15.2 分式的运算

一、教学目标

（1）熟练掌握分式的乘除、乘方、加减及整数指数幂的运算法则.

（2）经历探索分式的乘除、加减、幂的运算的过程，并能正确运用法则.

（3）培养学生严谨的数学运算思想，以及类比、归纳的能力，并体会数学知识的实际应用价值.

二、教学重难点

（1）教学重点：分式的乘、除法法则，分式的乘方法则，分式的加减法法则；

（2）教学难点：分式的混合运算；

知识点一：分式的乘、除法法则

1. 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示为·=.
2. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为÷=·=.

【提醒】

1. 分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分
   式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解因式，看能否约分，然后再相乘.
   2.当整式与分式相乘时，要把整式(看做是分母为1的式子)与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘.
   3.分式的除法运算可以转化为分式的乘法运算，若除式(或被除式)是整式时，可以看做是分母是1的式子，然后按照分式除法法则计算.
   4.分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式(分式的分子、分母没有公因式)或整式的形式.
   5.分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件(如括号等)，则应按照由左到右的顺序进行计算.

例1.计算：

（1）·                                              （2）3ab2÷

例2.计算2x3÷的结果是（　　）

A．2x2 B．2x4 C．2x D．4

变式1.化简的结果是（　　）

A． B． C． D．

变式2.计算•的结果为（　　）

A． B． C． D．

知识点二：分式的乘方法则

分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
用式子表示为：（n为正整数），其中b≠0，a，b可以代表数，也可以代表代数式。

例1.计算（）3•（）2÷（﹣）的结果是（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

变式1.计算的结果是（　　）

A． B． C． D．

知识点三：分式的加减法法则

1. 同分母分式相加减，只把分子相加减，分母不变.
2. 异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则运算。完成分式的加减运算后，若所得分式不是最简分式，应约分化为最简分式.

【提醒】

1.分式加减运算的结果要化为最简分式或整式.

2.同分母分式相加减时要注意:“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，在这里要注意分数线的括号作用.
3.异分母分式加减的一般步骤:①通分：将异分母分式转化为同分母分式；②加减：写成分母不变，分子相加减的形式；③合并：分子去括号，合并同类项；④约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整弍.因此，异分母分式加减法的关键是通分.

例1.化简﹣的结果是（　　）

A．x+1 B．x﹣1 C．x D．﹣x

例2．计算﹣a﹣1的结果为（　　）

A．1 B．﹣1 C． D．

变式1.计算﹣的结果是（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

变式2.已知：﹣=，则的值是（　　）

A． B．﹣ C．3 D．﹣3

知识点四：分式的混合运算

分式的混合运算与有理数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减.如果有括号，先算括号里面的.在运算过程中，要灵活运用有关运算律.
【提醒】
1.在运算过程中，能约分的尽量约分，以便简化运算过程，
2.运算结果一定要是最简形弍.

例1.化简（a﹣1）÷（﹣1）•a的结果是（　　）

A．﹣a2 B．1 C．a2 D．﹣1

例2.化简（1﹣）÷的结果是（　　）

A．（x+1）2 B．（x﹣1）2 C． D．

变式1.计算（1+）÷的结果是（　　）

A．x+1 B． C． D．

变式2．已知x+=6，则x2+=（　　）

A．38 B．36 C．34 D．32

知识点五：负整数指数幂

当幂的指数为负数时，称为“负指数幂”。正数a的-p次幂(p为任何正数)定义为a的p次幂的倒数.

【提醒】

分式的约分与同底数幂除法两者相结合是推出的依据.

例1.3﹣1的值等于（　　）

A．﹣3 B．3 C．﹣ D．

例2．（）﹣2=（　　）

A．﹣4 B． C．﹣ D．4

变式1.﹣2的相反数为a，则a﹣1的值为（　　）

A．2 B．﹣2 C． D．

变式2.计算：=　7　．

知识点六：用科学记数法表示绝对值小于1的数

科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a（1≤a<10，n为整数）与10的幂相乘的形式，这种记数法叫做科学记数法。

【提醒】

1. 在这里a的整数位只有一位.
2. n是指从小数点后到第一个不是零的数的位数的相反数.

例1.据《中国教育报》近期报道，4年来全国在义务教育阶段经费累计投入2.37万亿元，数据2.37万亿用科学记数法表示为（　　）亿．

A．2.37×103 B．2.37×104 C．2.37×105 D．0.237×106

变式1.长江是我们中华民族的母亲河，她的长约6300千米，用科学记数法表示她的长度是　　米．

拓展点一：分式的混合运算

例1.化简÷+的结果是（　　）

A．1 B． C． D．

例2.化简得（　　）

A． B．﹣ C． D．

变式1．计算的结果是（　　）

A． B．0 C． D．

拓展点二：分式运算的巧用

例1.计算：（﹣）．

例2.计算：

（1）a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）

（2）（+x+2）

拓展点三：分式的化简求值

例1.先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=．

例2.先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣．

变式1.先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满足x2﹣2x﹣2=0．

拓展点四：负整数指数幂的应用

例1.计算（﹣）﹣4×（1﹣π）0﹣|﹣15|=　  　．

变式1.计算  （x﹣1+y﹣1）÷（x﹣1﹣y﹣1）=　   　．

拓展点五：分式运算的实际应用

例1.已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a，b是正数，且a≠b），请比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．

变式1．商店通常用以下方法来确定两种糖果混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/kg，B种糖的单价为b元/kg，则m kg A种糖和n kg B种糖混合而成的什锦糖的单价为元/kg．现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成．其中甲种什锦糖由10kg A种糖和10kg B种糖混合而成，乙种什锦糖由价值100元的A种糖和价值100元的B种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？