北师大版七年级上册第三章 整式及其加减3.5 探索与表达规律课后练习题

3.5探索与表达规律同步练习北师大版初中数学七年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 计算

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形都是由同样大小的五角星按照一定规律所组成的，其中第个图形中一共有4个五角星，第个图形中一共有7个五角星，第个图形中一共有10个五角星，第个图形中一共有13个五角星，，按此规律排列下去，第个图形中五角星的个数为

A. 21 B. 25 C. 28 D. 30

3. 按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，第2019次得到的结果为
    

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有40个．求步道上总共使用多少个三角形地砖？

A. 84 B. 86 C. 160 D. 162

5. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形共有个．

A. 6055 B. 6056 C. 6057 D. 6058

6. 观察图中的正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在

A. 第504个正方形的左上角 B. 第504个正方形的右上角
C. 第505个正方形的左下角 D. 第505个正方形的右上角

7. 把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：，3，，6，7，8，，11，12，13，14，15，，，现用等式表示正整数M是第i组第j个数从左往右数，如，则   

A.  B.  C.  D.

8. 下列说法正确的是

A. 的次数是3 B. 是三次三项式
C. 的系数为 D. 是单项式

9. 如图是一块长为a，宽为的长方形空地，要将阴影部分绿化，则阴影面积是

A.  B.  C.  D.

10. 计算：的结果是

A. 0 B.  C.  D. 1010

11. 观察下列算式：，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

12. 下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图中有5个棋子，图中有10个棋子，图中有16个棋子，，则图中棋子的个数为

A. 73 B. 86 C. 100 D. 115

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 观察下列图形，第n个图形中三角形的个数是          ．

14. 仔细观察下列各组数，按你发现的规律填空：

，2，3，4，          ，          ，第n个数是          ．

，4，6，8，          ，          ，第n个数是          ．

，，，，          ，          ，第n个数是          ．

，4，，10，          ，          ，第2n个数是          ．

观察下列一组数：，，，，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是          ．

15. 如图，圆上有五个点，这五个点将圆分成五等份每一份称为一段弧长，把这五个点按顺时针方向依次编号为1，2，3，4，若从某一点开始，沿圆周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，我们把这种走法称为一次“移位”如：小明在编号为3的点，那么他应走3段弧长，即从为第1次“移位”这时他到达编号为1的点，那么他应走1段弧长，即从为第2次“移位”若小明从编号为4的点开始，第2020次“移位”后，他到达编号为______的点．
16. 如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第1个图案用了4块灰色的瓷砖，第2个图案用了6块灰色的瓷砖，第3个图案用了8块灰色的瓷砖，，第n个图案中灰色瓷砖块数为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

17. 如图，用牙签按一定的规律搭图形．

按图示的规律填表：

搭第n个图形需要          根牙签．






 

18. 观察下面的日历，并解决以下几个问题．

试一试：你能找出日历中的相邻3个数字之间有哪些规律吗

日历的横行中的相邻3个数字之间的规律是          ．

竖行中的相邻3个数字之间的规律是          ．

从左上角到右下角的对角线上相邻3个数字之间的规律是          ．

从左下角到右上角的对角线上相邻3个数字之间的规律是          ．

问题日历的方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系

问题这个关系对其他这样的方框成立吗

问题这个关系对任何一个月的日历都成立吗

问题你能用代数式表示本日历“”框图中的9个数吗






 

19. 观察下列等式：，，，

猜想并写出第n个等式

计算：．






 

20. 有依次排列的3个数：4，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在两个数之间，可产生一个新数串：4，5，9，，7，这称作第一次操作；对数串进行同样的操作后也可产生一个新的数串：4，1，5，4，9，，，9，依次操作下去．
    数串的所有数之和为______，数串的所有数之和为______．
    第3次操作以后所产生的数串为4，______，1，4，5，______，4，5，9，，，9，，11，9，，所有数之和为______．
    请列式计算：操作第100次产生的新数串的所有数字之和是多少？
    
    
    
    
    
    
     
21. 阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？
    经过研究，这个问题的一般结论是，其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：？
    观察下面三个特殊的等式：
    
    
    
    将这三个等式的两边相加，可以得到
    读完这段材料，请你计算：
    
    
    
    
    
    
    
    
    
     
22. 探索规律，观察下面算式，解答问题．
    ；
    ；
    ；
    ；
    
    请猜想：______；
    请猜想：______；
    试计算：．
    
    
    
    
    
    
     
23. 在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动，第一次将点A向左移动2个单位长度到达点，第二次将点向右移动4个单位长度到达点，第三次将点向左移动6个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去；
    第9次移动到点，求点所表示的数；
    第n次移动到点，如果点表示的数是19，求n；
    第n次移动到点，如果点与原点的距离是99，求n．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查有理数的混合运算，关键是根据有理数的混合运算法则计算．
【解答】
解：，
故选C．  

2.【答案】B
 

【解析】解：观察图形的变化可知：
第个图形中一共有4个五角星，即；
第个图形中一共有7个五角星，即；
第个图形中一共有10个五角星，即；
第个图形中一共有13个五角星，即；
，按此规律排列下去，
第n个图形中一共有五角星个数为
第个图形中五角星的个数为．
故选：B．
根据图形的变化即可写出规律式，进而求解．
本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：当时，第一次输出结果；
第二次输出结果；
第三次输出结果，；
第四次输出结果，

．
所以第2019次得到的结果为2．
故选：B．
将代入，然后依据程序进行计算，依据计算结果得到其中的规律，然后依据规律求解即可．
本题主要考查的是求代数式的值，熟练掌握相关方法是解题的关键．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：．
答：步道上总共使用84个三角形地砖．
故选：A．
中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，从而得到三角形的个数为．
本题考查了等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．也考查了规律型问题的解决方法，探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：设第n个图形有个为正整数，
观察图形，可知：，，，，，
为正整数，
．
故选：D．
设第n个图形有个为正整数，观察图形，根据各图形中的个数的变化可找出“为正整数”，再代入即可得出结论．
本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中的个数的变化找出变化规律“为正整数”是解题的关键．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：根据图形上数字的变化规律，
每个图形上有4个数，所以，
所以数2019应标在第505个正方形的左下角．
故选：C．
根据图形的变化寻找规律即可求解．
本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
 

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查数字的变化规律；理解题意，利用数和给出的分组特点，逐步确定具体位置是解题的关键．
由题意可知2020是第2020个数，由，确定2020在第45组，第45组的第一个数是，则2020是第个数，即可求解．
【解答】
解：由已知可知，第一组1个数，第二组3个数，第三组5个数，
2020是第2020个数，
设2020在第n组，则，
即，
解得：，
当时，，
当时，，
正整数2020在第45组，
第45组的第一数是，
则2020是第个数，
是第45组第84个数，
故选D．  

8.【答案】C
 

【解析】解：A、的次数是4，故错误；
B、是二次三项式，故错误；
C、的系数为，故正确；
D、是多项式，故错误．
故选C．
根据多项式和单项式的概念求解．
本题考查了多项式和单项式，掌握多项式和单项式的概念是解答本题的关键．
 

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
根据图形可以得到阴影部分面积的代数式，从而可以解答本题．
【解答】

解：由图可得，
阴影部分的面积是：，
故选C．

10.【答案】C
 

【解析】解：


．
故选：C．
首先把数字分组：，算出有多少个相加即可．
此题主要考查规律型：数字的变化类，注意数字合理分组，按照分组后的规律计算得出结果即可．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：由题意可知，末位数字每4个算式是一个周期，末位分别为2，4，8，6，
，
的末位数字与的末位数字相同，为2，
故选：A．
观察可知，末位数字每4个数是一个周期，末位分别为2，4，8，把2021除以4，得到余数为1，所以的末位数字与的末位数字相同，为2．
本题考查的是尾数的特征，根据题意找出尾数的规律是解答此题的关键．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：图中棋子有个，
图中棋子有个，
图中棋子有个，

图中棋子有个．
故选：D．
根据题意得出第n个图形中棋子数为，据此可得．
本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
 

13.【答案】4n
 

【解析】略
 

14.【答案】5

6

n

10

12

2n

16

【解析】略
 

15.【答案】4
 

【解析】解：从编号为4的点开始走4段弧：，所以第一次“移位”他到达编号为3的点；
第二次移位后：，到编号为1的点；
第三次移位后：，到编号为2的点；
第四次移位后：，回到起点；
可以发现：他的位置以“3，1，2，4，”循环出现，
，所以第20次移位后他的编号与第四次相同，到达编号为4的点；
故答案为：4．
从编号为4的点开始走4段弧：，即可得出结论；依次求出第2，3，4，5次的结合寻找规律，根据规律分析第2020次的编号即可．
此题主要考查循环数列规律的探索与应用，根据已知求出部分数据找到循环周期是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：时，黑瓷砖的块数为：4；
时，黑瓷砖的块数为：6；
时，黑瓷砖的块数为：8；
；
当时，黑瓷砖的块数为：．
故答案为．
本题可分别写出，2，3，，时的黑色瓷砖的块数，然后依此类推找出规律即可解决问题．
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
 

17.【答案】解：；9；18；165；

 

【解析】见答案．
 

18.【答案】解：从左向右依次大1；
从上到下依次大7；
从左上到右下依次大8；
从左下到右上依次小6．
问题是中间数的9倍；
问题成立；
问题成立；
问题
         
    a       
      
 

【解析】见答案．
 

19.【答案】解：




．
 

【解析】见答案．
 

20.【答案】解：；26；
；；29；
方法一：
．
方法二：
数串之和：
数串之和：
数串之和：

第n次操作，数串之和：
所以当时，．
答：操作第100次产生的新数串的所有数字之和是320．
 

【解析】

方法一：
．
方法二：
数串之和：
数串之和：
数串之和：

第n次操作，数串之和：
所以当时，．
答：操作第100次产生的新数串的所有数字之和是320．
【分析】
本题考查了数字的变化类问题，解决本题的关键是准确按题意计算出数串之和的规律．
根据数字的变化规律写出数串，再求和即可；
根据数字的变化规律即可求出数串，再求和即可求解；
根据数字的变化规律写出一般形式即可求解．
【解答】
解：数串：4，5，9，，7，
之和为23，
数串：4，1，5，4，9，，，9，7
之和为26．
故答案为23；26；
数串：4，，1，4，5，，4，5，9，，，9，，，9，，11，9，，7．
之和为29．
故答案为；；29；
见答案．  

21.【答案】解：

；
；


．
 

【解析】根据题目中的信息可以解答本题；
根据题目中的信息可以解答本题；
根据题目中的信息，运用类比的数学思想可以解答本题．
本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
 

22.【答案】；
    ；




．
 

【解析】解：，
故答案为：100；
，
故答案为：；
见答案．
观察数据可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，然后计算即可得解；
用从1开始到199的和减去从1开始到99的和，列式计算即可得解．
本题考查了数字变化规律，观察出结果的底数与算式中首尾两个数的关系是解题的关键．
 

23.【答案】解：第一次，表示的数，
第二次，表示的数，
第三次，表示的数，
第四次，表示的数，
第五次，表示的数，

当n为奇数时，第n次表示的数为，
当n为偶数时，第n次表示的数为；
第9次时，所表示的数9；
点表示的数是19，则，
；
点与原点的距离是99，
表示的数是或99，
或．
 

【解析】分别表示出第一次到第五次的运动后，A点表示的数，即可发现规律当n为奇数时，第n次表示的数为，当n为偶数时，第n次表示的数为．
本题考查数字的变化规律；理解题意，根据点的运动规律，探索出表示的数的规律是解题的关键．