴当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.
【典例6】现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：．兰花；．菊花；．月季；．牵牛花．
（1）求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围．
（2）当是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？
【答案】：当时，种植菊米的面积最大， 最大面积为225m2．
【分析】：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出与之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值.
【解析】：（1）由题意知，场地宽为，
∴， 自变量的取值范围为．
（2），
当时，种植菊米的面积最大， 最大面积为225m2．
点评：求解与二次函数有关的最优化问题时，首先要根据题意构建函数关系式，然后再利用配方法或公式法求得最大值．有一点大家一定要注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值．
【典例7】某人定制了一批地砖，每块地砖（如图1(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．
(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；
(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
图1
(2)
A
D
F
B
E
C
(1)
E
F
G
H
A
B
D
C
【答案】：(1) 四边形EFGH是正方形．（2）当CE=CF=0.1米时总费用最省.
【分析】：（1）通过观察图形，可猜想四边形EFGH是正方形。要注意图形中隐含的条件，由图1(2)可得△CEF是等腰直角三角形，即可说明四边形EFGH是正方形；（2）设CE=x，则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y，分别求出△CFE、△ABE和四边形AEFD的面积，再根据价格列出y与x的函数关系式，进而借助最值公式求得最小值。
【解析】：(1) 四边形EFGH是正方形．
图1(2)可以看作是由四块图1(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向依次旋转90°后得到的，故CE=CF=CG=CH．∴△CEF、△CFG、△CGH、△CHE是四个全等的等腰直角三角形.因此EF=FG=GH=HE，∠FEH=∠EFG=∠GHE=∠FGH=90°，因此四边形EFGH是正方形.
(2)设CE=x，则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y,那么
y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x-×0.4×(0.4-x)] ×10=10(x-0.2x+0.24)
=10(x-0.1)2+2.3(0＜x＜0.4) ．
当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1。
答:当CE=CF=0.1米时总费用最省.
说明：这类探究几何图形中的关系式的问题，在近年来考试题中较为常见，同学们要注意总结它们的方法，一般地，在平面几何中寻找关系式，要充分挖掘图形的性质，利用图形的性质（如面积公式、相似三角形的性质等）列出关系式。
【典例8】一家电脑公司推出一款新型电脑．投放市场以来前3个月的利润情况如图2所示，该图可以近看作为抛物线的一部分．请结合图象，解答以下问题：
（1）求该抛物线对应的二次函数解析式；
（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？
y
x
第1月
第2月
第3月
33
24
13
O
图2
（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析．
【答案】：（1）（2）49（3）15个月
【分析】：（1）结合图象可以判断出是该函数是二次函数，利用待顶系数法即可解决；（2）在（1）的基础上配方即可；（2）令y=0，列出一元二次方程，解方程即可。
【解析】：（1）因为图象过原点，故可设该二次函数的解析式为：，
由图知：， 解得，所以．
（2）=－（x-7）2+49，
当时，利润最大，最大值为（万元）．
（3）当 ，，解得：或（舍）．故从第15个月起，公司将出现亏损．
说明：本题考查了二次函数关系式的求法、二次函数最值的求法以及利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题。
【典例9】暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
【答案】（1）把点（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到关于k1和b的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出k2的值；
（3）将x＝8分别代入y1、y2关于x的函数解析式，比较即可．
【解析】解：（1）∵y1＝k1x+b过点（0，30），（10，180），
∴，解得，
k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，
b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；
（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），
则k2＝25×0.8＝20；
（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：
由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x．
当健身8次时，
选择方案一所需费用：y1＝15×8+30＝150（元），
选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元），
∵150＜160，
∴选择方案一所需费用更少．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出y1、y2关于x的函数解析式．
甲种客车
乙种客车
载客量/(人/辆)
30
42
租金/（元/辆）
300
400
甲种客车
乙种客车
载客量/(人/辆)
30
42
租金/（元/辆）
300
400
方案设计是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，列举出所有可能方案，或确定出最佳方案的一类数学问题．
一、主要题型分类
①经济类方案设计题：
根据方程(组)、不等式(组)的整数解、函数等模型，对实际问题中的方案进行比较来确定最优方案来解决问题；
②操作类方案设计题：
根据实际问题拼接或分割图形．
以上两类试题不仅要求学生要有扎实的数学知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化、抽象成具体的数学问题.
二、解题的一般思路
1、解决经济类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；
③建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组)模型或函数模型；
④解题，求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案．
2、解决操作类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②慎重考虑，设计出尽量简便符合要求的图形；
③标上适当的数据，或附上文字说明．
【典例1】 某市继2019年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10 000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
【典例2】为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3 100 元，为了安全，每辆客车上至少要有 2名老师．
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租用客车总数为________辆；
(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【典例3】有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
方案一
方案二
方案三
小红发现这三种方案都能验证公式：
a2+2ab+b2=(a+b)2
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
【典例4】已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如下图 4-1 所示 .
4-1
(1)请说明图中 ①、② 两段函数图象的实际意义；
(2)写出批发该种水果的资金金额 w(元) 与批发量 n(kg) 之间的函数关系式 ；
在图 4-2 的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；
4-2
(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图 4-3 所示. 该经销商拟每日售出 60 kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大 .
4-3
【典例5】某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
【典例6】现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：．兰花；．菊花；．月季；．牵牛花．
（1）求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围．
（2）当是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？
【典例7】某人定制了一批地砖，每块地砖（如图1(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．
(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；
图1
(2)
A
D
F
B
E
C
(1)
E
F
G
H
A
B
D
C
(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
【典例8】一家电脑公司推出一款新型电脑．投放市场以来前3个月的利润情况如图2所示，该图可以近看作为抛物线的一部分．请结合图象，解答以下问题：
（1）求该抛物线对应的二次函数解析式；
（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？
y
x
第1月
第2月
第3月
33
24
13
O
图2
（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析．
【典例9】暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
详解
类型一最优方案问题
【方法总结】
方案设计是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，列举出所有可能方案，或确定出最佳方案的一类数学问题．
一、主要题型分类
①经济类方案设计题：
根据方程(组)、不等式(组)的整数解、函数等模型，对实际问题中的方案进行比较来确定最优方案来解决问题；
②操作类方案设计题：
根据实际问题拼接或分割图形．
以上两类试题不仅要求学生要有扎实的数学知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化、抽象成具体的数学问题.
二、解题的一般思路
1、解决经济类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；
③建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组)模型或函数模型；
④解题，求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案．
2、解决操作类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②慎重考虑，设计出尽量简便符合要求的图形；
③标上适当的数据，或附上文字说明．
【典例1】 某市继2019年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10 000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
【解题思路】
(1)根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；
(2)根据“费用不超过10 000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．
【解答过程】
(1)设温馨提示牌的单价为 x 元，则垃圾箱的单价为 3x 元，
根据题意，得 2x＋3×3x＝550，
∴ x ＝ 50. 经检验，符合题意，
∴ 3x ＝ 150元．
即温馨提示牌和垃圾箱的单价分别是 50 元和 150 元；
(2)设购买温馨提示牌 y 个( y 为正整数)，则垃圾箱为 (100－y) 个，
根据题意，得
∴ 50 ≤ y ≤ 52.
∵ y 为正整数，
∴ y 为 50,51,52，共 3 种方案．
即温馨提示牌 50 个，垃圾箱 50 个；
温馨提示牌 51 个，垃圾箱 49 个；
温馨提示牌 52 个，垃圾箱 48 个．
根据题意，费用为 50y＋150(100－y)＝－100y＋15 000，
当 y ＝ 52 时，所需资金最少，最少是 9 800 元．
【总结归纳】
本例题属于经济类方案设计问题，
用方程、不等式知识，是通过计算比较获得解决问题的方案的．
此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，一次函数的图像与性质等知识，正确找出相等关系是解决此类问题的关键．
【典例2】为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3 100 元，为了安全，每辆客车上至少要有 2名老师．
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租用客车总数为________辆；
(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【解题思路】
(1) 设出老师有 x 名，学生有 y 名，得出二元一次方程组，解出即可；
(2) 根据汽车总数不能小于 300/42 ＝50/7 ( 取整为 8 )辆，即可求出；
(3) 设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为 (8－x) 辆，
由题意，得 400x＋300(8－x) ≤ 3 100，得 x 的取值范围，分析得出即可．
【解答过程】
(1)设老师有 x 名，学生有 y 名．
根据题意，列方程组为
故老师有 16 名，学生有 284 名．
(2) ∵ 每辆客车上至少要有 2 名老师，
∴ 汽车总数不能大于 8 辆．
又要保证 300 名师生有车坐，汽车总数不能小于 = ( 取整为 8)辆，
综上可知汽车总数为 8 辆．
故答案为8.
(3)设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为 (8－x) 辆，
∵ 车总费用不超过 3 100 元，
∴ 400x＋300(8－x) ≤ 3 100，解得 x ≤ 7.
为使 300 名师生都有座，
∴ 42x＋30(8－x) ≥ 300，解得 x ≥ 5.
∴ 5 ≤ x ≤ 7 ( x 为整数 )．
∴ 共有 3 种租车方案：
方案一：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆，租车费用为 2 900 元；
方案二：租用甲种客车 2 辆，乙种客车 6 辆，租车费用为 3 000 元；
方案三：租用甲种客车 1 辆，乙种客车 7 辆，租车费用为 3 100元；
故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆．
【典例3】有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
方案一
方案二
方案三
小红发现这三种方案都能验证公式：
a2+2ab+b2=(a+b)2
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
【解题思路】
根据题目中的图形面积可以分别写出方案二和方案三的推导过程，来解决问题．
【解答过程】
根据由题意，得
方案二：
a2+ab+(a+b)b= a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
方案三：
= a2+2ab+b2
=(a+b)2
【总结归纳】
本例题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．
【典例4】已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如下图 4-1 所示 .
4-1
(1)请说明图中 ①、② 两段函数图象的实际意义；
(2)写出批发该种水果的资金金额 w(元) 与批发量 n(kg) 之间的函数关系式 ；
在图 4-2 的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；
4-2
(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图 4-3 所示. 该经销商拟每日售出 60 kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大 .
4-3
【解答过程】
(1)图 ① 表示批发量不少于 20 kg 且不多于 60 kg 的该种水果，可按 5 元/kg 批发 ；图 ② 表示批发量高于 60 kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发 .
(2)根据题意，得
函数图象如图 4-4 所示 .
4-4
由函数图象可知，资金金额满足 240 < w ≤ 300 时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果 .
(3)
解法一：
设当日零售价为 x 元，由函数图象可得日最高销量
n = 320 - 40x ，
当 n > 60 时 ，x < 6.5 .
根据题意，销售利润为
y = (x-4)(320-40x) = 40(x-4)(8-x)
= 40[-(x-6)2 +4]
从而 x = 6 时，y最大值 = 160，此时 n = 80 .
即销售商应批发 80 kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可得最大利润 160 元 .
解法二：
设日最高销售量为 x kg (x>60) .
则由图 4-3 可知日零售价 p 满足 x = 320 - 40p .
则 p = (320-x)/40 .
销售利润
=-(x-80)2+160
从而 x = 80 时，y最大值 = 160，此时 p = 6 .
即销售商应批发 80 kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可得最大利润 160 元 .
【典例5】某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
【答案】：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.
【分析】：这是一道与商品销售有关的最优化问题．首先根据“利润=（售价－进价）×销售量”构建二次函数，然后通过配方或用顶点坐标公式求出最值.
【解析】： （1） y=(60－x－40)(300+20x)
＝6000+400x－300x－20x2
＝－20x2+100x+6000
自变量的取值范围是0≤x≤20.
（2）∵a＝－20<0，∴函数有最大值，
∵，
.
∴当x=2.5时，y的最大值是6125.
∴当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.
【典例6】现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：．兰花；．菊花；．月季；．牵牛花．
（1）求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围．
（2）当是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？
【答案】：当时，种植菊米的面积最大， 最大面积为225m2．
【分析】：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出与之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值.
【解析】：（1）由题意知，场地宽为，
∴， 自变量的取值范围为．
（2），
当时，种植菊米的面积最大， 最大面积为225m2．
点评：求解与二次函数有关的最优化问题时，首先要根据题意构建函数关系式，然后再利用配方法或公式法求得最大值．有一点大家一定要注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值．
【典例7】某人定制了一批地砖，每块地砖（如图1(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．
(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；
(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
图1
(2)
A
D
F
B
E
C
(1)
E
F
G
H
A
B
D
C
【答案】：(1) 四边形EFGH是正方形．（2）当CE=CF=0.1米时总费用最省.
【分析】：（1）通过观察图形，可猜想四边形EFGH是正方形。要注意图形中隐含的条件，由图1(2)可得△CEF是等腰直角三角形，即可说明四边形EFGH是正方形；（2）设CE=x，则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y，分别求出△CFE、△ABE和四边形AEFD的面积，再根据价格列出y与x的函数关系式，进而借助最值公式求得最小值。
【解析】：(1) 四边形EFGH是正方形．
图1(2)可以看作是由四块图1(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向依次旋转90°后得到的，故CE=CF=CG=CH．∴△CEF、△CFG、△CGH、△CHE是四个全等的等腰直角三角形.因此EF=FG=GH=HE，∠FEH=∠EFG=∠GHE=∠FGH=90°，因此四边形EFGH是正方形.
(2)设CE=x，则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y,那么
y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x-×0.4×(0.4-x)] ×10=10(x-0.2x+0.24)
=10(x-0.1)2+2.3(0＜x＜0.4) ．
当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1。
答:当CE=CF=0.1米时总费用最省.
说明：这类探究几何图形中的关系式的问题，在近年来考试题中较为常见，同学们要注意总结它们的方法，一般地，在平面几何中寻找关系式，要充分挖掘图形的性质，利用图形的性质（如面积公式、相似三角形的性质等）列出关系式。
【典例8】一家电脑公司推出一款新型电脑．投放市场以来前3个月的利润情况如图2所示，该图可以近看作为抛物线的一部分．请结合图象，解答以下问题：
（1）求该抛物线对应的二次函数解析式；
（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？
y
x
第1月
第2月
第3月
33
24
13
O
图2
（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析．
【答案】：（1）（2）49（3）15个月
【分析】：（1）结合图象可以判断出是该函数是二次函数，利用待顶系数法即可解决；（2）在（1）的基础上配方即可；（2）令y=0，列出一元二次方程，解方程即可。
【解析】：（1）因为图象过原点，故可设该二次函数的解析式为：，
由图知：， 解得，所以．
（2）=－（x-7）2+49，
当时，利润最大，最大值为（万元）．
（3）当 ，，解得：或（舍）．故从第15个月起，公司将出现亏损．
说明：本题考查了二次函数关系式的求法、二次函数最值的求法以及利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题。
【典例9】暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
【答案】（1）把点（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到关于k1和b的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出k2的值；
（3）将x＝8分别代入y1、y2关于x的函数解析式，比较即可．
【解析】解：（1）∵y1＝k1x+b过点（0，30），（10，180），
∴，解得，
k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，
b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；
（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），
则k2＝25×0.8＝20；
（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：
由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x．
当健身8次时，
选择方案一所需费用：y1＝15×8+30＝150（元），
选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元），
∵150＜160，
∴选择方案一所需费用更少．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出y1、y2关于x的函数解析式．
甲种客车
乙种客车
载客量/(人/辆)
30
42
租金/（元/辆）
300
400
甲种客车
乙种客车
载客量/(人/辆)
30
42
租金/（元/辆）
300
400
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