人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用同步练习题

5.7 三角函数的应用

（用时45分钟）

【选题明细表】

基础巩固

1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I=3sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的周期是 (　　)

A.   B.50   C.　   D.100

【答案】A

【解析】选A.T===.

2.如图所示的是一个单摆,以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=sin,则当t=0时,角θ的大小及单摆的频率是(　　)

A.,　   B.2,

C.,π　   D.2,π

【答案】A

【解析】选A.当t=0时,θ=sin=,由函数解析式易知单摆的周期为=π,故单摆的频率为.

3.如图所示为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是 (　　)

A.该质点的振动周期为0.7 s

B.该质点的振幅为-5 cm

C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大

D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零

【答案】D

【解析】选D.该质点振动周期为0.8 s,振幅为5 cm,故A,B错误.该质点在

0.1 s和0.5 s时的速度为零,故C错误.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零,故D正确.

4.交流电的电动势E与时间t的关系为E=220sin,则下列判断正确的是 (　　)

A.电动势的最大值为110

B.电动势的最小正周期为

C.电动势的初相位为100π

D.电动势等于0时,时间t的值为0.017 5

【答案】B

【解析】选B.因为电动势的最大值为220,所以A错误,因为电动势的最小正周期为T==,所以B正确,因为电动势的初相位为100π×0+=,所以C错误,因为当220sin=0时,t=,k∈Z,所以D错误.

5.一种波的波形为函数y=-sin x的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是 (　　)

A.5　　 B.6　　　 C.7　　 D.8

【答案】C

【解析】选C.函数y=-sin x的周期T=4且x=3时y=1取得最大值,因此t≥7.

6.一个物体的运动是简谐运动,位移x与时间t的关系为x=20cos,则这个物体的位移的最小正周期为________. 

【答案】π

【解析】因为正弦型函数y=Asin(ωx+φ)或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期都是,所以T=.

7.一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),若弹簧振子运动的振幅为3,周期为,初相为,则这个函数的解析式为________. 

【答案】y=3sin

【解析】由题意得A=3,T=,φ=,则ω==7,故所求函数解析式为y=3sin.

8.据市场调查,某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)= Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,<的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元.根据以上条件求f(x)的解析式. 

【答案】函数解析式f(x)=2sin x+7.

【解析】由题意得T=2×(9-3)=12,故ω==,

A===2,B==7,

又f(3)=9,故×3+φ=,即φ=0,

所以函数解析式f(x)=2sin x+7.

能力提升

9.稳定房价是我国实施宏观调控的重点,国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,某市房地产中介对本市一楼盘的房价做了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如表所示:

则此楼盘在第三季度的平均单价大约是 (　　)

A.10 000元 　　　 　 B.9 500元

C.9 000元 　　　　　  D.8 500元

【答案】C

【解析】选C.因为y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),

所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9 500=10 000;

当x=2时,500sin(2ω+φ)+9 500=9 500,

所以ω可取,φ可取π,

即y=500sin+9 500.

当x=3时,y=9 000.

10.某人的血压满足函数关系式f(t)=24sin 160πt+110,其中,f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数是________. 

【答案】80.

【解析】因为T==,所以此人每分钟心跳的次数为f==80.

11.如图所示,一个摩天轮半径为10 m,轮子的底部在地面上2 m处,如果此摩天轮按逆时针转动,每30 s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.

(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式.

(2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.

【答案】(1) h=10sint+12(t≥0).

(2)此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.

【解析】(1)设在t s时,摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角度为t=t,故在t s时,此人相对于地面的高度为h=10sint+12(t≥0).

(2)由10sint+12≥17,得sint≥,则≤t≤.

故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.

素养达成

12.如图,一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行,已知圆环的半径为8 cm,圆环的圆心O距离地面的高度为10 m,蚂蚁每12分钟爬行一圈,若蚂蚁的起始位置在最低点P0处.

(1)试确定在时刻t(min)时蚂蚁距离地面的高度h(m).

(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超过14 m?

【答案】(1)h=10-8cost(t≥0). (2)有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14 m.

【解析】(1)设在时刻t(min)时蚂蚁达到点P,由OP在t分钟内所转过的角为t=t,

可知以Ox为始边,OP为终边的角为t+π,则P点的纵坐标为8sin,

则h=8sin+10=10-8cost,

所以h=10-8cost(t≥0).

(2)h=10-8cost≥14⇒cost≤-⇒π+2kπ≤t≤π+2kπ(k∈Z).

因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,故不妨令t∈[0,12],所以4≤t≤8.

所以在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14 m.