2021学年3.2复数代数形式的四则运算课后练习题

 www.ks5u.com课时跟踪检测(八)　 复数的几何意义

一、选择题

1．设z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则(　　)

A．a＞0，b＞0   B．a＞0，b＜0

C．b＞0，a∈R   D．a＞0，b∈R

解析：选D　复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．

2．已知复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，集合A＝，B＝.若a，b∈A∩B，则|z|等于(　　)

A．1   B.

C．2   D．4

解析：选B　因为A∩B＝，所以a，b∈，所以|z|＝＝.

3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为(　　)

A．－2－i   B．－2＋i

C．1＋2i   D．－1＋2i

解析：选B　因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以对应的复数为－2＋i.

4．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：选D　由<m<1得

∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限．

5．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹是(　　)

A．直线   B．圆心在原点的圆

C．圆心不在原点的圆   D．椭圆

解析：选C　因为a，x，y∈R，

所以a2＋2a＋2xy∈R，a＋x－y∈R.

又a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，

所以

消去a，得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，

即x2＋y2－2x＋2y＝0，亦即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，

该方程表示圆心为(1，－1)，半径为的圆．

二、填空题

6．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是________．

解析：由题意得z＝a＋i，根据复数的模的定义可知

|z|＝.

因为0＜a＜2，

所以1＜a2＋1＜5，

故1＜＜.

答案：(1，)

7．在复平面内，表示复数z＝(m－3)＋2i的点位于直线y＝x上，则实数m的值为________．

解析：由表示复数z＝(m－3)＋2i的点位于直线y＝x上，得m－3＝2，解得m＝9.

答案：9

8．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.

解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，

由题意，得x＋yi－＝－1＋i，

即(x－)＋yi＝－1＋i.

根据复数相等的条件，得

解得∴z＝i.

法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，

等式两边取模，得|z|＝.

两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1⇒|z|＝1.

把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.

答案：i

三、解答题

9．实数m取什么值时，复数z＝2m＋(4－m2)i在复平面内对应的点满足下列条件？

(1)位于虚轴上；

(2)位于第一、三象限；

(3)位于以原点为圆心，4为半径的圆上．

解：(1)若复数z在复平面内的对应点位于虚轴上，

则2m＝0，即m＝0.

(2)若复数z在复平面内的对应点位于第一、三象限，

则2m(4－m2)>0，

解得m<－2或0<m<2.

(3)若复数z的对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则＝4，即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝±2.

10．已知复数z＝2＋cos θ＋(1＋sin θ)i(θ∈R)，试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线．

解：设复数z与复平面内的点(x，y)相对应，则由复数的几何意义可知由sin2θ＋cos2θ＝1可得(x－2)2＋(y－1)2＝1.所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆．